专题02模型方法课之截长补短解题方法专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（人教版）

专题02模型方法课之截长补短解题方法专练（原卷版）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AB＝CD，BF＝，则AD的长为________．

二、解答题

2．如图，中，，分别平分和，，相交于点，．

（1）求的度数；

（2）判断，，之间的等量关系，并证明你的结论．

3．已知等边三角形ABC，D为△ABC外一点，，BD=DC，，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N．

（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系；

（2）当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明；

（3）当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并求出BM、NC、MN之间的数量关系．

4．在四边形中，是边的中点．

（1）如图（1），若平分，，则线段、、的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）

（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．

5．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DEBC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG∠BDE．

（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC=     ；

（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．

6．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

（解决问题）

如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，则，试说明理由．

证明：延长CD到G，使，

在与中，

∴理由：（SAS）

进而证出：___________，理由：（__________）

进而得．

（变式探究）

如图，四边形ABCD中，，点E、F分别在边BC、CD上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系________________时，仍有．请证明你的猜想．

（拓展延伸）

如图，若，，，但，，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系．

7．阅读题：如图1，平分，以为圆心任意长为半径画弧，交射线，于，两点，在射线上任取一点（点除外），连接，，可证，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：

（1）如图2，在中，，平分交于点，试判断与、之间的数量关系；

（2）如图3，在四边形中，平分，，，，求的面积．

8．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明 ABE≌ADG，再证明AEF≌AGF，可得出结论，他的结论应是______________；

（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

9．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，．

（1）求的度数；

（2）求证：．

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．

（1）求∠ADB的度数；

（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．

11．如图，，、分别平分、，与交于点O．

（1）求的度数；

（2）说明的理由．

12．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．

13．如图所示，已知AC平分∠BAD，，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明．

14．如图所示，平分平分；

（1）求与的数里关系，并说明你的理由．

（2）若把条件去掉，则（1）中与的数里关系还成立吗?并说明你的理由．

15．如图，是边长为1的等边三角形，，，点，分别在，上，且，求的周长．

16．已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，．

（1）求证：；

（2）如图，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式；

（3）如图，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论．

17．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．

（1）如图1，在四边形中，，，连接．

①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．

②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明．

（2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明．

18．在平行四边形中，于，于，为上一动点，连接，交于，且．

（1）如图1，若，求、的长；

（2）如图2，当时，求证：；

（3）如图3，若，点是直线上任一点，将线段绕点逆时针旋转60°，得到线段，请直接写出的最小值_____．

19．问题提出，如图1所示，等边△ABC内接于⊙O，点P是上的任意一点，连结PA，PB，PC．线段PA、PB、PC满足怎样的数量关系?

（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB，∠ACB=60°，从而将CP绕点逆时针旋转60°交PB延长线于点M，从而证明△PAC≌△MBC，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA、PB、PC的数量关系是       ；

（自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，

①PC与PA，PB有怎样的数量关系?请说明理由：

②PC+PD与PA，PB的数量关系是           ．（直接写出结果）

（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE与PA+PB的数量关系是         ．（直接写出结果）

20．如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．

（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；

（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；

（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ＋BQ的最小值．