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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词巩固练习
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1.5 全称量词与存在量词 一、全称量词与全称量词命题1、全称量词:一般地,“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“”表示.【注意】(1)全称量词的数量可能是有限的,也可能是无限的,由有题目而定;(2)常见的全称量词还有“一切”、“任给”等,相应的词语是“都”2、全称量词命题:含有全称量词的命题,称为全称量词命题.对集合M中的任意一个x,成立(M表示变量x的取值范围),符号表示为:对.【注意】(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题;(2)一个全称量词命题可以包含多个变量;(3)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补出来。如:命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。二、存在量词与存在量词命题1、全称量词:一般地,“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分,称为全存在量词,用符号“”表示.【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等;2、存在量词命题:含有存在量词的命题,称为存在量词命题.存在集合M中的元素x,成立(M表示变量x的取值范围),简记为:对.【注意】(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题;(2)一个存在量词命题可以包含多个变量;(3)有些命题虽然没有写出存在量词,但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断1、判断全称量词命题真假:若为真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素,验证成立;若为假命题,只要能举出集合M中的一个,使不成立即可;2、判断存在量词命题真假:只要在限定集合M中,至少能找到一个,使成立,则这个命题为真,否则为假。四、命题的否定1、命题的否定:对命题p加以否定,得到一个新的命题,记作“”,读作“非p”或p的否定.2、全称量词命题的否定:一般地,全称量词命题“”的否定是存在量词命题: .3、存在量词命题的否定:一般地,存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题: .4、命题与命题的否定的真假判断:一个命题和它的否定不能同时为真命题,也不能同时为假命题,只能一真一假.即:如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定是假命题,反之亦然.5、常见正面词语的否定:正面词语等于(=)大于(>)小于(<)是都是否定不等式(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n个否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个 题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断【例1】下列命题中为全称量词命题的是( )A.有些实数没有倒数B.矩形都有外接圆C.存在一个实数与它的相反数的和为0D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行【答案】B【分析】根据全程量词命题和存在量词命题的定义即可得出答案.【解析】对于A,含有存在量词有些,为存在量词命题;对于B,含有全称量词都有,为全称量词命题;对于C,含有存在量词存在一个,为存在量词命题;对于D,含有存在量词有一条,为存在量词命题.故选:B. 【变式1-1】下列命题是全称量词命题的是( )A.有一个偶数是素数B.一元二次方程不总有实数根C.每个四边形的内角和都是D.有些三角形是直角三角形【答案】C【解析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义可知,A,B,D是存在量词命题,C是全称量词命题.故选:C. 【变式1-2】下列语句不是全称量词命题的是( )A.任何一个实数乘以零都等于零B.自然数都是正整数C.高二(一)班绝大多数同学是团员D.每一个学生都充满阳光【答案】C【解析】A中的量词为“任意一个”,是全称量词;B中的量词为“都是”,是全称量词;D中的量词为“每一个”,是全称量词;C中的量词为“绝大多数”,是存在量词命题,不是全称量词.故选:. 【变式1-3】下列语句是存在量词命题的是( )A.整数n是2和5的倍数 B.存在整数n,使n能被11整除C.若,则 D.,【答案】B【解析】对于A,不是命题,不能判断真假,故A错误;对于B,命题含有存在量词“存在”,故B是存在性命题,B正确;对于C,是“若p则q”的形式命题,C错误;对于D,是全称量词命题,D错误.故选:B 【变式1-4】判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题.(1)所有不等式的解集A,都满足A⊆R;(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;(3)对任意a,b∈R,若a>b,则;(4)自然数的平方是正数.【答案】(1)全称量词命题;(2)是存在量词命题;(3)全称量词命题;(4)全称量词命题.【解析】(1)命题中强调全称量词“所有”,所以该命题为全称量词命题;(2)命题中强调存在量词“有些”,所以该命题为存在量词命题;(3)命题中强调全称量词“任意”,所以该命题为全称量词命题;(4)该命题实质是“任意一个自然数的平方都是正数”, 强调全称量词“任意”,所以该命题为全称量词命题. 【变式1-5】下列命题与“”的表述方法不同的是( )A.有一个,使得 B.有些,使得C.任选一个,使得 D.至少有一个,使得【答案】C【解析】由题意,根据存在性命题的概念,可得命题“”为存在命题,所以A、B、D与命题“” 的表述方法相同,但命题“任选一个,使得”为全称命题,所以与题设中命题表述不同.故选:C. 题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假【例2】在下列命题中,是真命题的是( )A.B.C.D.已知,则对于任意的,都有【答案】B【解析】选项A,,即有实数解,所以,显然此方程无实数解,故排除;选项B,,,故该选项正确;选项C,,而当,不成立,故该选项错误,排除;选项D,,当时,当取得6的正整数倍时,,所以,该选项错误,排除.故选:B. 【变式2-1】已知命题:当时,关于x的方程没有实数解.下列说法正确的是( )A.p是全称量词命题,且是假命题 B.p是全称量词命题,且是真命题C.p是存在量词命题,且是假命题 D.p是存在量词命题,且是真命题【答案】A【解析】原命题的含义是“对于任意,方程都没有实数解”,但当时,方程有实数解,故命题是全称量词命题,且为假命题,故选:A 【变式2-2】下列四个命题∶.①②③④至少有一个实数x,使得x3+1=0其中真命题的序号是( )A.①③ B.②③ C.②④ D.①④【答案】D【解析】对于①,,当时等号成立,①正确,对于②,由于,故②错误,对于③,当时,,③错误,对于④,当时,,故④正确,所以正确的为①④.故选:D. 【变式2-3】下列全称量词命题与存在量词命题中:①设A、B为两个集合,若,则对任意,都有;②设A、B为两个集合,若,则存在,使得;③是无理数,是有理数;④是无理数,是无理数.其中真命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】对于①,因集合A、B满足,则由集合包含关系的定义知,对任意,都有,①是真命题;对于②,因集合A、B满足,则由集合不包含关系的定义知,存在,使得,②是真命题;对于③,显然是无理数,也是无理数,则③是假命题;对于④,显然是无理数,却是有理数,则④是假命题.所以①②是真命题.故选:B 【变式2-4】(多选)下列命题中为假命题的是( )A., B.,C., D.,【答案】ABC【解析】对于A:当时,故A错误;对于B:若,则,即不存在,使得,故B错误;对于C:当时,故C错误;对于D:当时,,故D正确;故选:ABC 题型三 由全称量词命题的真假求参数【例3】已知命题:“,方程有解”是真命题,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】“,方程有解”是真命题,故,解得:,故选:B 【变式3-1】已知命题,,若命题是真命题,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意,是真命题,则,,即则实数a的取值范围是。故选:C 【变式3-2】若命题“,一次函数的图象在x轴上方”为真命题,求实数m的取值范围.【答案】【解析】当时,.因为一次函数的图象在x轴上方,所以,即,所以实数m的取值范围是. 【变式3-3】已知命题:,是真命题,那么实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】若命题:,是真命题,则对于恒成立,当时,可得:不满足对于恒成立,所以不符合题意;当时,需满足解得,所以实数的取值范围是,故选:C 【变式3-4】若命题“”是假命题,则实数a的取值范围的解集是______【答案】【解析】由命题“”是假命题,可得命题“”是真命题,根据二次函数的性质,可得,即,解得,所以实数a的取值范围的解集是. 题型四 由存在量词命题的真假求参数【例4】若,,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】若,,则,解得,故选:B. 【变式4-1】命题“”为真命题,则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】因为命题“”为真命题,所以方程有2不等实根,故,解得或, 【变式4-2】若p:存在,使是真命题,则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】存在,使,即存在,使,所以. 【变式4-3】若命题“,”为假命题,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为命题“,”为假命题,则,解得.故选:B. 题型五 含有一个量词的命题的否定【例5】命题“∀x>2,x2﹣3>0的否定是( )A.∃x0≤2,x02﹣3≤0 B.∀x>2,x2﹣3≤0C.∃x0>2,x02﹣3≤0 D.∀x≤2,x2﹣3≤0【答案】C【解析】命题为全称命题,则命题的否定为,故选:C. 【变式5-1】命题“”的否定是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“”的否定是,故选:D 【变式5-2】设命题,,则命题p的否定为( )A., B.,C., D.,【答案】B【解析】利用含有一个量词的命题的否定方法可知,存在量词命题,的否定为:,.故选:B. 【变式5-3】命题“,”的否定为( )A., B.,C., D.,【答案】B【解析】“,”的否定为“,”,故选:B﹒
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