2023届上海市八校联考高三上学期开学考试数学试题含解析

2023届上海市八校联考高三上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．下列说法中正确的是

A．平行于同一直线的两个平面平行 B．垂直于同一直线的两个平面平行

C．平行于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两个平面平行

【答案】B

【详解】平行于同一直线的两个平面可以平行、相交，故不正确，垂直于同一直线的两个平面平行正确，平行于同一平面的两条直线平行错误，因为也可以相交也可以是异面直线，垂直于同一平面的两个平面平行错误，因为也可以相交，故选B.

2．假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据条件概率的计算公式和事件的独立性依次讨论求解即可.

【详解】解：对于A选项，由，可知，故A选项正确；

对于B选项，成立的条件为，是两个独立事件，故错误；

对于C选项，由，故当时才有，故错误；

对于D选项，由题知，故，即，是两个独立事件时成立，故错误.

故选：A

3．已知二次函数的图象如图所示，将其向右平移个单位长度得到函数的图象，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出函数与的图象，数形结合可得出不等式的解集.

【详解】根据图中信息作出函数、的图象如下图所示：

因为，则，且，

由图可知，不等式的解集为.

故选：C.

4．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的个数有（    ）

①的图象关于直线对称；②在上是增函数；

③的最大值为；④若，则．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】对于①，通过计算与的关系进行判断，对于②，利用导数判断，对于③，利用导数求其最值，对于④，由题意可知分别为函数的最大值和最小值，再根据函数的周期性可求得结果.

【详解】①因为，

所以的图象不关于直线对称，错误；

②，

当时，，则，

所以在上是增函数，正确；

③因为的周期为，的周期为，所以的周期为，不妨取一个周期上求其最值，

令得或，当或时，，此时，所以在和上递增，当时，，此时，但不恒为零，所以在上递减，又，所以，，所以正确；

④若，不妨取，，

因为，，，

所以，正确．

故选：C．

二、填空题

5．已知集合，，则______．

【答案】

【分析】根据集合并集的定义即可求解.

【详解】，，

所以.

故答案为：

6．在复平面内，复数z对应的点为，则______．

【答案】2

【分析】根据坐标即知，再根据乘法运算即可求解.

【详解】因为复数z对应的点为，所以，

所以．

故答案为：2

7．在的展开式中，的系数为______．

【答案】1

【分析】由二项式定理求解

【详解】展开式的通项公式为，

令，解得，即的系数为，

故答案为：1

8．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．

【答案】4

【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.

【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.

故答案为：4.

【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.

9．已知是等比数列，为其前n项和，若是、的等差中项，，则______．

【答案】1

【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式列方程组即可求解.

【详解】设，由题意得，

当公比时，有，解得，．

当公比时， 是常数列，不满足是、的等差中项.

综上：，.

故答案为：1

10．已知直线是圆的一条对称轴，则ab的最大值为______．

【答案】0.25．

【分析】易知直线经过圆心，得到，再利用不等式即可求解.

【详解】圆的圆心，

因为直线是圆的一条对称轴，

故直线经过圆心，即得，

则，当且仅当时取等号，

所以ab的最大值为．

故答案为：.

11．在中，，和的平分线交于点D．若，则的值为______．

【答案】

【分析】根据正弦定理以及二倍角的正弦公式可求得，再根据二倍角的余弦公式即可求得.

【详解】在中，

由正弦定理得，

且有，联立得：，

因为CD平分，所以，

解得：，

是锐角，．

故答案为：

12．已知、是单位向量，且，设向量，当时，的最小值为______．

【答案】

【分析】将表示成只含的表达式，利用二次函数的性质即可求得最小值.

【详解】当时，，

则，

当时，的最小值为．

故答案为：

13．若函数的值域为，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】由指数函数性质求解

【详解】令，由题意得的值域为，

又的值域为，所以解得

所以的取值范围为．

故答案为：

14．已知，则的最大值为_______．

【答案】

【分析】首先根据题意得到，设，，得到的轨迹方程为：，且点在上，从而得到，再解不等式即可.

【详解】

变形得，

设，，

因为点的轨迹方程为：，且点在上，

所以，

整理得：，即，

解得.

所以的最大值为.

故答案为：

15．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为______．

【答案】

【分析】根据祖暅原理构造一个圆柱挖去一个圆锥的模型即可.

【详解】设瓷碗所在球的半径为R，则有，得，

设从瓷碗截面圆心处任意竖直距离（也可在下方，此时）如图1所示，

则瓷碗的截面圆半径，面积为，

图2中,在以过球心的截面圆为底面圆，以为高的圆柱中挖去一个等底等高的圆锥，

易知，故圆环面积也为，

即在求瓷碗体积时，符合祖暅原理，（备注：瓷碗是图3中上方倒扣的部分）

当时，如图4所示：

此时：

由祖暅原理得：图3中与之间部分几何体的体积：

圆柱的体积圆锥的体积，

所以瓷碗的体积（注：半球体积）

故答案为：.

16．设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是______．

【答案】．

【分析】根据证明，即函数在上有解，即求，的范围，对函数利用导数即可求值域.

【详解】由曲线上存在点，使得，即，

下面证明，因为在定义域上严格递增，

假设，则，

不满足，同理，不满足，

所以，那么函数，

即函数在有解，所以，

即，，令，

则，

，，单调递增，

又，所以，所以a的取值范围是．

故答案为：

三、解答题

17．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）

(1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；

(2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式，可得答案；

（2）根据超几何分布的分布列的计算步骤和均值的计算公式，可得答案.

【详解】(1)由汽车销量图得7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，

则随机选取一年，这一年该地区汽车总销量不小丁5.5万辆的概率为．

(2)由图表得新能源汽车2015-2021年的销量如下表：

新能源汽车销量超过0.5万辆的年份有2个，不超过0.5万辆的年份有5个，

则随机变量X可能取值为0，1，2，

，，，

所以X的分布列为

所以．

18．已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．

（1）求C1的离心率；

（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．

【答案】（1）；（2）：，： .

【分析】（1）根据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限，运用代入法求出点的纵坐标，根据，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；

（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；

【详解】解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中.

不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：，

所以当时，有，因此的纵坐标分别为，；

又因为抛物线的方程为，所以当时，有，

所以的纵坐标分别为，，故，.

由得，即，解得（舍去），.

所以的离心率为.

（2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为.

由已知得，即.

所以的标准方程为，的标准方程为.

【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.

19．在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，．

(1)求证：平面平面；

(2)设半面平面，，平面，求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明出平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角的正弦值.

【详解】(1)证明：，平面，平面，平面，

因为四边形为矩形，则，

平面，平面，平面，

，、平面，因此，平面平面.

(2)解：因为平面，，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

因为平面平面，且平面的一个法向量为，

所以，平面的一个法向量为，故，

所以，，

因此，二面角的正弦值为.

20．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线的方程；

(2)若函数在处取得极大值，求的取值范围；

(3)若函数存在最小值，直接写出的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先求导后求出切线的斜率，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；

（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；

（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.

【详解】(1)解：由题意得：

，

故曲线在点处的切线的方程.

(2)由（1）得要使得在处取得极大值，在时应该，在时应该，

故①且，解得

②且，解得

当时，，满足题意；

当时，，不满足题意；

综上：的取值范围为.

(3)可以分三种情况讨论：①②③

若，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，无最小值；

若时，当时，趋向时，趋向于0；当 ，要使函数取得存在最小值，解得，故 处取得最小值,故的取值范围.

若时，在趋向时，趋向于0，又故无最小值；

综上所述函数存在最小值， 的取值范围.

21．对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.

（1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由；

（2）设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；

（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”.

【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）当是数列时，与满足的条件为或，证明见解析.

【解析】(1)由数列定义知，仅需验证当时，恒成立即可；

(2)写出，的表达式，则对满足的任意都成立，则将此问题转化为不等式恒成立的问题，然后据此去求解的范围；

(3)根据数列是数列，可以得到，所以需要分，和，去讨论，和(2)相似，还是去求解使得的取值范围，仍然是将其转化为不等式的恒成立问题，然后在不同的情况下求出对应的的取值范围即可.在证明命题“若且，则不是数列”时，考虑使用反证法：先排除掉数列的项都在数列中、数列的项都在数列中的情况.若数列至少有一项不在数列中，且数列至少有以一项不在数列中,先去掉其公共项得到数列，，设数列的最大项为，且数列的最大项比数列的最大项大，然后根据数列是数列的性质,得到,从而推出矛盾，进而所求证得证.

【详解】(1)∵，

∴，

当时，，

故，

那么当时，，符合题意，

故数列是数列；

(2)由题意知，该数列的前项和为，，

由数列是数列，可知，故公差，

对满足的任意都成立，则，解得，

故的取值范围为；

(3)①若是数列，则，

若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，

由，，故，可得；

若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，

又当时，当时不成立，

故有或，解得，

∴当是数列时，与满足的条件为或；

②假设是数列，则由①可知，，，且中每一项均为正数，

若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列，可知；

若中的每一项都在中，同理可得；

若中至少有一项不在中且中至少有一项不在中，

设，是将，中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为，，

不妨设，中最大的项在中，设为，

则，故，故总有与矛盾，故假设错误，原命题正确.

【点睛】本题考查不等关系、不等式的恒成立及数列的综合知识，属于创新题，同时也是难题.