第12讲全等三角形的综合（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

第12讲     全等三角形的综合

本节课通过推理和专题训练，学会运用全等三角形的判定方法去解决三角形全等的综合问题．通过添加辅助线解决相关的边角证明问题，本节的内容相对综合，难度稍大．

模块一：全等三角形判定的综合

知识精讲

    全等三角形综合主要是通过全等得出结论，进而求出相应的边和角之间的关系．对于稍复杂的会通过添加平行线，倍长中线或截长补短等方法，解决综合问题．

例题解析

例1.已知：AE＝ED，BD＝AB，试说明：CA＝CD．

例2.如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，试说明：AE＝DE．

例3.已知：AB∥CD，OE＝OF，试说明：AB＝CD．

例4.如图：A、E、F、C四点在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作BE⊥AC、DF⊥AC，且AB=CD，AB∥CD．试说明：BD平分EF．

例5.如图，已知AD=AE，AB=AC．试说明：BF=FC．

例6．（2018·山东济南市·七年级期中）如图，在和中，，，；延长至点，使；延长至点，使．连接，，，．延长交于点．

（1）求证：；

（2）求证：．

例7．（2020·山东东营市·七年级期中）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．

（1）求证：；

（2）证明：∠1=∠3．

例8．（2020·山东济南市·七年级期末）已知Rt△ABC和Rt△DBE，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，DB＝EB， CE所在的直线交AD于点F．

(1)如图1，若点D在△ABC外，点B在AB边上，求证：AD＝CE，AD⊥CE．

(2)若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点B在△ABC内部，如图2，求证：AD＝CE，AD⊥CE．

(3)若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转，使点D、E都在△ABC外部，如图3，请直出AD和CE的数量和位置关系．

例9．（2020·山东枣庄市·七年级期末）如图，在中，为的中点，，．动点从点出发，沿方向以的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以的速度向点运动，运动时间是．

（1）在运动过程中，当点位于线段的垂直平分线上时，求出的值；

（2）在运动过程中，当时，求出的值；

（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

模块二：添加辅助线构造全等三角形

知识精讲

1、    倍长中线法；

2、    添加平行线构造全等三角形；

3、    截长补短构造全等的三角形；

4、    图形的运动构造全等三角形．

例题解析

例1．（2018·江西吉安市·七年级期中）如图，D是△ABC的BC边上的中点，连接AD，并延长到点E使DE=AD，再连接CE. 若AC=10，AB=6，求中线AD的取值范围.

例2．（2019·沂源县中庄中学七年级月考）仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD为△ABC的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC的取值范围.

解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE.

因为AD为△ABC的中线，

所以BD=CD．

在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________).

所以BE=AC(_____________________).

因为AB+BE>AE(_____________________)，

所以AB+AC>AE.

因为AE=2AD=8cm，

所以AB+AC>_______cm.

例3．（2020·辽宁锦州市·）在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）如图1所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由；

（2）如图2所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由．

4．（2020·辽宁丹东市·七年级期末）已知：如图1，在和中，，，．

（1）请说明．

（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．

（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．

例5．（2020·山东济南市·七年级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D， BE⊥MN于E．

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE的等量关系?并说明理由．

6．（2018·四川达州市·七年级期末）如图，在中，，垂足为，为上的一点，，分别交和的延长线于点，，.

（1）试说明；

（2）若，求和的大小.

例7．（2019·全国七年级单元测试）在直角三角形ABC中，，分别以AB、AC为边在外侧作等边和等边，DE交AB于点F，求证：.

例8．（2020·黑龙江大庆市·七年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD．

例9．（2020·山东济南市·七年级期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：

(1)如图1，在△ABC中，∠BAC＝90° ， AB＝AC，直线m经过点A， BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E． 试猜想DE、 BD、CE 有怎样的数量关系，并说明理由．

(2)组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否成立呢？

如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中， AB＝AC， D、 A、B三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α (其中α为任意锐角或钝角)．如果成立，请你给出推理过程；若不成立，请说明理由．

例10．（2020·四川师范大学附属中学七年级期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝BC，点F为BC上一点，连接AF，过点C作CG⊥AF于点D，交AB于点G，点E是AF上任意一点．

（1）如图1，连接CE，若∠ACE＝∠B，且AE＝5，求CG的长；

（2）如图2，连接BE，交CG于点P，若点P恰为BE中点，求证，AE＝2DP．

随堂检测

1.如图△ABC和△DBC中，∠ABP=∠DBP，∠ACP=∠DCP，P是BC上任意一点，试说明：PA=PD．

2.已知，△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________．

3.从正方形ABCD的顶点A作∠EAF=45°，交DC于F，BC于E，试说明：DF+BE=EF．

4.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC的长．

5.如图，△ABC中，AB<AC，AD是中线，试说明：∠DAC<∠DAB．

6.△ABC中，AB>AC，AD是∠BAC的平分线，P是AD上任意一点，试说明：AB-AC>PB-PC．

7.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG=CF，试说明：∠BAD=∠CAD．

8.已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．试说明：BE+DF=AE．

9.如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，∠ BDC= 120°，BD=CD，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB，AC上，求△AMN的周长．

10.如图，已知梯形ABCD中，AB=CD=10厘米，BC=8厘米，∠B=∠C，点E为AB的中点．点P在线段BC上由B点向C点运动，同时点Q在线段CD上由C点向D点运动．

（1）若点P与Q都以2厘米/秒的速度运动，经过1．5秒后，△BPE与△CQP是否全等?请说明理由；

（2）若点P的速度为3厘米/秒，当点Q的运动速度为多少时，能够使△PBE与△CQP全等?