第13讲 等腰三角形一（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

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第13讲 等腰三角形一
等腰三角形从边和角两方面出发，阐述了它的特殊性．在理解等腰三角形的性质和判定的基础上，能够熟练的进行边和角之间的计算及证明，本节课的内容相对基础．

模块一：等腰三角形性质
知识精讲
等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）．
（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线．
例题解析
例1．（2018·上海七年级零模）如果一个等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，那么第三条边的长是________cm．
【答案】6
【分析】分“3cm为腰长”和“6cm为腰长”两种情况计算，再根据三边关系判断即可．
【详解】解：分两种情况考虑：
若3cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为3cm，3cm，6cm，因为3+3=6，不符合三边关系，故舍去；
若6cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为6cm，6cm，3cm，符合三边关系，则第三条边的长是6cm．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三边关系，掌握基础知识是关键，做题时注意分情况考虑．
例2．（2018·上海市闵行区上虹中学七年级月考）若等腰三角形有一个内角为80°，则该等腰三角形顶角的度数为________
【答案】80°或20°
【分析】分顶角为80°和底角为80°两种情况求解即可.
【详解】当底角为80°时，
顶角=180°-80°×2=20°.
故答案为：80°或20°.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及分类讨论的数学思想，分顶角为80°和底角为80°两种情况求解是解答本题的关键.
例3．（2018·上海市兴陇中学七年级月考）等腰三角形的两边的长分别为2cm和7cm，则三角形的周长是_______________．
【答案】16cm．
试题分析：分两种情况，当2cm为腰长，7cm为底边长时，三角形三边长分别为2cm,2cm,7cm，不符合三角形的三边关系，不构成三角形；‚当7cm为腰长，2cm为底边长时，三角形三边长分别为2cm,7cm,7cm，符合三角形的三边关系，所以三角形的周长为16cm．
考点：等腰三角形的性质；分类讨论．
例4．（2020·上海闵行区·）等腰三角形的两边长为4，9，则它的周长为___________．
【答案】22
【详解】解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9
∵4+4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去
4+9＞9，故4，9，9能构成三角形
∴它的周长是4+9+9=22．
故答案为：22．
例5．（2019·上海浦东新区·）等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线将这个三角形分成两部分,这两部分的周长之差为2cm，则这个等腰三角形的腰长为_______________．
【答案】8cm或12m
【详解】如图，设等腰三角形的腰长是xcm．
当AD+AC与BC+BD的差是2cm时，即x+x-（x+10）=2
解得：x=12cm；
当BC+BD与AD+AC的差是2cm时，即10+x-（x+x）=2
解得：x=8cm．
故腰长是：8cm或12cm．
例6等腰三角形底边长为7cm，它的周长不大于25cm，则它的腰长x的取值范围是
____________．
【难度】★
【答案】．
【解析】由题意得，解得：．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用．
例7.（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数是_______；
（2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为50°，则顶角的度数是___________．
【难度】★
【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）当三角形为锐角三角形时，顶角为，当三角形为钝角三角形时，顶角为；
（2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为50°，所以底角为，所以顶角为．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和的运用，注意分类讨论．
例8.已知：AB=AC，AD=DE=BE，BD=BC，那么∠A的度数为________．

【难度】★
【答案】．
【解析】∵AB=AC，AD=DE=BE，BD=BC，
∴、、、都是等腰三角形，
设，则，，
∴，∴，∴．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
例9.已知：在三角形ABC中，D是AC上一点，且AB=BC=CD，BE=DE，AD=AE，连
接DE，则∠C的度数为_________．

【难度】★
【答案】．
【解析】∵AB=BC=CD，BE=DE，AD=AE，
∴、、、都是等腰三角形，
设，则，，
∴，∴，∴．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质及平角定理的综合运用．
例10.如果等腰三角形的两个角的度数的比为4:1，那么顶角为（ ）
A．30°或120° B．120°或20° C．30°或20° D．以上都不正确
【难度】★
【答案】B．
【解析】当三个角度数比为时，顶角为；当三个角度数比为时，顶角为．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
例11.如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AD=BD，如果∠DBC=15°，那么∠A
（ ）
A．75° B．37.5° C．60° D．以上都不对

【难度】★★
【答案】B．
【解析】．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用．

例12.等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2
厘米，则它的腰长为（ ）
A．4厘米 B．8厘米 C．4厘米或8厘米 D．不确定
【难度】★★
【答案】C．
【解析】当腰比底大2时，腰长为8厘米；当腰比底小2时，腰长为4厘米．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质．
例13.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，那么△ABC的最大外角为（ ）
A．160° B．140° C．135° D．145°
【难度】★★
【答案】C．
【解析】和的外角为．
【总结】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用．
例14.在等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数最多有（重合的算一条）（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【难度】★★
【答案】B．
【解析】两腰上的角平分线、中线、高的条数最多有6条，底边上三线合一，所以共7条．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用．
例15.（2020·上海市建平中学七年级期末）如图，在中，，，垂足为，点 在 上，点 在的延长线上，且，试说明．

，
（ ）

（ ）
（完成以下说理过程）
【分析】根据已知条件判定两三角形全等并利用全等三角形的对应边相等得到线段DE=DF的长即可；
【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD．（ 等腰三角形底边上的高与底边上的中线、顶角的平分线重合）
∵CE∥BF，
∴∠CED=∠BFD，（两直线平行，内错角相等）
在△BFD和△CED中，
（对顶角相等）
∴△BFD≌△CED（AAS）
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，通常利用全等三角形证明线段相等或角相等．
例16.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，求∠DAE的度数．

【难度】★★
【答案】．
【解析】∵AD=DE，∴，
∵AB=AC，∴，
∵∠BAD=20°，∠EDC=10°，∴
∴，解得：，∴．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
例17.如图，在△ABC中，AC=BC，CD为AB边上的中线，点E为BC边上的一点，EF⊥AB，垂足为F，试说明∠ACD=∠BFE的理由．

【难度】★★
【解析】∵AC=BC，CD为AB边上的中线，
∴，，
∵EF⊥AB，∴∥，
∴，∴．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质与平行线性质的综合运用．
例18.如图，AB=AC，AD=CE，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明∠EAC=∠ACB的理由．

【难度】★★
【解析】∵AB=AC，AD=CE，∠1=∠2，
∴≌，∴，
∵∠3=∠4，，
∴．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质及全等的综合运用．
例19.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC上一点，EC⊥BC，EC=BD，DF=EF，说明AF⊥DE的理由．

【难度】★★
【解析】∵AB=AC，∠BAC=90°，∴，
∵EC⊥BC，∴，∴．
在△ABD与△ACE中，
∴≌，∴，∵DF=EF，∴AF⊥DE．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质与全等三角形性质的综合运用．
例20.等腰三角形的周长为30cm
（1） 若腰长为xcm，则x的取值范围是____________cm；
（2） 若底边长为acm，则a的取值范围是____________．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三边关系的综合运用．
例21如图，已知∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，则∠FEM=_____________．

【难度】★★★
【答案】．
【解析】∵∠A=150，AB=BC，
∴，．
∵BC=CD=DE=EF，同理可得：．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
例22.如图，在△ABC中，AB=BC，M，N为BC边上两点，并且∠BAM=∠CAN，MN=AN，则∠MAC的度数是____________．

【难度】★★★
【答案】．
【解析】设，∠CAN
∵AB=BC，∴．
∵MN=AN，∴．
∵，∠BAM=∠CAN，
∴，，
∴，∴，
∴．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理的综合运用．
模块二：等腰三角形的判定
知识精讲
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）．
例题解析
例1．（2018·全国）已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（　　）
A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或80°
【答案】D
【分析】有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【详解】如图所示，△ABC中，AB=AC．
有两种情况：
当顶角∠A=50°时
∠B=∠C=
当底角是50°时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-50°-50°=80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．

故正确选项为：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
例2．（2019·山东全国·七年级单元测试）如图所示方格纸中的三角形是(　　)

A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】是等腰三角形，AB，AC分别位于两个全等的直角三角形里．
【详解】从图上可知：△ADB≌△AEC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
故选A．

【点睛】本题考查了等腰三角形的概念和全等三角形的判定与性质，证明△ADB≌△AEC是解答本题的关键．
例3.下列说法中，不正确的是（ ）
A． 如果三角形ABC是等腰三角形，那么∠B=∠C
B． 如果△ABC中，∠B=∠A，那么△ABC是等腰三角形
C． 如果三角形的两条边相等，那么此三角形一定是等腰三角形
D． 有两个角相等的三角形是等腰三角形
【难度】★
【答案】A．
【解析】A选项，三角形ABC是等腰三角形，不能确定哪个角是顶角，故选A．
【总结】本题考查了等腰三角形的判定．
例4.（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠B=52°，那么∠A=__________；
（2）在Rt△ABC中，如果∠B=45°，那么△ABC是___________三角形；
（3）在△ABC中，如果∠BCA=30°，∠ABC=50°，那么△ABC是________三角形．
（按角分类）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）等腰直角三角形；（3）钝角．
【解析】（1）∵AB=AC，∴，∵∠B=52°，∴；
（2）∵在Rt△ABC中，∠B=45°，∴，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（3），∴△ABC是钝角三角形．
【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理的运用．
例5．（2020·山东泰安市·泰山中学七年级月考）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角度数是_______________．
【答案】20度或80度
【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【详解】当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°−80°×2＝20°．
故答案为：80°或20°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
例6．（2020·黑龙江省红光农场学校）在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则△ABC是______________三角形．
【答案】等腰
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠B，即可判断．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，
∴∠B=180°－∠A－∠C=70°
∴∠B=∠C
∴△ABC为等腰三角形
故答案为：等腰．
【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理和等腰三角形的判定，掌握三角形的内角和定理和等角对等边是解决此题的关键．
例7.若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为__________．
【答案】17
【分析】有两种情况：①腰长为3，底边长为7；②腰长为7，底边长为3，分别讨论计算即可.
【详解】①腰长为3，底边长为7时，
3+3＜7，不能构成三角形，故舍去；
②腰长为7，底边长为3时，
周长=7+7+3=17.
故答案为17.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，当腰和底不明确的时候，需要分类讨论，并利用三边关系舍去不符合题意的情况.
例8.（2020·山东淄博市·七年级期末）如图，在中，，，是的平分线，延长至，使，求证：．

【分析】在上截取,连,可得,再证明即可证明∠ECA=40°．
【详解】在上截取,连,

∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠FBD=20°,
又∵AB=FB,DB=DB,
∴,
∴,∠ABD=∠DBF=20°,
∵AB=AC,
∴,,
∴,
∴,
∵DF=DE,∠EDC=∠FDC,DC=DC,
∴,
故．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质 ，三角形全等的判定和性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
例9.已知AC=BC，∠ACD=∠BCE，试说明△CDE是等腰三角形的理由．

【难度】★★
【解析】∵AC=BC， ∴．
在△ACD与△BCE中，
∴≌（A．S．A）， ∴，
∴△CDE是等腰三角形．
【总结】本题考查了等腰三角形的判定理及全等三角形性质的综合运用．
例10.如图：BD平分∠ABC，CD平分△ABC的一个外角，DE∥BC，说明EF=BE-CF的理由．

【难度】★★
【解析】∵BD平分∠ABC，CD平分△ABC的一个外角，
∴，，
∵ED∥BC，∴，，
∴，，
∴，，∴．
【总结】本题考查了等腰三角形的判定及性质与平行线性质的综合运用．
例11.如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，试说明△DBE是等腰三角形．

【难度】★★
【解析】∵BA=BC，∴，
∵DF⊥AC，∴，，
∴，
∵，∴，
∴△DBE是等腰三角形．
【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理的运用．
例12.△ABC中，在（1）∠1=∠2；（2）AD⊥BC；（3）BD=CD；这三个条件中有两个条件成立，能否得出AB=AC?证明所有的可能．

【难度】★★
【解析】（1）、（2）作为已知条件时，
∵∠1=∠2，AD⊥BC，，
∴≌，
∴；
（2）、（3）作为已知条件时，
∵AD⊥BC，BD=CD，，∴≌，
∴；
（1）、（3）作为已知条件时，
过点分别向、作垂线交于、点，
∵，∠1=∠2，，
∴≌，∴，
∵BD=CD，∴≌，
∴，∴．
【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理的运用．
例13.如图，已知：在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的一点，且BD=CE，∠DEF=∠B，说明△DEF是等腰三角形的理由．

【难度】★★
【解析】∵AB=AC，∴．
∵，∠DEF=∠B，
∴．
在△DBE与△ECF中，
∴≌（A.S.A），∴，∴△DEF是等腰三角形．
【总结】本题考查了等腰三角形的判定及三角形外角性质的综合运用．
例14.已知三角形三个内角度数如图所示，试画一条直线MN，将这个三角形分割成两个等腰三角形．
【难度】★★
【解析】



【总结】本题考查了等腰三角形的分割，注意从多个角度考虑．
例15.（1）如图，在△ABC中，已知∠A=36°，∠ABC=72°，CD平分∠ACB，交边AB于点D．图中那几个是的等腰三角形?为什么?
（2）在第（1）小题中，如果再作DE∥BC，交边AC于E，那么上图中还有哪几个三角形是等腰三角形?为什么?

【难度】★★
【答案】（1）、、是等腰三角形；
（2）、是等腰三角形．
【解析】（1）由题意易得，
，∴、、是等腰三角形；
（2）∵DE∥BC， ∴、是等腰三角形．
【总结】本题考查了等腰三角形的判定与平行线性质的综合运用．
例16.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点，说明AG⊥EF的理由．

【难度】★★
【解析】∵BE平分∠ABC，∴，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴，
∵，∴，∴AF = AE．
∵G为EF的中点，∴AG⊥EF．
【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理及等角的余角相等的综合运用．
例17.如图，已知：D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，DE∥AB，交BC于点E，DF∥AC，交BC于点F，如果BC=12cm，求△DEF的周长．

【难度】★★
【答案】12厘米．
【解析】∵D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，
∴，，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴，，
∴，，
∴，， ∴，
∵BC=12cm，∴△DEF的周长为12厘米．
【总结】本题主要考查了“平行与角平分线可推出等腰三角形”的基本模型的运用．
例18.把一张长为8厘米，宽4厘米的长方形的纸条，像如图所示的那样折叠，重合部分是△BDE，求△ABE的周长，并简单说明理由．

【难度】★★★
【答案】12厘米．
【解析】由翻折可得：．
∵∥，∴，∴．
∴，
∵，， ∴厘米．
【总结】本题考查了翻折的性质与基本模型的综合运用，解题时注意观察．

例19.如图，在△ABC中，∠ACB=45°，∠ABC=60°，AD、CF分别是BC、AB边上的高，且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD、CF于点M、N，试找出图中所有的等腰三角形，并简述理由．

【难度】★★★
【答案】、、、、是等腰三角形，理由见解析．
【解析】∵∠ACB=45°，∠ABC=60°，∴．
∵AD、CF分别是BC、AB边上的高，
∴，，，
∵BE是∠ABC的平分线，∴．
易得：，，
∴等腰三角形有、、、、．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质及判定的综合运用，等腰三角形较多，不要漏解．
随堂检测
1.在△ABC中，已知AB=3，∠B=52°，如果AC=3，那么∠A=________．
【难度】★
【答案】．
【解析】∵，∴，∴．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
2.等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为__________．
【难度】★
【答案】、或、．
【解析】当100°为底角的外角时，另两角为、；
当100°为顶角的外角时，另两角为、．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质．
3.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC=___________．

【难度】★
【答案】．
【解析】∵AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=84°，
∴，
∵BD=BE，∴，∴．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的运用．
4.（1）如果等腰三角形中有一个角为120°，另外两个角的度数为________；
（2）如果等腰三角形中有一个角为30°，另外两个角的度数为____________．
【难度】★★
【答案】（1）、；（2）、或、．
【解析】（1）只能为等腰三角形的顶角，所以另外两个角的度数为、；
（2）当为等腰三角形的底角时，另外两个角的度数为、；
当为等腰三角形的顶角时，另外两个角的度数为、．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质，注意要分类讨论．
5.（1）等腰三角形的两边长分别为6厘米和12厘米，它的周长为________；
（2）等腰三角形的两边长分别为8厘米和12厘米，它的周长为___________．
【难度】★★
【答案】（1）30厘米；（2）28厘米或32厘米．
【解析】（1）由三角形的存在性可知6厘米为底，12厘米为腰，所以周长为30厘米；
（2）当8厘米为腰时，周长为28厘米；当12厘米为腰时，周长为32厘米．
【总结】本题考查了三边关系的运用，注意考虑三角形的存在性问题．
6.如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，∠DAB=∠DBA，又知AC=18，△CBD的周长为28，求BC的长．


【难度】★★
【答案】10．
【解析】∵CE平分∠ACB， 且CE⊥BD，
∴△BCD是等腰三角形（等腰三角形的三线合一）
即．
∵∠DAB=∠DBA， ∴．
∵△CBD的周长为28，
∴，即，
∵AC=18，∴．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用．
7.如图，已知：△ABC中∠C的平分线CD交AB于点D，DE∥BC于点E，若DE=3，AE=4，求AC的长．

【难度】★★
【答案】7．
【解析】∵是的角平分线，
∴，
∵DE∥BC，∴，
∴，∴．
∵DE=3，AE=4，
∴．
【总结】本题主要考查了“平行与角平分线可推出等腰三角形”的基本模型的运用．
8.如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD=∠ACE，CE=BD．说明：（1）△ADE也是等腰直角三角形；（2）BD⊥CE的理由．

【难度】★★★
【解析】（1）在△ABD与△ACE中，
∴≌，
∴，，
∴．
∵∠BAC=90°，∴，
∴△ADE也是等腰直角三角形；
（2）∵≌， ∴，
∵，
∴
∴，
∴BD⊥CE．
【总结】本题考查了全等三角形判定及等腰三角形的性质和判定的综合运用．