高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率同步练习题

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2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是（       ）A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行B．若，则C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行【答案】C【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误；若，则或，的斜率都不存在，B错误；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确；若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误．故选：C.2．（2021·吉林油田高级中学高二期中）下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是(       )A．与 B．与C．与 D．与【答案】B【分析】两直线一条斜率为零，一条斜率不存在，此时它们垂直；或者两直线斜率均存在且不为零，斜率之积为－1，则它们垂直.据此即可求解.【详解】A：a＝0时，两直线分别为：，此时它们垂直；当a≠0时，它们斜率之积为，则它们不垂直；故两条直线不一定垂直；B：两直线斜率之积为：，故两直线垂直；C：两直线斜率之积为：，故两直线不垂直；D：两直线斜率之积为：，故两条直线不垂直；故选：B.3．（2022·湖南湘潭·高二期末）已知直线，则与（       ）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直【答案】A【分析】由直线的斜率间的关系可得结论．【详解】因为的斜率分别为，所以，所以.故选：A.4．（2022·贵州·高二学业考试）已知直线，．若，则实数的值为（       ）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】直接由两直线平行公式求解即可.【详解】由题意得，，解得.经验证符合题意.故选：D.5．（2022·全国·高二专题练习）若直线：与直线：互相平行，则的值为（       ）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由直线的平行关系可得，解之可得．【详解】解：若直线：与直线：互相平行，解得故选：A．6．（2022·全国·高二专题练习）已知直线与直线互相平行，则实数的值为(       )A． B．2或 C．2 D．【答案】D【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出a的值，再排除使两直线重合的a的值即可﹒【详解】直线斜率必存在，故两直线平行，则，即，解得，当时，两直线重合，∴．故选：D．7．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知直线与直线，若，则（       ）A．6 B． C．2 D．【答案】A【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，求解方程得答案.【详解】解：因为直线与直线，且，所以，解得，故选：A.8．（2021·全国·高二课前预习）直线的图象与直线的交点个数是（        ）A．1个 B．0个 C．0个或1个 D．1个或2个【答案】C【分析】根据两条直线的位置关系即可求解【详解】当两条直线平行时，无交点；当两条直线相交时，有1个交点；所以直线的图象与直线的交点个数是0个或1个，故选：C9．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l1的斜率为2，直线l2经过点，且l1∥l2，则＝（       ）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】由已知结合直线平行的斜率关系可求出，然后结合对数的运算性质可求．【详解】解：因为直线l1的斜率为2，直线l2经过点，且l1∥l2，所以，解得，所以，故选：D．二、多选题10．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（       ）A．若，则斜率 B．若斜率，则C．若倾斜角，则D．若，则倾斜角【答案】BCD【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．【详解】A选项，，可能直线与的倾斜角都是，斜率不存在，所以A选项错误.B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确.C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确.D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确.故选：BCD11．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知直线，其中，则（       ）A．当时，直线l与直线垂直B．若直线l与直线平行，则C．直线l过定点D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【分析】对于A，通过两直线的斜率关系判断即可，对于B，由两直线平行，列方程求解，对于C，直接求解定点判断，对于D，由直线方程求出直线l在两坐标轴上的截距判断【详解】对于A，当时，直线l的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为，所以当时，直线l与直线垂直，所以A正确，对于B，若直线l与直线平行，则，解得或，所以B错误，对于C，当时，，与无关，故直线l过定点，所以C正确，对于D，当时，直线l的方程为，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，故选：AC三、填空题12．（2022·全国·高二专题练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题①若，则斜率；   ②若斜率，则；③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；其中正确命题的个数是______．【答案】【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可；【详解】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，.①由于斜率都存在，若，则，此命题正确；②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确；③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确；④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确；所以正确的命题个数是4．故答案为：．13．（2022·江苏·高二课时练习）已知三点，则△ABC为__________ 三角形.【答案】直角【分析】根据直线斜率关系即得.【详解】如图，猜想是直角三角形，由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，由，得即，所以是直角三角形.故答案为：直角.14．（2022·全国·高二专题练习）若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________.【答案】【分析】由两条直线的位置关系可得直线的斜率与直线的斜率相等，然后根据斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】解：因为直线与直线平行，直线的斜率为，所以直线的斜率与直线的斜率相等，即直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，所以，即直线的倾斜角为，故答案为：.15．（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线平行，则m的值为______．【答案】0或7【分析】根据两直线平行的充要条件即可列方程组求解.【详解】解：因为直线与直线平行，所以，解得或，故答案为：0或7.16．（2022·上海中学东校高二期末）若直线与互相垂直，则实数___________．【答案】【分析】根据两直线位置关系直接可得参数值.【详解】由，即，又直线与直线互相垂直，故，解得，故答案为：.17．（2021·全国·高二课时练习）已知的三个顶点分别是，，，点在边的高所在的直线上，则实数______.【答案】3【分析】根据可知，则，利用两点连线斜率公式可构造方程求得结果.【详解】由题意得：又       ，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用直线与直线垂直关系求解参数值的问题，属于基础题.18．（2022·全国·高二课时练习）若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．【答案】－1【分析】先求PQ斜率，再根据其负倒数得线段PQ的垂直平分线的斜率.【详解】 线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.【点睛】本题考查利用斜率研究两直线位置关系,考查基本求解能力.19．（2022·全国·高二课时练习）已知平行四边形的三个顶点A（－3，0），B（2，－2），C（5，2），则第四个顶点D的坐标可能是______．（写出一个符合题意的坐标即可）【答案】（0，4）或（10，0）或（－6，－4）【分析】由平行四边形得直线位置关系后列方程组求解【详解】设D（x，y），若四边形ABCD是平行四边形，则，，所以，即，解得，此时点D（0，4）．若四边形ABDC是平行四边形，则，，所以，即，解得，此时点D（10，0）．若四边形ADBC是平行四边形，则，，所以，即，解得，此时点D（－6，－4）．故答案为：（0，4）或（10，0）或（－6，－4）20．（2022·全国·高二专题练习）若直线经过点和，且与经过点，斜率为的直线垂直，则实数的值为_________.【答案】【分析】求出直线的斜率，利用两条直线垂直斜率乘积为的关系，求出的值即可．【详解】直线的斜率，其中，由已知可得，解得.故答案为：.21．（2022·全国·高二专题练习）设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，若k1k2＝﹣1，则|α﹣β|＝__．【答案】【分析】利用直线的倾斜角和斜率、两条直线互相垂直的性质，得出结论．【详解】如图，因为直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，若k1k2＝﹣1，则直线l1与l2的相互垂直，它们的倾斜角相差，故|α﹣β|，故答案为：．四、解答题22．（2022·全国·高二专题练习）判断三点是否共线，并说明理由．【答案】共线，理由见解析.【分析】根据直线斜率公式进行求解即可.【详解】这三点共线，理由如下：由直线斜率公式可得：，直线的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点，所以这三点共线. 23．（2022·全国·高二专题练习）已知直线AB的方程为：，点，在直线AB上求一点D，使得．【答案】【分析】设，由题可得，即得.【详解】设，则，解得，即.24．（2022·全国·高二课时练习）已知A（m，4），B（－2，m），C（1，1），D（m＋2，3）四点．(1)若直线AB与直线CD平行，求m的值；(2)求证：无论m取何值，总有∠ACB＝90°．【答案】(1)m＝0或m＝1(2)证明见解析【分析】（1）由直线的位置关系列式求解（2）转化为向量垂直，由数量积运算列式证明（1）①当直线AB的斜率不存在时，m＝－2，此时C（1，1），D（0，3），则直线CD的斜率存在，故直线AB与直线CD不平行，故；同理可得，所以直线AB与直线CD的斜率都存在．②直线AB的斜率为，直线CD的斜率为．因为直线AB与直线CD平行，所以，即，整理可得，解得m＝0或m＝1，检验可知，当m＝0或m＝1时，直线AB与直线CD平行，故m＝0或m＝1．（2），，则，所以无论m取何值，总有∠ACB＝90°．25．（2022·全国·高二专题练习）根据条件求下列倾斜角、斜率(1)直线l的倾斜角的正弦值是，则直线l的斜率是　　．(2)直线 的倾斜角是　　．(3)已知直线l1的倾斜角，直线l2与l1垂直，试求l1，l2的斜率．【答案】(1)或(2)(3)l1，l2的斜率分别为，【分析】（1）根据倾斜角的正弦值求出倾斜角，从而由直线斜率和倾斜角之间的关系可求出直线的斜率，（2）由方程求出直线的斜率，再由直线斜率和倾斜角之间的关系求出倾斜角，（3）由直线l1的倾斜角求出直线l1的斜率，再由直线l2与l1垂直可求出l2的斜率.（1）因为直线l的倾斜角的正弦值是，所以，因为所以 或，即tanα或，则直线l的斜率是或．故答案为：或．（2）由直线，得 ，即直线的斜率，则倾斜角为．故答案为：（3）已知直线l1的倾斜角，则直线l1对应的斜率，因为直线l2与l1垂直，所以直线l2的斜率．26．（2022·全国·高二专题练习）设常数，已知直线：，：．(1)若，求的值；(2)若，求与之间的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由一般式下两直线垂直的充要条件可得，即可求解；（2）根据题意，由一般式下两直线平行的必要条件可求得的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案．（1）根据题意，直线：，：，若，则，解可得a（2）根据题意，若，则有，解可得或，当时，直线：，：，两直线重合，不符合题意，当时，直线：，：，即，两直线平行，此时与之间的距离27．（2022·全国·高二课时练习）已知，，．(1)若点满足，，求点的坐标；(2)若点在轴上，且，求直线的倾斜角．【答案】(1)(2)90°【分析】第（1）问中，若存在，两直线垂直，则有，两直线平行，则有,设出点的坐标，列方程即可求解.第（2）问中，根据，可知，设点坐标列方程即可.（1）设，由题意得，．因为，所以，即．①又，所以，即．②由①②，得，，即．（2）如图所示：设，因为，所以．又，，所以，即，所以，又，所以轴，故直线的倾斜角为90°． 【能力提升】一、单选题1．（2022·上海市建平中学高一期末）设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（       ）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】分均不为0和有且只有一个为0两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得出结论.【详解】当直线斜率都存在即均不为0时，若“、相交”，则两直线的斜率不相等，得，即，当直线斜率有一个不存在即有且只有一个为0时，也成立，故充分性成立；反之，均不为0时，若“”，则，则两直线的斜率不相等，即、相交，有且只有一个为0时，、也相交，故必要性成立；综上，则“、相交”是“”的充要条件，故选：C.2．（2022·全国·高二专题练习）已知直线y＝mx﹣2与直线x+ny＝0平行，则m，n的关系为（       ）A．mn＝1 B．mn+1＝0 C．m﹣n＝0 D．m﹣n+1＝0【答案】B【分析】将直线的方程变形为一般式方程，由直线平行的判定分析mn的关系，即可得答案．【详解】根据题意，直线y＝mx﹣2，即mx﹣y﹣2＝0，若直线y＝mx﹣2与直线x+ny＝0平行，则mn﹣(﹣1)＝0，即mn+1＝0.故选：B3．（2022·全国·高二专题练习）“”是“直线：与直线：互相垂直”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定直线方程求出的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，，解得或，所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.故选：A4．（2022·江苏·高二）已知直线，，且，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由两直线垂直得到，再代入消元利用二次函数的性质求解.【详解】解：，则，∴，所以，二次函数的抛物线的对称轴为，当时，取最小值.故选：A．5．（2022·江苏·高二课时练习）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为A． B． C． D．【答案】A【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ①AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为，即x-2y+3=0．联立 解得∴△ABC的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8  ②联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．二、多选题6．（2022·山东聊城·高二期末）已知直线，，则（       ）A．当变化时，的倾斜角不变 B．当变化时，过定点C．与可能平行 D．与不可能垂直【答案】AB【分析】对四个选项一一验证：对于A：由直线的斜率为即可判断；对于B：由直线恒过定点即可判断；对于C：用反证法证明；对于D：当， 与垂直，即可判断.【详解】对于A：当变化时，直线的斜率为，所以的倾斜角不变.故A正确；对于B：直线恒过定点.故B正确；对于C：假设与平行，则，即，这与相矛盾，所以与不可能平行.故C不正确；对于D：假设与垂直，则，即，所以与可能垂直.故D不正确.故选：AB7．（2022·重庆·高二期末）下列说法中，正确的是（ 　   ）A．直线在轴上的截距是3B．直线的倾斜角为C．三点共线D．直线与垂直【答案】BC【分析】根据直线方程求得纵截距，倾斜角判断AB，由斜率关系判断C，由直线的位置关系判断D，【详解】A. 直线在轴上的截距是，A错；B. 直线的斜率为，倾斜角为，B正确；C. 由得，，所以三点共线，C正确；D. 直线与的斜率分别为，，乘积为1，不垂直，D错误．故选：BC．8．（2022·全国·高二期末）下列说法正确的是（       ）A．直线的斜率为B．若直线的倾斜角为α，则C．若两条直线的斜率之积等于－1，则这两条直线垂直D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为【答案】BC【分析】特殊值判断A；由倾斜角判断B；由直线垂直的判定判断C；选项D中注意要加的条件.【详解】A：当时，直线斜率不存在，错误；B：由题意，，故，正确；C：由直线垂直的判定知：两条直线的斜率之积等于－1，则两条直线垂直，正确；D：直线在两坐标轴上的截距都为0,且斜率不低于-1，直线的方程不可写为，错误.故选：BC9．（2022·全国·高二课时练习）已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（       ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据三角形为等腰直角三角形列方程组，即可求解.【详解】设，由题意可得，可化为，解得:或，即或．故选：AC三、解答题10．（2021·全国·高二课前预习）已知，，，四点，若顺次连接四点，试判断图形的形状．【答案】直角梯形【分析】计算四条边所在直线的斜率，判断边之间的位置关系，即可判断图形的形状 .【详解】由斜率公式，得，，，,所以，又因为 ,说明与不重合，所以．因为，所以与不平行．又因为，所以．故四边形为直角梯形．11．（2022·全国·高二专题练习）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行：(1)，，，；(2)，，，；(3)，，，；(4)，，，．【答案】(1)平行(2)平行(3)平行(4)不平行【分析】（1）求出，，斜率，再判断两直线不重合得平行；（2）由斜率相等，及不重合得结论；（3）由两直线斜率都不存在，且不重合得平行；（4）由斜率不相等得不平行．(1)，，，不共线，因此与平行．(2)，，又两直线不重合，直线与平行，(3)直线，的斜率都不存在，且不重合，因此平行；(4),，直线与不平行，12．（2022·江苏·高二课时练习）直线和的方程分别是和，其中，不全为0，，也不全为0.(1)当时，直线方程中的系数应满足什么关系？(2)当时，直线方程中的系数应满足什么关系？【答案】(1)且（或）；(2)【分析】（1）由两直线平行的条件求解；（2）由两直线垂直的条件求解．(1)两直线斜率都不存在，则，此时，，，因此有且，斜率都存在时，且，因此有且，所以的条件是：且（或）；(2)两直线一个斜率不存在，一条斜率为0，如，两直线斜率都存在，则，所以，所以的条件是．13．（2022·全国·高二专题练习）证明：如果两条直线斜率的乘积等于，那么它们互相垂直．【分析】设两直线斜率分别为，，结合及倾斜角的范围、诱导公式即可证明结论.【详解】令两直线斜率分别为，(为对应倾斜角)，由，不妨假设，则，所以，而，故，即，则两条直线互相垂直，得证.14．（2022·全国·高二专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.【答案】或或.【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D的坐标.【详解】由题，，所以kAC=2，，kBC=－3，设D的坐标为（x，y），分以下三种情况：①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC，所以，，，得x=7，y=5，即②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC，所以，，得x=－1，y=9，即③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC所以，得x=3，y=－3，即所以D的坐标为或或.15．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状.【答案】矩形【分析】可借助斜率验证四边形对边平行，邻边垂直，对角线不垂直即得解【详解】由斜率公式，得，，，，，.∴，，∴，，∴四边形为平行四边形.又，∴.又，∴与不垂直，∴四边形为矩形.16．（2022·全国·高二专题练习）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】或【分析】分和两种情况，利用平行，垂直列方程组求解坐标即可【详解】设点．若，则，解得，点．若，则，解得，点【点睛】本题考查两直线的位置关系，考查直线交点，注意分类讨论的应用，是基础题17．（2021·江苏·高二专题练习）三条直线3x＋2y＋6＝0,2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0围成直角三角形，求实数m的值．【答案】（1）或或m＝ 【分析】直线2mx-3y+12=0过定点A（0，4），若三条直线能围成直角三角形，则根据直线垂直与斜率之间的关系即可得到结论．【详解】(1)当直线3x＋2y＋6＝0与直线2x－3m2y＋18＝0垂直时，有6－6m2＝0，∴m＝1或m＝－1．若m＝1，直线2mx－3y＋12＝0也与直线3x＋2y＋6＝0垂直，因而不能构成三角形，故m＝1应舍去．∴m＝－1．(2)当直线3x＋2y＋6＝0与直线2mx－3y＋12＝0垂直时，有6m－6＝0，m＝1(舍)．(3)当直线2x－3m2y＋18＝0与直线2mx－3y＋12＝0垂直时，有4m＋9m2＝0．∴m＝0或m＝ ．经检验，这两种情形均满足题意．综上所述，m＝－1或m＝0或m＝．【点睛】本题主要考查直线垂直和斜率之间的关系的应用，要求熟练掌握直线垂直的斜率关系．