2023届高考数学一轮复习作业双曲线北师大版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业双曲线北师大版（答案有详细解析），共5页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )
A．eq \f(\r(2),2) B．1 C．eq \r(2) D．2
C [根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝eq \r(2)a，
则该双曲线的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，故选C．]
2．已知双曲线的方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1，则下列关于双曲线说法正确的是( )
A．虚轴长为4
B．焦距为2eq \r(5)
C．离心率为eq \f(\r(13),3)
D．渐近线方程为2x±3y＝0
D [由题意知，双曲线eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以选项A，B均不对；离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),2)，故选项C不对；由双曲线的渐近线知选项D正确．故选D．]
3．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(5,4)，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1B．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1
C．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1D．eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1
C [由题意得e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(5,4)，又右焦点为F2(5，0)，a2＋b2＝c2，所以a2＝16，b2＝9，故双曲线C的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1．]
4．(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A．eq \f(7,2) B．3 C．eq \f(5,2) D．2
B [法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16．不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则S＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×6＝3，故选B．
法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以S＝eq \f(b2,tan\f(θ,2))＝eq \f(3,tan 45 °)＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故选B．]
5．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,16)＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝( )
A．1 B．13 C．17 D．1或13
B [由题意知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,16)＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得eq \f(4,a)＝eq \f(4,3)，解得a＝3，所以c＝eq \r(a2＋b2)＝5．又由F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|＝7，可得点P在双曲线的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，
可得|PF2|＝13．故选B．]
6．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为eq \r(2)，则其一条渐近线的倾斜角为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
B [设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的右顶点A(a，0)，右焦点F2(c，0)到渐近线y＝eq \f(b,a)x的距离分别为1和eq \r(2)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(ab,\r(a2＋b2))＝1，,\f(bc,\r(a2＋b2))＝\r(2)，))即eq \f(a,c)＝eq \f(\r(2),2)．
则eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2－a2,a2)＝eq \f(c2,a2)－1＝2－1＝1，即eq \f(b,a)＝1．
设渐近线y＝eq \f(b,a)x的倾斜角为θ，
则tan θ＝eq \f(b,a)＝1．
所以θ＝45°，故选B．]
7．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,10)＝1B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C．eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
B [由y＝eq \f(\r(5),2)x，可得eq \f(b,a)＝eq \f(\r(5),2)．①
由椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，
可得a2＋b2＝9．②
由①②可得a2＝4，b2＝5．
所以C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1．故选B．]
8．圆C：x2＋y2－10y＋16＝0上有且仅有两点到双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A．(eq \r(2)，eq \r(5))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(5,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(5,2)))D．(eq \r(5)，eq \r(2)＋1)
C [不妨设该渐近线经过第二、四象限，则该渐近线的方程为bx＋ay＝0．因为圆C：x2＋(y－5)2＝9，所以圆C的圆心为(0，5)，半径为3，所以2＜eq \f(|5a|,\r(a2＋b2))＜4，结合a2＋b2＝c2，得eq \f(5,4)＜eq \f(c,a)＜eq \f(5,2)，所以该双曲线的离心率的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(5,2)))．]
二、填空题
9．(2021·新高考卷Ⅱ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为________．
y＝±eq \r(3)x [eq \f(b,a)＝eq \r(\f(c2－a2,a2))＝eq \r(e2－1)＝eq \r(3)，
故双曲线C的渐近线方程为：y＝±eq \r(3)x．]
10．(2021·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0互相垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．
3eq \r(5) [双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为y＝±eq \f(b,a)x，
一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得eq \f(b,a)＝2，
即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，
可得a＝eq \f(3,2)，b＝3，
即有c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(\f(9,4)＋9)＝eq \f(3\r(5),2)，
即焦距为2c＝3eq \r(5)．]
11．如图，F1和F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
eq \r(3)＋1 [设|F1F2|＝2c，连接AF1(图略)，
∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，
∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝eq \r(3)c，2a＝eq \r(3)c－c，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \r(3)＋1．]
12．已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
2 [由已知得|AB|＝|CD|＝eq \f(2b2,a)，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c．因为2|AB|＝3|BC|，所以eq \f(4b2,a)＝6c，
又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，
解得e＝2，或e＝－eq \f(1,2)(舍去)．]
1．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin 40°B．2cs 40°
C．eq \f(1,sin 50°)D．eq \f(1,cs 50°)
D [由题意可得－eq \f(b,a)＝tan 130°，
所以e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋tan2130°)＝eq \r(1＋\f(sin2130°,cs2130°))
＝eq \f(1,|cs 130°|)＝eq \f(1,cs 50°)．故选D．]
2．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，一个焦点为F(0，－8)，则该双曲线的标准方程为________．已知点A(－6，0)，若点P为C上一动点，且P点在x轴上方，当点P的位置变化时，△PAF的周长的最小值为________．
eq \f(y2,16)－eq \f(x2,48)＝1 28 [∵双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，一个焦点为F(0，－8)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a2,b2)＝\f(1,3)，,\r(a2＋b2)＝8，))解得a＝4，b＝4eq \r(3)．
∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,48)＝1．
设双曲线的上焦点为F′(0，8)，则|PF|＝|PF′|＋8，
△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋|PA|＋|AF|＋8．
当P点在第二象限，且A，P，F′共线时，|PF′|＋|PA|最小，最小值为|AF′|＝10．
而|AF|＝10，故△PAF的周长的最小值为10＋10＋8＝28．]