专题01模型方法课之倍长中线法重点练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（人教版）

专题01模型方法课之倍长中线法重点练（原卷版）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（    ）

A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4

2．如图，在中，为的中点，若．则的长不可能是（    ）

A．5 B．7 C．8 D．9

3．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（    ）．

A．2 B． C． D．3

二、填空题

4．如图，在中，是边上的中线，，，，则_______．

5．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝__．

三、解答题

6．在ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．

（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；

（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

7．如图，已知AD是的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E．若BE=6，求点C到AD的距离．

8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．

（1）如果，，求证：△ABC是直角三角形．

（2）如果，，，，求BC的长．

9．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，DE=2AM，点M为BC的中点，连接AM．求证：AD⊥AC

10．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．

（探究与发现）

（1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：．

（理解与应用）

（2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取值范围是________．

（3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：．

11．阅读下面材料：

数学课上，老师给出了如下问题：

如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．

经过讨论，同学们得到以下思路：

完成下面问题：

（1）这一思路的辅助线的作法是：　   　                          ．

（2）请你给出一种不同于以上思路的证明方法（要求：写出辅助线的作法，画出相应的图形，并写出证明过程）．

12．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．

（1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是               ；

（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；

（3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明．

13．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．

已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．

求证：AB＝CD．

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．

（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．

①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；

②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．

（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．

14．如图，中，，，为中线，求中线的取值范围．

15．阅读下列材料，完成相应任务．

数学活动课上，老师提出了如下问题：

如图1，已知中，是边上的中线．

求证：．

智慧小组的证法如下：

证明：如图2，延长至，使，

∵是边上的中线∴

在和中

∴（依据一）∴

在中，（依据二）

∴．

任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1：______________________________________________；

依据2：______________________________________________．

归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．

任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；

任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．

16．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，．

（1）如图1，①若，请直接写出______；

②连接，若，求证：；

（2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由．

17．在与中，，，，连接，点为的中点，连接，绕着点旋转．

（1）如图1，当点落在的延长线上时，与的数量关系是：__________；

（2）如图2，当旋转到点落在的延长线上时，与是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；

（3）旋转过程中，若当时，直接写出的值．

18．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．

（1）求四边形AEDF的周长；

（2）若∠BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．

19．在等腰Rt△ABC中∠ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中∠CDE＝90°，DE＝DC，连接AD，点F是线段AD的中点．

（1）如图1，连接BF，当点D和点E分别在BC边和AC边上时，若AB＝3，CE＝2，求BF的长．

（2）如图2，连接BE、BD、EF，当∠DBE＝45°时，求证：EF＝ED．

20．（1）方法呈现：

如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；

（2）探究应用：

如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．

21．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P．

（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；

（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，

①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是　       　．

②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．