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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件复习练习题
展开1.4 充分条件与必要条件
一、充分条件与必要条件
| “若p,则q”为真命题 | “若p,则q”为假命题 |
推出关系 | p⇒q | p⇏q |
条件关系 | p是q的充分条件 q是p的必要条件 | p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 |
定理关系 | 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 |
【注意】
(1)前提p⇒q,有方向,条件在前,结论在后;
(2)p是q的充分条件或q是p的必要条件;
(3)改变说法:“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p;
“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”.
二、充分必要条件与集合的关系
若条件p,q以集合的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},
则由A⊆B可得,p是q的充分条件,
①若AB,则p是q的充分不必要条件;
②若A⊇B,则p是q的必要条件;
③若AB,则p是q的必要不充分条件;
④若A=B,则p是q的充要条件;
⑤若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
充分必要条件判断精髓:
小集合推出大集合,小集合是大集合的充分不必要条件,大集合是小集合的必要不充分条件;
若两个集合范围一样,就是充要条件的关系;
题型一 充分条件、必要条件的判断
【例1】是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
【变式1-1】已知,,则是的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【变式1-2】使得成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.或
【变式1-3】“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【变式1-4】“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【变式1-5】华夏文明五千多年,孕育出璀璨的诗歌篇章,诗歌“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”一句引自王昌龄的《从军行七首(其四)》,楼兰,汉时西域国名.据《汉书》载:汉武帝时,曾使通大宛国,楼兰王阻路,攻截汉朝使臣.汉昭帝元凤四年(公元前77)霍光派傅介子去楼兰,用计斩杀楼兰王.唐时与吐蕃在此交战颇多,王昌龄诗中借用傅介子斩楼兰王典故,表明征战将士誓平边患的决心.那么,“不破楼兰终不还”中,“还”是“破楼兰”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
题型二 利用充分条件、必要条件求参数范围
【例2】若“”是““的充分不必要条件,则实数的取值范围是_____.
【变式2-1】已知:或,:,若是的充分不必要条件,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【变式2-2】已知集合,,若“”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围
【变式2-3】已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,求实数a的取值范围.
【变式2-4】设.
(1)若是的必要不充分条件,求的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求的取值范围;
(3)若是方程的根,判断是的什么条件.
题型三 充分性与必要性的证明
【例3】已知,求证:的充要条件是.
【变式3-1】求证:关于的方程有一个根为的充要条件是.
【变式3-2】设a,b,.求证:,,的充要条件是,,.
【变式3-3】已知都是非零实数,且,求证:的充要条件是.
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