第13讲 等腰三角形一（练习）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

第13讲 等腰三角形一（练习）

夯实基础

一、单选题

1．（2019·乐清育英学校初中分校）等腰三角形的两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是(   )

A． B． C．或  D．或

【答案】D

【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．

【详解】解：①当9为腰时，9＋9＞12，故此三角形的周长＝9＋9＋12＝30；

②当12为腰时，9＋12＞12，故此三角形的周长＝9＋12＋12＝33．

故选D．

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．

2．（2019·山东济南市·七年级期末）等腰三角形中，有一个角是，它的一条腰上的高与底边的夹角是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】分①40°角是顶角时，根据等腰三角形两底角相等求出∠B，再根据直角三角形两锐角互余计算即可得解；②40°角是底角时，利用直角三角形两锐角互余计算即可得解．

【详解】解：①40°角是顶角时，如图1，

∵CD是高，

∴∠BCD=90°-70°=20°；

②40°角是底角时，

∵CD是高，

∴∠BCD=90°-40°=50°；

综上所述，它的一条腰上的高与底边的夹角是20°或50°．

故选：C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和直角三角形两锐角互余． 熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观，注意分类讨论思想的应用．

3．（2019·山东滨州市·七年级期末）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（    ）．

A．12 B．16 C．16或20 D．20

【答案】D

【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析，然后根据三角形三边关系进行判断．

【详解】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；

②当8为腰时，8-4＜8＜8+4，符合题意．

故此三角形的周长=8+8+4=20．

故选：D．

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．

4．（2020·无锡市江南中学七年级月考）若等腰三角形的两边长分别是5和10，则它的周长是（    ）

A．20    B．25    C．20或25    D．以上都不对

【答案】B

【分析】根据腰为5或10, 分类求解, 注意根据三角形的三边关系进行判断. 注意要进行检验是否能构成一个三角形.

【详解】当等腰三角形的腰为5时, 三边为5, 5, 10, 5+5=10, 三边关系不成立,

当等腰三角形的腰为10时, 三边为5, 10, 10, 三边关系成立, 周长为5+10+10=25.

故答案选B.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形的三边的关系.

5．（2020·海南鑫源高级中学七年级期末）已知等腰三角形的两条边分别为6和3，则等腰三角形的周长为（    ）

A．9 B．12 C．13 D．15

【答案】D

【分析】因为等腰三角形的两边分别为6和3，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．

【详解】解：当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；

当3为腰时，其它两边为3和6，因为3+3=6，所以不能构成三角形，故舍去．

所以答案只有15．

故选：D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

6．（2022·山东泰安市·七年级期末）等腰三角形的两边长分别为1cm，2cm，则其周长为（  ）

A．3cm B．4cm C．4cm或5cm D．5cm

【答案】D

【分析】因为等腰三角形的两边分别为2和1，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．

【详解】解：当2为底时，三角形的三边为1，2，1，∵1+1=2，∴不能构成三角形；

当1为底时，三角形的三边为1，2，2，可以构成三角形，周长为：1+2+2=5cm．

综上可知，其周长为5cm．

故选：D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，以及三角形三条边的关系，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

7．（2020·辽宁锦州市·七年级期末）如图在△ABC中，AB=AC，AD=BC=8，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（    ）

A．6 B．9 C．16 D．24

【答案】C

【分析】由题意根据等腰三角形性质求出BD=DC，AD⊥BC，推出△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S△BEF=S△CEF，根据图中阴影部分的面积是S△ABC求出即可．

【详解】解：∵AB=AC，AD=BC=8，AD是△ABC的中线，

∴BD=DC=BC=4，AD⊥BC，

∴△ABC关于直线AD对称，

∴B、C关于直线AD对称，

∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，

∴S△BEF=S△CEF，

∵△ABC的面积是：×BC×AD=×8×8=32，

∴图中阴影部分的面积是S△ABC=16．

故选：C．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形BEF与三角形CEF关于AD对称，面积相等是解决本题的关键．

二、填空题

8．（2020·常州市第二十四中学七年级期中）等腰三角形的两条边长为2和5，则该等腰三角形的周长为_________．

【答案】12

【分析】因为已知长度为2和5两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．

【详解】解：当5为底时，其它两边都为2，

∵2+2＜5，

∴不能构成三角形，故舍去，

当5为腰时，其它两边为2和5，

5、5、2可以构成三角形，

∴周长为5+5+2=12．

故答案为：12．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

9．（2022·江苏泰州市·七年级期末）若一个等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是______．

【答案】22

【分析】分别从等腰三角形的腰为和两种情况讨论，结合三角形三边关系分析，再计算出周长即可．

【详解】解：当为腰长时，三角形三边为、和，

∵4+4＜9，

所以不构成三角形，舍去；

当为腰长时，三角形三边为、和，

∵9+4＞9，

所以可以构成三角形，周长为9+9+4=22cm，

故答案为：22．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．解题的关键是分情况讨论，再根据三角形三边关系判断能否组成三角形．

10．（2018·山东淄博市·）等腰三角形的一个角100°，它的另外两个角的度数分别为_____．

【答案】40°，40°

【分析】先判断出的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．

【详解】解：∵等腰三角形的一个角

∴的角是顶角

∴另两个角是

即，

故答案是：，

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．

11．（2020·江苏无锡市·七年级期中）等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是______.

【答案】或

【分析】因为腰长没有明确，所以分①3cm是腰长，②4cm是腰长两种情况求解．

【详解】解：①3cm是腰长时，能组成三角形，周长＝3＋3＋4＝10cm，

②4cm是腰长时，能组成三角形，周长＝4＋4＋3＝11cm，

所以，它的周长是10或11cm．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，易错点是要分情况讨论求解．

12．（2019·句容市第二中学）已知等腰三角形的两条边长分别为2和3，则它的周长为________

【答案】7或8

【分析】根据等腰三角形的性质两腰相等求解即可，注意分腰长为2和腰长为3两种情况讨论.

【详解】根据题意，

①当腰长为2时，周长=2+2+3=7；

②当腰长为3时，周长=3+3+2=8．

故答案为7或8.

【点睛】等腰三角形的性质是本题的考点，此题需注意的是分情况讨论，不要漏解.

三、解答题

13．（2020·全国七年级课时练习）已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，求它的周长．

【答案】22

【分析】此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长．

【详解】当4为腰，9为底时，∵4+4＜9，∴不能构成三角形；

当腰为9时，∵9+9＞4，∴能构成三角形，

∴等腰三角形的周长为：9+9+4＝22．

【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，注意分类讨论.

14．（2019·全国七年级课时练习）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．

（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．

（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析

【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论；

（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，即可得到结论．

【详解】（1）证明：平分

∴∠ABD=∠DBC

∴∠ADB=∠DBC

∴∠ABD=∠ADB，

；

②，

平分

（2）

理由：∵CD、BD分别平分∠ACE，∠ABE，

，∠DBC=∠ABC，

又

又∵∠BDC+∠DBC=∠DCE

∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，

∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，

∴．

【点睛】本题考查三角形的外角性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和三角形的外角性质是解题的关键．

15．（2022·山东泰安市·七年级期末）如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠B＝65°．

（1）求∠BCE的度数；

（2）若∠A＝20°，求∠ACE的度数．

【答案】（1）50°；（2）45°．

【分析】（1）根据全等三角形对应边相等性质可得CB＝CE，再由等边对等角性质解得∠CEB＝∠B＝65°，最后在△BEC中，利用三角形内角和180°解题即可；

（2）三角形内角和180°解得∠ACB＝95°，在△ABC中，再利用三角形内角和180°解题即可．

【详解】解：（1）∵△ABC≌△DEC，

∴CB＝CE，

∴∠CEB＝∠B＝65°，

在△BEC中，∠CEB+∠B+∠ECB＝180°，

∴∠ECB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，

（2）∵∠A＝20°，∠B＝65°

∴∠ACB＝95°，

在△ABC中，

∠ACE＝180-∠A-∠B-∠ECB＝180°-20°-65°-50°＝45°．

【点睛】本题考查全等三角形的性质、等边对等角、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

16．（2020·辽宁本溪市·七年级期末）如图，在中，点D在BC边上，BD=AD=AC，于点E，若．求度数．

【答案】

【分析】根据等腰三角形的性质可得，通过三角形外角的性质计算得，再根据等腰三角形底边三线合一的性质即可得解．

【详解】解：∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

 ∴．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质；本题关键在于能够用三角形外角的性质进行交的转换．

能力提升

一、单选题

1．（2020·四川巴中市·七年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，若AB=12，BC=8，AC=10，则△AEF的周长为（　　）

A．15 B．18 C．20 D．22

【答案】D

【分析】利用平行和角平分线的定义可得到∠EBD=∠EDB，所以可得ED=EB，同理可得DF=FC，所以△AEF的周长即为AB+AC，可得出答案．

【详解】∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴ED=EB，

同理可证得DF=FC，

∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=22，

即△AEF的周长为22，故选D.

【点睛】考查[等腰三角形的判定与性质, 平行线的性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键.

2．（2020·成都市金牛实验中学校七年级月考）如图，中，，，与的平分线交于点D，，，则（    ）．

A．9cm B．6cm C．5cm D．4cm

【答案】B

【分析】根据角平分线的性质及平行线的特点证明，，再根据周长的定义即可求解．

【详解】，，

，，

平分，CD平分，

，，

，，

，，

．

故选B．

【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知平行线与角平分线的性质特点．

3．（2020·四川成都市·七年级期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3 =（　  　）

A．150° B．135° C．120° D．90°

【答案】B

【分析】由图及题意可得∠1+∠3=90°，∠2=45°，然后问题可求解．

【详解】解：如图，由6个边长相等的正方形的组合图形，

∴AG=DE，AE=BG，AF=CF，∠AGB=∠DEA=∠AFC=90°，

∴△AGB≌△DEA，∠2=45°，

∴∠1=∠DAE，

∵∠DAE+∠3=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°；

故选B．

【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键．

4．（2018·全国七年级课时练习）数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画(   )个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】作图有以下几种情况：

故选C ．

点睛：本题主要考查了作图—基本作图，且考察了对等腰直角三角形的理解，问题中容易忽视的是射线AN，而不是直线AN．

5．如图，中，，，平分，于点，连结交于点，则图中的等腰三角形有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【分析】根据等腰三角形的判定，运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，证得∠CAD=∠BAD=30°，CD=ED，AC=AE，即△ABD、△CDE、△ACE、△BCE是等腰三角形.

【详解】∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠BAC=60°，

∵AD是角平分线，

∴∠CAD=∠BAD=30°，

∴AD=BD．

∴△ABD是等腰三角形．

∵AD是角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，

∴CD=ED

∴AC=AE

∴△CDE、△ACE是等腰三角形；

∵AC=AE，∠BAC=60°，

∴∠ACE=60°，

∵，

∴∠BCE=30°

∴∠BCE=∠B

∴△CEB是等腰三角形

所以此图中有4个等腰三角形．

故选C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；要综合运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，找到相等的线段，来判定等腰三角形．

6．（2018·全国七年级课时练习）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（  ）

A．6条 B．7条 C．8条 D．9条

【答案】B

试题分析：利用等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．

解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．

故选B．

点评：此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．

7．如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80º，则∠B的度数是（  ）

A．40º B．35º C．25º D．20º

【答案】C

分析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可．

解答：解：∵AC=AD，

∴∠ADC=∠C，

∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∠DAC=80°，

∴∠ADC=（180°-80°）÷2=50°，

∵AD=BD，

∴∠B=∠BAD，

∵∠ADC=∠B+∠BAD=50°，

∴∠B=（50÷2）=25°．

故答案为C．

二、填空题

8．（2022·山东烟台市·七年级期末）如图，△ABC≌△ADE，且点D在BC上，∠BAE＝114°，∠BAD＝40°，则∠E的度数是_____．

【答案】36°

【分析】根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，∠ADE=∠B，AB=AD，然后根据等边对等角求得∠B的度数，从而利用三角形内角和求解

【详解】解：∵△ABC≌△ADE，

∴∠BAC=∠DAE，∠ADE=∠B，AB=AD，

又∵∠BAE＝114°，∠BAD＝40°

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=74°

∠B=∠ADB=

∴∠ADE=70°

在△ADE中，∠E=180°-∠ADE-∠DAE=36°

故答案为：36°

【点睛】本题主要考查全等三角形及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等及等边对等角是解题的关键．

9．（2020·全国七年级课时练习）如图已知AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm. 则AE的长是_____．

【答案】2cm

【解析】∵AB⊥CD　　△BCE是等腰三角形

∴BC= BE=3 cm.

∵CD=8cm

∴BD= BC－CB=8cm－3 cm=5 cm

∵△ABD是等腰三角形

∴AB=BD=5 cm

∴AE=AB－BE=5 cm－3 cm=2 cm

点睛：本题充分利用等腰三角形的性质和线段的和差进行解决问题，步骤虽多，但内容较简单．

三、解答题

10．（2020·山东菏泽市·七年级期末）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，AD=AE，且 BE=． 试说明：AB 平分∠EAD．

【分析】首先根据等腰三角形三线合一得出BD=，AD⊥BC，从而有BD=BE，然后即可证明△ABE≌△ABD，从而有∠BAE=∠BAD，则结论可证．

【详解】解：∵AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，

∴BD=，AD⊥BC， 

∵BE=，

∴BD=BE， 

∵AD=AE，AB=AB

∵△ABE≌△ABD

∴∠BAE=∠BAD

∴AB 平分∠EAD．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质和等腰三角形的性质是解题的关键．

11．（2022·山东烟台市·七年级期末）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．

（1）求证：△ABC≌△DCB；

（2）若∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．

【答案】（1）证明见解析，（2）∠EBC＝25°

【分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；

（2）根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可．

【详解】（1）在△ABE和△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE（AAS）；

（2）∵△ABE≌△DCE，

∴BE=EC，

∴∠EBC=∠ECB，

∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，

∴∠EBC=25°．

【点睛】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形两底角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键．

12．（2022·山东烟台市·七年级期末）如图，在中，．和的平分线相交于点，交于点，交于点．求的周长．

【答案】8

【分析】根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得BD＝DF，同理可得CE＝EF，然后求出△DEF的周长＝BC，代入数据即可得解．

【详解】解：∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴．

∴．

同理，．

∴的周长为．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记定义与性质并求出△DEF的周长＝BC是解题的关键．

13．（2018·全国七年级课时练习）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

求证：BD=2CE．

【分析】由已知条件，根据等腰三角形三线合一这一性质，得到CE=FE，再证明△ABD≌△ACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CE．

【详解】∵BE平分∠FBC，BE⊥CF，

∴BF=BC，CE=EF，

∴CF=2CE，

∵∠BAC=90°，且AB=AC，

∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠FBE=∠CBE=22.5°，

∴∠F=∠ADB=67.5°，

在△ABD和△ACF中，

，

∴△ABD≌△ACF（AAS），

∴BD=CF，

∴BD=2CE．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练应用等边对等角以及等腰三角形三线合一的性质．

14．（2018·江苏全国·七年级课时练习）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．

【答案】这个等腰三角形的三边长为10 cm，10 cm，1 cm.

【解析】试题分析：设AB=AC=2X，BC=Y，则AD=CD=X，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．

试题解析：设AB=AC=2X，BC=Y，则AD=CD=X，

∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，

∴有两种情况：

①当3X=15，且X+Y=6，

解得X=5，Y=1，

∴三边长分别为10，10，1；

②当X+Y=15且3X=6时，

解得X=2，Y=13，此时腰为4，

根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8＜13，

故这种情况不存在．

∴腰长是10，底边长是1．

15．（2019·全国七年级课时练习）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE． 求证：AC－AB＝2BE.

【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3=∠4，AB=AM，∴AC-AB=AC-AM=CM．再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM=BM利用等量代换即可求证．

【详解】证明：延长BE交AC于M

∵BE⊥AE，

∴∠AEB=∠AEM=90°

在△ABE中，

∵∠1+∠3+∠AEB=180°，

∴∠3=90°-∠1

同理，∠4=90°-∠2

∵∠1=∠2，

∴∠3=∠4，

∴AB=AM

∵BE⊥AE，

∴BM=2BE，

∴AC-AB=AC-AM=CM，

∵∠4是△BCM的外角

∴∠4=∠5+∠C

∵∠ABC=3∠C，∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5

∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C

∴∠5=∠C

∴CM=BM

∴AC-AB=BM=2BE.

【点睛】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题.

16．（2018·湖北全国·七年级课时练习）如图，在△ABC和△DEC中，∠ABC=∠DEC=90°，连接AD交射线EB于F，AC∥DE，延长CA交射线EB于点G，点F恰好是AD中点.

（1）求证：△AFG≌△DFE；

（2）若BC=CE，

①求证：∠ABF=∠DEF；

②若∠BAC=30°，试求∠AFG的度数.

【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析②∠AFG=60°．

试题分析：

（1）由AG∥DE易得：∠G=∠DEF；由F是AD的中点易得AF=DF，结合∠AFG=∠DFE，即可证得：△AGF≌△DEF；

（2）①由BC=CE可得∠CBE=∠CEB，结合∠ABC=DEC=90°，易得∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°，从而可得∠ABF=∠DEF；

②由△AGF≌△DEF可得∠G=∠DEF，AG=DE结合∠ABF=∠DEF，可得：∠ABF=∠G，从而可得：AG=AB，这样即可得到：AB=DE，结合∠ABC=∠DEC=90°，BC=CE即可证得：△ABC≌△DEC，由此可得AC=CD，∠EDC=∠BAC=30°，结合AC∥DE可得∠ACD=∠EDC=30°，从而可得∠CAD=；由∠BAC=∠G+∠ABG=30°结合∠G=∠ABG易得∠G=15°，结合∠CAD=∠G+∠AFG即可得到∠AFG=60°.

试题解析：

（1）∵AG∥DE，点F是AD的中点，

∴∠G=∠DEF，AF=DF，

∵△AGF和△DEF中，

，

∴△AGF≌△DEF（AAS）；

（2）① ∵BC=CE，

∴∠CBE=∠CEB，

∵∠ABC=DEC=90°，

∵∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°，

∴∠ABF=∠DEF；

②∵△AGF≌△DEF，

∴∠G=∠DEF，

∵∠ABF=∠DEF，

∴∠ABF=∠G，

∴AG=AB，

∵△AGF≌△DEF，

∴AG=DE，

∴DE=AB，

∵△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC，（SAS）

∴AC=CD，∠BAC=∠EDC，

∵AC∥DE，

∴∠EDC=∠ACD，

∴∠ACD=∠BAC=30°，

∴∠CAD=75°，

∵∠ABF=∠G，∠BAC=30°，

∴∠G=15°，

∵∠CAD=∠G+∠AFG，

∴∠AFG=60°.

点睛：本题是一道综合考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质的题目，解第2小题第（1）问的关键是由∠ABC=90°得到∠ABF+∠CBE=90°；解第2小题第（2）小问的关键是结合前面证得△ABC≌△DEC，这样即可结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质求得∠AFG的度数.