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专题03 多边形及其内角和重难点专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（人教版）
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专题03多边形及其内角和重难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2020·广州大学附属中学八年级期中）如图，在六边形ABCDEF中，∠A+∠F+∠E+∠D =，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据多边形的内角和公式求出六边形的内角和，再用α表示出∠ABC+∠BCD，进一步根据PB、PC分别平分∠ABC与∠BCD即可表示出∠PBC+∠PCB，然后在△PBC中利用三角形的内角和定理即可得出答案.
【详解】
解：六边形内角和=(6－2)×180°=720°，
∴∠ABC+∠BCD =720°－(∠A+∠F+∠E+∠D )=720°－，
∵ ∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，
∴∠PBC+∠PCB=（720°－α）=360°－α，
∴∠P=180° －（∠PBC+∠PCB）=180°－（360°－α）=α－180°，
故答案为A.
【点睛】
本题考查了多边形的内角和、角平分线的定义和三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和公式和三角形的内角和定理以及整体代入的思想方法是解题的关键.
2．（2020·陕西八年级期中）如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（ ）
A．36°
B．54°
C．60°
D．72°
【答案】B
【分析】
先求出正五边形一个的外角，再求出内角度数，然后在四边形BCDG中，利用四边形内角和求出∠G.
【详解】
∵正五边形外角和为360°，∴外角，
∴内角，
∵BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF
∴，
在四边形BCDG中，
∴
故选B.
【点睛】
本题考查多边形角度的计算，正多边形可先计算外角，再计算内角更加快捷简便.
3．（2022·湖北八年级期末）一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则多边形是( )
A．五边形 B．六边形 C．八边形 D．十二边形
【答案】C
【分析】
根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理列出方程即可求解．
【详解】
解：设多边形的边数是n，则
（n-2）•180°=3×360°，
解得：n=8．
故选C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理以及外角和定理，熟知定理是关键．
4．（2022·河南八年级期末）如图，在五边形ABCDE中，，DP、CP分别平分、，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=α，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．
【详解】
∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=α，
∴∠BCD+∠CDE=540°-α，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=270°-α，
∴∠P=180°-（270°-α）=α-90°．
故选：A．
【点睛】
此题考查多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
5．（2022·安徽芜湖市·八年级期末）一个正多边形的外角等于36°，则这个正多边形的内角和是（ ）
A．1440° B．1080° C．900° D．720°
【答案】A
【分析】
由正多边形的外角为36°，可求出这个多边形的边数，再根据内角和计算公式可求出内角和．
【详解】
解：∵一个正多边形的外角等于36°，
∴这个正多边形是正十边形，
∴内角和为（10﹣2）×180°＝1440°，
故选：A．
【点睛】
本题考查多边形的外角和、内角和，解题关键是理解和掌握多边形的外角和、内角和的计算方法．
6．（2022·河北八年级期末）如图是正五边形的三个外角，若则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案.
【详解】
解：根据题意，五边形的内角和为：，
∵
，
∵，
∴；
故选：C.
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题.
7．（2022·山东八年级期末）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】
先根据多边形外角和为360°且各外角相等求得边数，再根据多边形对角线条数的计算公式计算可得．
【详解】
解：根据题意，此正多边形的边数为360°÷45°＝8，
则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为：8﹣3＝5（条）．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了多边形的对角线，多边形的外角和定理，n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线．
8．（2022·湖北八年级期中）五边形对角线的条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据三角形以及对角线的概念，不难发现：从一个顶点出发的对角线除了和2边不能组成三角形外，其余都能组成三角形，故从一个顶点出发的对角线有（n-3）条．
【详解】
从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，对角线的总数是；
可得五边形的对角线条数为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线，解题关键是n边形从一个顶点出发的对角线有（n-3）条．
9．（2022·山东八年级期末）如图，在五边形中，，，分别平分，，则的度数（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】A
【分析】
先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数．
【详解】
解：在五边形中，内角和为，
，
，
又、分别平分、，
，
中，．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和且为整数）．
10．（2022·广东八年级期末）如图，已知中，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ）
A．90° B．135° C．270° D．315°
【答案】C
【分析】
如图（见解析），先根据三角形的外角性质可得，再根据邻补角的定义即可得．
【详解】
如图，由三角形的外角性质得：，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质、邻补角，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
11．（2020·山东八年级期末）若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【详解】
试题分析：由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．
解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°，
∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，
故选C．
考点：多边形内角与外角．
12．（2022·全国八年级）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的邻补角的平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）
A．10° B．15° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】
利用四边形内角和是可以求得．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得 的度数，所以根据的内角和定理求得的度数即可．
【详解】
解：，，
．
又的角平分线与的外角平分线相交于点，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是”是解题的关键．
13．（2022·浙江杭州市·八年级期中）下列关于多边形的说法不正确的是（ ）
A．内角和外角和相等的多边形是四边形
B．十边形的内角和为1440°
C．多边形的内角中最多有四个直角
D．十边形共有40条对角线
【答案】D
【分析】
根据多边形的内角和、外角和，多边形的内角线，即可解答．
【详解】
A、内角和与外角和相等的多边形是四边形，正确；
B、十边形的内角和为1440°，正确；
C、多边形的内角中最多有四个直角，正确；
D、十边形共有35条对角线，故错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形，解决本题的关键是熟记多边形的有关性质．
14．（2022·全国八年级专题练习）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
多边形的外角和是，则内角和是,设这个多边形是n边形，内角和是，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值.
【详解】
解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
，
解得：．
即这个多边形为六边形．
故选：C.
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键，根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决.
15．（2022·全国八年级）若过边形的一个顶点的所有对角线正好将该边形分成个三角形，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形，依此可得n的值．
【详解】
解：经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，由题意，得，解得．
故选．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
16．（2022·全国八年级）某个人从多边形一个顶点出发引对角线可以把这个多边形分成八个三角形，这个多边形是（ ）边形
A．六 B．八 C．十 D．十一
【答案】C
【分析】
根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形，依此可得n的值．
【详解】
根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形，
∴n−2＝8，即n＝10．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
17．（2022·河南）一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】
设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和4倍可得方程180（n﹣2）＝360×4，再解方程即可．
【详解】
解：设多边形有n条边，由题意得：
180（n﹣2）＝360×4，
解得：n＝10，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n﹣2）．
18．（2022·山东八年级期末）如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（ ）
A．90° B．108° C．120° D．135°
【答案】B
【分析】
先求出正五边形的内角和，再除以内角的个数即可得到答案．
【详解】
解：正五边形的内角和=，
∴∠BAE=，
故选：B．
【点睛】
此题考查正多边形内角和公式及求正多边形的一个内角的度数，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
19．（2022·山东威海市·）一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，这个多边形为（ ）
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
【答案】B
【分析】
设一个外角是x，则一个内角是3x，列得3x+x=180°，求得x，再用外角和360°除以x即可得到答案．
【详解】
设一个外角是x，则一个内角是3x，3x+x=180°，
解得：x=45°，
由于多边形的外角和为360°，
则边数为360°÷45°=8，
故选：B．
【点睛】
此题考查多边形内角与外角互补计算，多边形外角和，求多边形边数，熟记多边形外角与内角的关系是解题的关键．
20．（2022·安徽八年级期末）如果一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点可以作（ ）条对角线．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先利用n边形的内角和公式算出n，再利用n边形的每一个顶点有(n-3)条对角线计算即可.
【详解】
根据题意,得
(n-2)×180=1260，
解得n=9，
∴从这个多边形的一个顶点可以作对角线的条数为：
n-3
=9-3
=6.
故选C.
【点睛】
本题考查了n边形的内角和和经过每一个顶点可作的对角线条数，熟记多边形内角和公式，计算经过每一个顶点的对角线条数计算公式是解题的关键.
21．（2022·湖北黄冈市·八年级期末）一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则它是（ ）边形．
A．六 B．七 C．八 D．九
【答案】C
【分析】
根据多边形的内角和等于它的外角和的3倍可列方程求得边数．
【详解】
解：设多边形的边数为n，
根据题意得：（n−2）×180°＝360°×3．
解得n＝8．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
22．（2022·内蒙古八年级期末）一个多边形的每一外角都等于60°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1440° B．1080° C．720° D．360°
【答案】C
【分析】
由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数，由多边形内角和公式可求解．
【详解】
解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360°÷60°=6，
∴这个多边形的内角和=180°×（6-2）=720°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
23．（2022·广东九年级其他模拟）正多边形的内角和是1440°，则这个正多边形是（ ）
A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形
【答案】D
【分析】
首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=1440，即可求得n=10．
【详解】
设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）＝1440，
解得：n＝10，
∴这个正多边形是正十边形．
故选：D．
【点睛】
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．关键是掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°．
24．（专题1.6平行四边形【知识梳理】-2020-2022学年八年级数学下学期期末专项复习（北师大版））如图，是五边形ABCDE的3个外角，若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据多边形内角和，结合计算即可．
【详解】
解：，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查多边形内角和，熟知多边形内角和公式是解题关键．
25．（专项复习06第六章平行四边形-2020-2022学年八年级数学下学期期末专项复习（北师大版，广东专用））下列说法中正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．由两条射线组成的图形叫做角
C．若过多边形的一个顶点可以画5条对角线，则这个多边形是八边形
D．对于线段与，若，则点是线段的中点
【答案】C
【分析】
根据两点之间线段最短，角的定义，多边形的对角线以及线段中点的定义对各小题分析判断即可得解
【详解】
、两点之间，线段最短，故本选项不合题意；
、有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故本选项不合题意；
、若过多边形的一个顶点可以画5条对角线，则这个多边形是八边形，故本选项符合题意；
、若线段，则点是线段的中点，错误，、、三点不一定共线，故本选项不合题意；
故选：．
【点睛】
本题考查了两点之间线段最短，角的定义，线段中点的定义，多边形的对角线，熟练掌握概念是解题的关键．
26．（2022·河北八年级期末）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】
根据多边形内角和定理逐一判断即可得答案．
【详解】
三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形内角和为（5-2）×180°=540°，
①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，符合条件，
②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540°和180°，不符合条件，
③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180°，符合条件，
④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180°和360°，不符合条件，
∴符合条件的剪法是①③，
故选：B．
【点睛】
本题考查多边形的内角和定理，多边形内角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
27．（2018·全国八年级课时练习）马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于，则该多边形的边数是( )
A．7 B．8 C．7或8 D．无法确定
【答案】C
【分析】
n边形的内角和是（n-2）•180°，即为180°的（n-2）倍，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去2个内角外，其余内角和与180度的商加上2，以后所得的数值，比这个数值大1或2的整数就是多边形的边数．
【详解】
设少加的2个内角和为x度，边数为n．
则（n-2）×180=830+x，
即（n-2）×180=4×180+110+x，
因此x=70，n=7或x=250，n=8．
故该多边形的边数是7或8．
故选C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，正确理解多边形内角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键．
28．（2018·浙江八年级期末）在多边形内角和公式的探究过程中，主要运用的数学思想是（ ）
A．化归思想 B．分类讨论 C．方程思想 D．数形结合思想
【答案】A
【分析】
根据多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n为整数）的推导过程即可解答．
【详解】
解：多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n为整数），该公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将n边形分割为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和，体现了化归思想．
故答案为A．
【点睛】
本题主要考查了在数学的学习过程应用的数学思想，弄清推导过程是解答此题的关键.
29．（2022·全国八年级专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A． B． C．或 D．或或
【答案】D
【分析】
首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．
【详解】
解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，
∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：
故选D．
【点睛】
本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．
30．（2022·重庆八年级期末）如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25 B．26 C．30 D．39
【答案】B
【分析】
正中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．
【详解】
如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，
由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：（个）；
较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：（个）；
平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：（个）；
小正三角形个数为13个；
∴一共有小正三角形个数为：（个），
∴图中阴影部分面积为：，
故选：B．
【点睛】
题目主要考察创新思维，将其进行分类分解是解题难点．
二、填空题
31．（2022·河南新乡市·新乡学院附属中学八年级月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝_____．
【答案】360°
【分析】
利用三角形外角性质可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，三式相加易得∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，而∠1、∠2、∠3是三角形的三个不同的外角，从而可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．
【详解】
如图所示，
∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，
∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
又∵∠1、∠2、∠3是三角形的三个不同的外角，
∴∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为360°．
【点睛】
此题考查多边形内角与外角、三角形的外角性质，解题关键在于掌握三角形的外角性质.
32．（2022·河南安阳市·八年级期末）一个n边形的每个内角都等于140°，则n＝_____．
【答案】9
【分析】
根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．
【详解】
解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝140°•n，
解得n＝9．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理．熟练掌握n边形的内角和为：180°•（n-2）是关键．
33．（2022·云南八年级期末）一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的内角和为________
【答案】1080°
【分析】
利用外角和求出边数，再根据三角形的内角和公式求出答案.
【详解】
∵任意多边形的外角和是360°，多边形的每一个外角都等于45°，
∴此多边形的边数=，
∴这个多边形的内角和=，
故答案为：1080°.
【点睛】
此题考查多边形的内角和公式、外角和，根据外角计算多边形的边数的方法，熟记多边形的内角和公式和外角和是解题的关键.
34．（2022·浙江八年级期末）一个正n边形的一个外角等于72°，则n的值等于_____．
【答案】5．
【分析】
可以利用多边形的外角和定理求解．
【详解】
解：∵正n边形的一个外角为72°，
∴n的值为360°÷72°＝5．
故答案为：5
【点睛】
本题考查了多边形外角和，熟记多边形的外角和等于360度是解题的关键．
35．（2022·河南郑州市·八年级期末）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为_____度．
【答案】36
【分析】
首先设此正多边形为n边形，根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，即可求得n=10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【详解】
设此多边形为n边形，
根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，
解得：n=10，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．
故答案为：36．
【点睛】
本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握定义与相关方法是解题关键.
36．（2022·广州市番禺区新英才中英文学校八年级期末）一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是__．
【答案】12
【分析】
多边形的外角和为360°，而多边形的每一个外角都等于30°，由此做除法得出多边形的边数．
【详解】
∵360°÷30°=12，
∴这个多边形为十二边形，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角．关键是明确多边形的外角和为360°．
37．（2022·湖北八年级期末）多边形每一个内角都等于144°，则从此多边形一个顶点出发的对角线有______________条．
【答案】7．
【分析】
根据多边形内角和的公式先求出多边形的边数，再根据多边形对角线的条数与边数的关系求出从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数．
【详解】
解：设边数为n，这个外角为x度，则0＜x＜180°，根据题意，得
（n-2）•180°=144°•n，
解得n=10．
∴从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数=10-3=7条．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，同时考查了多边形对角线的条数与边数的关系．
38．（2022·湖北八年级期末）如图，小亮从点A出发，沿直线前进15米后向左转30°，再沿直线前进15米，又向左转30°…… 照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，共走了_____米．
【答案】180．
【分析】
根据多边形的外角和=360°求解即可．
【详解】
解：∵多边形的外角和为360°，
∴边数==12，
即12×15米=180米，
故答案为：180．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和，能熟记多边形的外角和定理是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于360°．
39．（2022·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）从一个多边形的一个顶点出发，一共可作9条对角线，则这个多边形的内角和是_________度．
【答案】1800
【分析】
设多边形边数为n，根据n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线可得n-3=9，计算出n的值，再根据多边形内角和(n-2)•180°可得答案．
【详解】
设多边形边数为n，由题意得：
n-3=9，
n=12，
内角和：．
故答案为：1800．
【点睛】
本题主要考查了多边形的对角线，以及多边形内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，多边形内角和公式(n-2)•180°．
40．（2022·内蒙古呼和浩特市·八年级期末）过边形的一个顶点有9条对角线，则边形的内角和为______．
【答案】1800°
【分析】
根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可得n-3=9，求出n的值，最后根据多边形内角和公式可得结论．
【详解】
解：由题意得：n-3=9，解得n=12，
则该n边形的内角和是：（12-2）×180°=1800°，
故答案为：1800°．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线和多边形的内角和公式，掌握n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．
41．（2022·北京朝阳区·八年级期末）对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．
【答案】④
【分析】
四边形的内角和是，根据四边形内角的性质选出正确选项．
【详解】
解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于；
②错误，可以是四个直角；
③错误，可以是四个直角；
④正确．
故选：④．
【点睛】
本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．
42．（2022·广东八年级专题练习）如图，五边形中，，则的度数为__________．
【答案】
【分析】
根据求出，根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，即可得到答案．
【详解】
∵，
∴，
∵五边形内角和=，
∴==，
故答案为：．
【点睛】
此题考查两直线平行同旁内角互补，多边形内角和公式，熟记多边形内角和计算公式是解题的关键．
43．（2022·湖北）正五边形每个内角的度数是_______．
【答案】
【分析】
先求出正n边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．
【详解】
解：∵正多边形的内角和为，
∴正五边形的内角和是，
则每个内角的度数是．
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识．
44．（2022·山东八年级期末）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为____米．
【答案】64
【分析】
根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．
【详解】
解：设边数为n，
多边形外角和为360°，所以n=360°÷45°=8，总边长为8×8=64米，
故答案为：64．
【点睛】
此题考查多边形的外角和，正多边形的性质，正确理解题意是解题的关键．
45．（2022·上海八年级期末）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是__________．
【答案】4
【分析】
利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
【详解】
解：设多边形的边数为n，根据题意
（n-2）•180°=360°，
解得n=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
46．（2022·贵州八年级期末）一个正多边形的内角和为，则这个多边形的外角的度数为______．
【答案】60°
【分析】
首先设这个正多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可得180（n-2）=720，继而可求得答案．
【详解】
解：设这个正多边形的边数为n，
∵一个正多边形的内角和为720°，
∴180（n-2）=720，
解得：n=6，
∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷6=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意熟记公式是关键．
47．（2022·山东）科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求行走和旋转．某一指令规定：如图，机器人先向前行走1米，然后左转45°向前行走1米，……．若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了______米．
【答案】8
【分析】
结合题意，根据正多边形外角和的性质计算，即可得到多边形的边数，经计算即可得到答案．
【详解】
根据题意得：机器人行走的多边形外角为
∴多边形的边数为：
∴多边形的周长为：米
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了正多边形的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和的性质，从而完成求解．
48．（2020·武冈市第二中学八年级开学考试）若一个多边形内角和与外角和的比为9∶2，则这个多边形的边数是________．
【答案】11
【分析】
根据多边形的外角和是360°，可得此多边形的内角和是，再由n边形的内角和是可得关于n的方程，求解后即可求出边数n．
【详解】
解：设这个多边形是n边形，∵多边形内角和与外角和的比为9∶2，
∴，
解得n＝11．
∴此多边形的边数为11．
故答案为：11．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和，解题的关键是利用多边形的内角和公式将问题转化为解方程的问题解决．
49．（【新东方】初中数学1147）如图，AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，已知∠B=10°，∠C=40°，则∠E=____________．
【答案】15°
【分析】
根据周角定义和四边形的内角和为360°可得∠BDC﹣∠BAC=50°，根据角平分线的定义可得∠EAC=∠BAC，∠EDC=∠BDC，再根据对顶角相等和三角形的内角和为180°可证得∠E+∠EDC=∠C+∠EAC，进而可求得∠E的度数．
【详解】
解：∵∠B+∠BAC+∠C+(360°﹣∠BDC)=360°，∠B=10°，∠C=40°，
∴∠BDC﹣∠BAC=50°，
∵AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，
∴∠EAC=∠BAC，∠EDC=∠BDC，
∴∠EDC﹣∠EAC==∠BDC﹣∠BAC=25°，
设CD与AE相交于F，则∠DFE=∠AFC，
∵∠E+∠EDC+∠DFE=∠C+∠EAC+∠AFC，
∴∠E+∠EDC=∠C+∠EAC，
∴∠E=∠C﹣(∠EDC﹣∠EAC)=40°﹣25°=15°，
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查角平分线的定义、四边形的内角和为360°、周角定义、三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握这些知识的运用与联系是解答的关键．
50．（2022·上海市川沙中学南校八年级期中）如果多边形的每一个内角都等于144°，那么这个多边形的边数是______．
【答案】10
【分析】
根据题意可知这个多边形是正多边形，先计算外角，再用外角和进行计算即可．
【详解】
解：有题意可知：多边形为正多边形，则每个外角为180°-144°=36°
又因为多边形的外角和为360°，则这个正多边形的边数为：
故答案为：10
【点睛】
本题考查多边形的外角和、正多边形的外角与边数的关系．灵活使用多边形的内角、外角解决问题是难点．
51．（2022·辽宁沈阳市·八年级期末）如果一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是___________．
【答案】12
【分析】
首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和除以外角度数即可．
【详解】
解：∵一个正多边形的每个内角为
∴它的外角为，
，
故答案为：12．
【点睛】
此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角．
52．（2022·浙江中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．
【答案】6或7
【分析】
求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【详解】
解：由多边形内角和，可得
（n-2）×180°=720°，
∴n=6，
∴新的多边形为6边形，
∵过顶点剪去一个角，
∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，
故答案为6或7．
【点睛】
本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．
53．（第二十二章四边形（基础卷）-2020-2022学年八年级数学下学期期末专项复习（沪教版））正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形从一个顶点出发有__条对角线．
【答案】6
【分析】
利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是40°，即可求出这个正多边形的边数，再根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可求答案．
【详解】
解： 360°÷40°＝9，
9﹣3＝6．
故这个正多边形从一个顶点出发可以作的对角线条数是6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查的是正多边形的外角和定理，多边形的对角线，掌握利用多边形的外角和求解多边形的边数是解题的关键．
54．（第二十二章四边形【专项训练】-2020-2022学年八年级数学下学期期末专项复习（沪教版））（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________．
【答案】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可求得；
（2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得．
【详解】
解：（1）∵在中，，
在中，，
∴，
故答案为；
（2）如图，∵， ，
∴．
∵，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
55．（2022·全国八年级专题练习）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为，则内角和是______．
【答案】
【分析】
设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，根据题意得
变形 为，由n是正整数，求出x的值即可得到答案．
【详解】
设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，由题意得
∴，
∵n是正整数，，
∴x=，
∴这个多边形的内角和为，
故答案为：．
【点睛】
此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
三、解答题
56．（2022·宁夏八年级期末）如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形，
(1)观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形边数
3
4
5
6
……
n
∠α的度数
______°
_____°
______°
______°
……
_____°
(2)根据规律，计算正八边形中的∠α的度数.
(3)是否存在正n边形使得∠α=21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)60，45，36，30°，；(2)22.5；(3)不存在.
【分析】
（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α=（）°；
（2）根据规律，可得正八边形中的∠α的度数；
（3）根据正n边形中的∠α=（）°，可得答案．
【详解】
（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形边数
3
4
5
6
…
n
∠α的度数
60°
45°
36°
30°
…
（）°
（2）根据规律，计算正八边形中的∠α=（）°=22.5°；
（3）不存在，理由如下：
设存在正n边形使得∠α=21°，
得∠α=21°=（）°．
解得n=8，n是正整数，n=8（不符合题意要舍去），
不存在正n边形使得∠α=21°．
【点睛】
此题考查多边形内角与外角，三角形的内角和定理，等腰三角形的两底角相等，解题关键在于每题都利用正多边形的内角公式：．
57．（2022·哈巴河中学八年级期中）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度，求这个多边形的边数.
【答案】这个多边形的边数是9
【分析】
设这个多边形的边数为n，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和多边形的外角和定理列出方程，然后求解即可．
【详解】
解：设这个多边形的边数是，则
（n-2）·180°-360°×3=180°，
解得.
答：这个多边形的边数是9.
【点睛】
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．
58．（2022·山东八年级期末）如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形？少加的内角为多少度？
【答案】他们在求九边形的内角和；少加的那个内角为120度．
【分析】
根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可．
【详解】
解：1140°÷180°＝6…60°，
则边数是：6+1+2＝9；
他们在求九边形的内角和；
180°﹣60°＝120°，
少加的那个内角为120度．
【点睛】
本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．
59．（2022·全国八年级）若边形的内角和等于它外角和的倍，求边数．
已知，，为三角形三边的长，化简：．
【答案】8；．
【分析】
（1）根据多边形的内角和与外角和公式列出方程即可求解；
（2）根据三角形的三边关系可得，，再根据化简绝对值的方法即可求解．
【详解】
解：由题意得：，
解得：．
∵，，为三角形三边的长，
∴，，
∴．
【点睛】
此题主要考查多边形的内角和与外角和、三角形的三边关系的应用，解题的关键是熟知多边形的性质及去绝对值的方法．
60．（2022·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）已知在四边形ABCD中，．
（1）如图1，若BE平分，DF平分的邻补角，请写出BE与DF的位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分、的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（3）如图3，若BE、DE分别五等分、的邻补角（即），求度数．
【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）54°
【分析】
（1）结论：BE⊥DF，如图1中，延长BE交FD的延长线于H，证明∠DEG+∠EDG=90°即可；
（2）结论：DE//BF，如图2中，连接BD，只要证明∠EDB+∠FBD=180°即可；
（3）延长DC交BE于H．由（1）得：，利用五等分线的定义可求，由三角形的外角性质得，代入数值计算即可．
【详解】
（1）．
证明：延长BE、FD交于G．在四边形ABCD中，
，，
．
，．
平分，DF平分，
，，
，
∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠DEG，∠FDN=∠EDG，
∴∠DEG+∠EDG=90°，
∴∠EGD=90°，即BE⊥DF．
（2）．
证明：连接DB．
，．
又，．
、DF平分、的邻补角，
，，
．
在中，
，
，
，．
（3）延长DC交BE于H．由（1）得：
．
、DE分别五等分、的邻补角，
，
由三角形的外角性质得，
，，
，
．
【点睛】
本题考查多边形内角和，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
61．（2022·同心县韦州中学八年级期末）一个多边形的每个外角都等于40°，求这个多边形的内角和．
【答案】
【分析】
先利用外角和360度除以每个外角的度数求出边数，再利用多边形内角和公式计算得出答案．
【详解】
解：这个多边形的边数为=9（条），
∴，
∴这个多边形的内角和是．
【点睛】
此题考查多边形的角度计算，多边形的外角和定理，多边形的内角和计算公式，根据多边形的每个外角都等于40°求出多边形的边数是解题的关键．
62．（2022·广西钦州市·八年级期末）（1）一个多边形的内角和比它的外角和多，求该多边形的边数；
（2）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，，求和的度数．
【答案】（1）该多边形的边数为8；（2）；．
【分析】
（1）根据多边形的内角和公式以及外角和为360°建立关于边数的方程，求解即可；
（2）根据角平分线的性质得到，再由三角形的外角性质可得，根据是的高及三角形的外角性质可得．
【详解】
解：（1）设该多边形的边数为n，由已知，得
，
解得，
∴该多边形的边数为8；
（2）∵是的角平分线，且，
∴，，
又∵，
∴，
∵是的高，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查多边形的内角与外角、三角形的外角性质，解题的关键是掌握多边形的内角和定理及三角形外角的性质．
63．（2022·西安市浐灞第一中学八年级期末）小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，求的度数．
【答案】
【分析】
如图，由三角形的外角的性质可得： 可得 再利用三角形的内角和求解 再利用四边形的内角和求解 再求解 从而可得结论．
【详解】
解：如图，由三角形的外角的性质可得：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和，四边形的内角和定理，三角形的外角的性质，平角的定义，掌握以上知识是解题的关键．
64．（第二十二章四边形【专项训练】-2020-2022学年八年级数学下学期期末专项复习（沪教版））（1）如图，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，求∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5的度数；
（2）若延长凸n边形A1A2…An的各边得n个角，则得到n个角的和等于 ．
【答案】（1）∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5=180°；（2）．
【分析】
（1）利用三角形的外角和内角和定理求解；
（2）根据凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角的和的求解方式，得到延长凸n边形A1A2…An的各边得n个角的和．
【详解】
解：（1）如图，
∵∠1=∠B2+∠B4，∠2=∠B1+∠B3，
∵∠1+∠2+∠B5=180°，
∴∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5=180°；
（2）如图所示，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角，依次连接B1、B2、B3、B4、B5
五边形B1B2B3B4B5的内角和=；
△B1A1 B5、△B2 A2 B1、△B3 A3 B2、△B4 A4 B3、△B5 A5B4五个三角形的内角和=；
∠B1A1 B5+∠B2 A2 B1+∠B3 A3 B2+∠B4 A4 B3+∠B5 A5B4=五边形A1A2A3A4A5的内角和=
∴五边形的内角和为
∴延长凸n边形A1A2…An的各边得n个角，
则得到n个角的和=
故答案为．
【点睛】
本题考查三角形的外角性质以及多边形的内角和定理，关键是知道三角形的外角等于两个不相邻的内角的和以及多边形内角和的公式．
65．（2022·江苏八年级期中）概念认识
有一组对角都是直角的四边形叫做“对直角四边形”．
数学理解
（1）下列有关“对直角四边形”的说法正确的是______（填写序号）；
①对直角四边形是轴对称图形；②对直角四边形的对角互补；③对直角四边形的一个外角等于与它相邻内角的对角；④对直角四边形的对角线互相垂直．
（2）如图①，在四边形中，，，，，．求证：四边形是对直角四边形．
问题解决
（3）如图②，在对直角四边形中，，平分．求证
【答案】（1）②③；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）四边形内角和是360°，结合对直角四边形的定义可进行判定；
（2）根据勾股定理求出BD，利用勾股定理的逆定理即可证明；
（3）延长，过点A分别作、，证明 即可．
【详解】
（1）②③；理由如下:
因为四边形内角和是360°，有一组对角是直角，那么另一组对角的和是180°，所以对直角四边形的对角互补，故②正确；
因为对直角四边形的一个外角与它相邻内角是互补的，又对直角四边形的对角互补，所以对直角四边形的一个外角等于与它相邻内角的对角，故③正确；
（2）证明：连接
在中，，，
∴；
在中，，
∵
∴
∴四边形是对直角四边形．
（3）证明：延长，过点A分别作、，分别交于点E、F
∴
又∵平分
∴
在四边形中，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了四边形的内角和，勾股定理和勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，构造全等三角形．
66．（2022·山东青岛市·八年级期末）如图，在△ABC中，D为三角形内一点，∠A=53°，∠ABD=43°，∠ACD=16°，∠BDC的角平分线交BC于点E，过点E作EF//BD交DC于点F．
（1）求∠BDC的度数．
（2）求∠DEF的度数．
【答案】（1）112°；（2）56°
【分析】
（1）根据四边形内角和为，可求出，再根据周角可求出；
（2）根据角平分线的定义及两直线平行内错角相等可得．
【详解】
解：如图：
根据四边形内角和为，
，
，
；
（2）∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠EDC，
∵∠BDC=112°，EF//BD，
∴∠BDE=∠DEF=∠BDC=56°．
【点睛】
本题考查了四边形内角和、周角、角平分线、平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识点，利用等量代换的思想间接求解．
67．（2019·全国八年级课时练习）已知一个多边形的内角和与一个外角的差为1560°，求这个多边形的边数和这个外角的度数．
【答案】11,60°.
【分析】
根据n边形的内角和定理可知：n边形内角和为（n-2）×180°.设这个内角度数为x度，利用方程即可求出答案.
【详解】
解：设这个内角度数为x，
根据题意，得（n-2）×180°-（180-x）=1560°，
解得：x=1560°-180°n+540°=2100°-180°n，
由于，即0<2100°-180°n<180°，
解得： ，
所以n=11.
将n=11代入x=2100°-180°n中得：x=120°，
所以这个外角为180°-120°=60°.
故多该多边形的边数是11，这个外角的度数为60°.
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理.掌握n边形的内角和为180°（n-2）是解答本题的关键.
68．（2022·全国八年级）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为”，为什么不可能？
（2）佳佳求的是几边形的内角和？
（3）错当成内角和那个外角为多少度？
【答案】（1）理由见解析；（2）佳佳求的是十三边形或十四边形的内角和；（3）那个外角为或．
【分析】
（1）根据多边形内角和公式求解，根据n为正整数即可作出说明；
（2）设应加的内角为，多加的外角为，根据题意得出，即，解不等式，求出整数解即可；
（3）分多边形为十三边形和十四边形两类讨论即可．
【详解】
（1）设多边形的边数为，
，
解得，
因为为整数，所以不可能.；
（2）设应加的内角为，多加的外角为，
则：，
∵，
∴，
解得，
又∵为整数，
∴，
∴佳佳求的是十三边形或十四边形的内角和；
（3）十三边形的内角和：，
∴，
又，
解得：；
十四边形的内角和：，
∴，
又，
解得：．
所以那个外角为或．
【点睛】
本题考察了多边形的内角和，熟知多边形的内角和公式，并能根据实际问题转化为不等式问题是解题关键．
69．（2022·邯郸市第十一中学八年级期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
【答案】（1）9；（2）1080º或1260º或1440º．
【分析】
（1）设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，根据内角与其相邻的外角的和是 列出方程，求出的值，再由多边形的外角和为，求出此多边形的边数为；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理即可求出答案．
【详解】
解：（1）设每一个外角为，则与其相邻的内角等于，
，
，即多边形的每个外角为，
∵多边形的外角和为，
∴多边形的外角个数为：，
∴这个多边形的边数为；
（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
①若剪去一角后边数减少1条，即变成边形，
内角和为，
②若剪去一角后边数不变，即变成边形，
内角和为，
③若剪去一角后边数增加1，即变成边形，
内角和为，
∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为或或 ．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
70．（必刷卷05-2022年中考数学考前信息必刷卷（河北专用））（1）填表：
n（凸多边形的边数）
3
4
5
…
m（凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值）
…
（2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？
（3）取n＝7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由．
【答案】（1）1，2，3；（2）m＝n﹣2；（3）不成立，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°，理由见解析
【分析】
（1）根据三角形、四边形、五边形的内角和，可求得答案；
（2）根据（1）可猜想凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2；
（3）设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，由凸n边形的n个外角和为360°，分类讨论，可确定凸n边形中最多有多少个内角等于135°．
【详解】
解：（1）∵三角形中只有一个钝角，
∴三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1；
∵四边形的内角和为360°，
∴四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2；
∵五边形的内角和为540°，
∴五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3；
答案：1，2，3；
（2）由（1）得：凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2．
即m＝n﹣2；
（3）取n＝7时，m＝6，验证猜想不成立；
设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，
∵凸n边形的n个外角和为360°，
∴k≤＝8，只有当n＝8时，m才有最大值8，
讨论n≠8时的情况：
（1）当时n＞8，m的值是7；
（2）当n＝3，4，5时，m的值分别为1，2，3；
（3）当n＝6，7时，m的值分别为5，6；
综上所述，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°．
【点睛】
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度较大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
专题03多边形及其内角和重难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2020·广州大学附属中学八年级期中）如图，在六边形ABCDEF中，∠A+∠F+∠E+∠D =，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据多边形的内角和公式求出六边形的内角和，再用α表示出∠ABC+∠BCD，进一步根据PB、PC分别平分∠ABC与∠BCD即可表示出∠PBC+∠PCB，然后在△PBC中利用三角形的内角和定理即可得出答案.
【详解】
解：六边形内角和=(6－2)×180°=720°，
∴∠ABC+∠BCD =720°－(∠A+∠F+∠E+∠D )=720°－，
∵ ∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，
∴∠PBC+∠PCB=（720°－α）=360°－α，
∴∠P=180° －（∠PBC+∠PCB）=180°－（360°－α）=α－180°，
故答案为A.
【点睛】
本题考查了多边形的内角和、角平分线的定义和三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和公式和三角形的内角和定理以及整体代入的思想方法是解题的关键.
2．（2020·陕西八年级期中）如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（ ）
A．36°
B．54°
C．60°
D．72°
【答案】B
【分析】
先求出正五边形一个的外角，再求出内角度数，然后在四边形BCDG中，利用四边形内角和求出∠G.
【详解】
∵正五边形外角和为360°，∴外角，
∴内角，
∵BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF
∴，
在四边形BCDG中，
∴
故选B.
【点睛】
本题考查多边形角度的计算，正多边形可先计算外角，再计算内角更加快捷简便.
3．（2022·湖北八年级期末）一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则多边形是( )
A．五边形 B．六边形 C．八边形 D．十二边形
【答案】C
【分析】
根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理列出方程即可求解．
【详解】
解：设多边形的边数是n，则
（n-2）•180°=3×360°，
解得：n=8．
故选C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理以及外角和定理，熟知定理是关键．
4．（2022·河南八年级期末）如图，在五边形ABCDE中，，DP、CP分别平分、，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=α，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．
【详解】
∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=α，
∴∠BCD+∠CDE=540°-α，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=270°-α，
∴∠P=180°-（270°-α）=α-90°．
故选：A．
【点睛】
此题考查多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
5．（2022·安徽芜湖市·八年级期末）一个正多边形的外角等于36°，则这个正多边形的内角和是（ ）
A．1440° B．1080° C．900° D．720°
【答案】A
【分析】
由正多边形的外角为36°，可求出这个多边形的边数，再根据内角和计算公式可求出内角和．
【详解】
解：∵一个正多边形的外角等于36°，
∴这个正多边形是正十边形，
∴内角和为（10﹣2）×180°＝1440°，
故选：A．
【点睛】
本题考查多边形的外角和、内角和，解题关键是理解和掌握多边形的外角和、内角和的计算方法．
6．（2022·河北八年级期末）如图是正五边形的三个外角，若则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案.
【详解】
解：根据题意，五边形的内角和为：，
∵
，
∵，
∴；
故选：C.
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题.
7．（2022·山东八年级期末）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】
先根据多边形外角和为360°且各外角相等求得边数，再根据多边形对角线条数的计算公式计算可得．
【详解】
解：根据题意，此正多边形的边数为360°÷45°＝8，
则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为：8﹣3＝5（条）．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了多边形的对角线，多边形的外角和定理，n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线．
8．（2022·湖北八年级期中）五边形对角线的条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据三角形以及对角线的概念，不难发现：从一个顶点出发的对角线除了和2边不能组成三角形外，其余都能组成三角形，故从一个顶点出发的对角线有（n-3）条．
【详解】
从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，对角线的总数是；
可得五边形的对角线条数为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线，解题关键是n边形从一个顶点出发的对角线有（n-3）条．
9．（2022·山东八年级期末）如图，在五边形中，，，分别平分，，则的度数（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】A
【分析】
先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数．
【详解】
解：在五边形中，内角和为，
，
，
又、分别平分、，
，
中，．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和且为整数）．
10．（2022·广东八年级期末）如图，已知中，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ）
A．90° B．135° C．270° D．315°
【答案】C
【分析】
如图（见解析），先根据三角形的外角性质可得，再根据邻补角的定义即可得．
【详解】
如图，由三角形的外角性质得：，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质、邻补角，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
11．（2020·山东八年级期末）若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【详解】
试题分析：由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．
解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°，
∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，
故选C．
考点：多边形内角与外角．
12．（2022·全国八年级）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的邻补角的平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）
A．10° B．15° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】
利用四边形内角和是可以求得．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得 的度数，所以根据的内角和定理求得的度数即可．
【详解】
解：，，
．
又的角平分线与的外角平分线相交于点，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是”是解题的关键．
13．（2022·浙江杭州市·八年级期中）下列关于多边形的说法不正确的是（ ）
A．内角和外角和相等的多边形是四边形
B．十边形的内角和为1440°
C．多边形的内角中最多有四个直角
D．十边形共有40条对角线
【答案】D
【分析】
根据多边形的内角和、外角和，多边形的内角线，即可解答．
【详解】
A、内角和与外角和相等的多边形是四边形，正确；
B、十边形的内角和为1440°，正确；
C、多边形的内角中最多有四个直角，正确；
D、十边形共有35条对角线，故错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形，解决本题的关键是熟记多边形的有关性质．
14．（2022·全国八年级专题练习）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
多边形的外角和是，则内角和是,设这个多边形是n边形，内角和是，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值.
【详解】
解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
，
解得：．
即这个多边形为六边形．
故选：C.
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键，根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决.
15．（2022·全国八年级）若过边形的一个顶点的所有对角线正好将该边形分成个三角形，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形，依此可得n的值．
【详解】
解：经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，由题意，得，解得．
故选．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
16．（2022·全国八年级）某个人从多边形一个顶点出发引对角线可以把这个多边形分成八个三角形，这个多边形是（ ）边形
A．六 B．八 C．十 D．十一
【答案】C
【分析】
根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形，依此可得n的值．
【详解】
根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形，
∴n−2＝8，即n＝10．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
17．（2022·河南）一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】
设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和4倍可得方程180（n﹣2）＝360×4，再解方程即可．
【详解】
解：设多边形有n条边，由题意得：
180（n﹣2）＝360×4，
解得：n＝10，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n﹣2）．
18．（2022·山东八年级期末）如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（ ）
A．90° B．108° C．120° D．135°
【答案】B
【分析】
先求出正五边形的内角和，再除以内角的个数即可得到答案．
【详解】
解：正五边形的内角和=，
∴∠BAE=，
故选：B．
【点睛】
此题考查正多边形内角和公式及求正多边形的一个内角的度数，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
19．（2022·山东威海市·）一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，这个多边形为（ ）
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
【答案】B
【分析】
设一个外角是x，则一个内角是3x，列得3x+x=180°，求得x，再用外角和360°除以x即可得到答案．
【详解】
设一个外角是x，则一个内角是3x，3x+x=180°，
解得：x=45°，
由于多边形的外角和为360°，
则边数为360°÷45°=8，
故选：B．
【点睛】
此题考查多边形内角与外角互补计算，多边形外角和，求多边形边数，熟记多边形外角与内角的关系是解题的关键．
20．（2022·安徽八年级期末）如果一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点可以作（ ）条对角线．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先利用n边形的内角和公式算出n，再利用n边形的每一个顶点有(n-3)条对角线计算即可.
【详解】
根据题意,得
(n-2)×180=1260，
解得n=9，
∴从这个多边形的一个顶点可以作对角线的条数为：
n-3
=9-3
=6.
故选C.
【点睛】
本题考查了n边形的内角和和经过每一个顶点可作的对角线条数，熟记多边形内角和公式，计算经过每一个顶点的对角线条数计算公式是解题的关键.
21．（2022·湖北黄冈市·八年级期末）一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则它是（ ）边形．
A．六 B．七 C．八 D．九
【答案】C
【分析】
根据多边形的内角和等于它的外角和的3倍可列方程求得边数．
【详解】
解：设多边形的边数为n，
根据题意得：（n−2）×180°＝360°×3．
解得n＝8．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
22．（2022·内蒙古八年级期末）一个多边形的每一外角都等于60°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1440° B．1080° C．720° D．360°
【答案】C
【分析】
由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数，由多边形内角和公式可求解．
【详解】
解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360°÷60°=6，
∴这个多边形的内角和=180°×（6-2）=720°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
23．（2022·广东九年级其他模拟）正多边形的内角和是1440°，则这个正多边形是（ ）
A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形
【答案】D
【分析】
首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=1440，即可求得n=10．
【详解】
设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）＝1440，
解得：n＝10，
∴这个正多边形是正十边形．
故选：D．
【点睛】
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．关键是掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°．
24．（专题1.6平行四边形【知识梳理】-2020-2022学年八年级数学下学期期末专项复习（北师大版））如图，是五边形ABCDE的3个外角，若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据多边形内角和，结合计算即可．
【详解】
解：，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查多边形内角和，熟知多边形内角和公式是解题关键．
25．（专项复习06第六章平行四边形-2020-2022学年八年级数学下学期期末专项复习（北师大版，广东专用））下列说法中正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．由两条射线组成的图形叫做角
C．若过多边形的一个顶点可以画5条对角线，则这个多边形是八边形
D．对于线段与，若，则点是线段的中点
【答案】C
【分析】
根据两点之间线段最短，角的定义，多边形的对角线以及线段中点的定义对各小题分析判断即可得解
【详解】
、两点之间，线段最短，故本选项不合题意；
、有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故本选项不合题意；
、若过多边形的一个顶点可以画5条对角线，则这个多边形是八边形，故本选项符合题意；
、若线段，则点是线段的中点，错误，、、三点不一定共线，故本选项不合题意；
故选：．
【点睛】
本题考查了两点之间线段最短，角的定义，线段中点的定义，多边形的对角线，熟练掌握概念是解题的关键．
26．（2022·河北八年级期末）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】
根据多边形内角和定理逐一判断即可得答案．
【详解】
三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形内角和为（5-2）×180°=540°，
①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，符合条件，
②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540°和180°，不符合条件，
③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180°，符合条件，
④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180°和360°，不符合条件，
∴符合条件的剪法是①③，
故选：B．
【点睛】
本题考查多边形的内角和定理，多边形内角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
27．（2018·全国八年级课时练习）马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于，则该多边形的边数是( )
A．7 B．8 C．7或8 D．无法确定
【答案】C
【分析】
n边形的内角和是（n-2）•180°，即为180°的（n-2）倍，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去2个内角外，其余内角和与180度的商加上2，以后所得的数值，比这个数值大1或2的整数就是多边形的边数．
【详解】
设少加的2个内角和为x度，边数为n．
则（n-2）×180=830+x，
即（n-2）×180=4×180+110+x，
因此x=70，n=7或x=250，n=8．
故该多边形的边数是7或8．
故选C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，正确理解多边形内角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键．
28．（2018·浙江八年级期末）在多边形内角和公式的探究过程中，主要运用的数学思想是（ ）
A．化归思想 B．分类讨论 C．方程思想 D．数形结合思想
【答案】A
【分析】
根据多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n为整数）的推导过程即可解答．
【详解】
解：多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n为整数），该公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将n边形分割为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和，体现了化归思想．
故答案为A．
【点睛】
本题主要考查了在数学的学习过程应用的数学思想，弄清推导过程是解答此题的关键.
29．（2022·全国八年级专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A． B． C．或 D．或或
【答案】D
【分析】
首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．
【详解】
解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，
∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：
故选D．
【点睛】
本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．
30．（2022·重庆八年级期末）如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25 B．26 C．30 D．39
【答案】B
【分析】
正中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．
【详解】
如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，
由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：（个）；
较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：（个）；
平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：（个）；
小正三角形个数为13个；
∴一共有小正三角形个数为：（个），
∴图中阴影部分面积为：，
故选：B．
【点睛】
题目主要考察创新思维，将其进行分类分解是解题难点．
二、填空题
31．（2022·河南新乡市·新乡学院附属中学八年级月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝_____．
【答案】360°
【分析】
利用三角形外角性质可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，三式相加易得∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，而∠1、∠2、∠3是三角形的三个不同的外角，从而可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．
【详解】
如图所示，
∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，
∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
又∵∠1、∠2、∠3是三角形的三个不同的外角，
∴∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为360°．
【点睛】
此题考查多边形内角与外角、三角形的外角性质，解题关键在于掌握三角形的外角性质.
32．（2022·河南安阳市·八年级期末）一个n边形的每个内角都等于140°，则n＝_____．
【答案】9
【分析】
根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．
【详解】
解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝140°•n，
解得n＝9．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理．熟练掌握n边形的内角和为：180°•（n-2）是关键．
33．（2022·云南八年级期末）一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的内角和为________
【答案】1080°
【分析】
利用外角和求出边数，再根据三角形的内角和公式求出答案.
【详解】
∵任意多边形的外角和是360°，多边形的每一个外角都等于45°，
∴此多边形的边数=，
∴这个多边形的内角和=，
故答案为：1080°.
【点睛】
此题考查多边形的内角和公式、外角和，根据外角计算多边形的边数的方法，熟记多边形的内角和公式和外角和是解题的关键.
34．（2022·浙江八年级期末）一个正n边形的一个外角等于72°，则n的值等于_____．
【答案】5．
【分析】
可以利用多边形的外角和定理求解．
【详解】
解：∵正n边形的一个外角为72°，
∴n的值为360°÷72°＝5．
故答案为：5
【点睛】
本题考查了多边形外角和，熟记多边形的外角和等于360度是解题的关键．
35．（2022·河南郑州市·八年级期末）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为_____度．
【答案】36
【分析】
首先设此正多边形为n边形，根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，即可求得n=10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【详解】
设此多边形为n边形，
根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，
解得：n=10，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．
故答案为：36．
【点睛】
本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握定义与相关方法是解题关键.
36．（2022·广州市番禺区新英才中英文学校八年级期末）一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是__．
【答案】12
【分析】
多边形的外角和为360°，而多边形的每一个外角都等于30°，由此做除法得出多边形的边数．
【详解】
∵360°÷30°=12，
∴这个多边形为十二边形，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角．关键是明确多边形的外角和为360°．
37．（2022·湖北八年级期末）多边形每一个内角都等于144°，则从此多边形一个顶点出发的对角线有______________条．
【答案】7．
【分析】
根据多边形内角和的公式先求出多边形的边数，再根据多边形对角线的条数与边数的关系求出从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数．
【详解】
解：设边数为n，这个外角为x度，则0＜x＜180°，根据题意，得
（n-2）•180°=144°•n，
解得n=10．
∴从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数=10-3=7条．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，同时考查了多边形对角线的条数与边数的关系．
38．（2022·湖北八年级期末）如图，小亮从点A出发，沿直线前进15米后向左转30°，再沿直线前进15米，又向左转30°…… 照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，共走了_____米．
【答案】180．
【分析】
根据多边形的外角和=360°求解即可．
【详解】
解：∵多边形的外角和为360°，
∴边数==12，
即12×15米=180米，
故答案为：180．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和，能熟记多边形的外角和定理是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于360°．
39．（2022·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）从一个多边形的一个顶点出发，一共可作9条对角线，则这个多边形的内角和是_________度．
【答案】1800
【分析】
设多边形边数为n，根据n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线可得n-3=9，计算出n的值，再根据多边形内角和(n-2)•180°可得答案．
【详解】
设多边形边数为n，由题意得：
n-3=9，
n=12，
内角和：．
故答案为：1800．
【点睛】
本题主要考查了多边形的对角线，以及多边形内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，多边形内角和公式(n-2)•180°．
40．（2022·内蒙古呼和浩特市·八年级期末）过边形的一个顶点有9条对角线，则边形的内角和为______．
【答案】1800°
【分析】
根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可得n-3=9，求出n的值，最后根据多边形内角和公式可得结论．
【详解】
解：由题意得：n-3=9，解得n=12，
则该n边形的内角和是：（12-2）×180°=1800°，
故答案为：1800°．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线和多边形的内角和公式，掌握n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．
41．（2022·北京朝阳区·八年级期末）对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．
【答案】④
【分析】
四边形的内角和是，根据四边形内角的性质选出正确选项．
【详解】
解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于；
②错误，可以是四个直角；
③错误，可以是四个直角；
④正确．
故选：④．
【点睛】
本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．
42．（2022·广东八年级专题练习）如图，五边形中，，则的度数为__________．
【答案】
【分析】
根据求出，根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，即可得到答案．
【详解】
∵，
∴，
∵五边形内角和=，
∴==，
故答案为：．
【点睛】
此题考查两直线平行同旁内角互补，多边形内角和公式，熟记多边形内角和计算公式是解题的关键．
43．（2022·湖北）正五边形每个内角的度数是_______．
【答案】
【分析】
先求出正n边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．
【详解】
解：∵正多边形的内角和为，
∴正五边形的内角和是，
则每个内角的度数是．
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识．
44．（2022·山东八年级期末）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为____米．
【答案】64
【分析】
根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．
【详解】
解：设边数为n，
多边形外角和为360°，所以n=360°÷45°=8，总边长为8×8=64米，
故答案为：64．
【点睛】
此题考查多边形的外角和，正多边形的性质，正确理解题意是解题的关键．
45．（2022·上海八年级期末）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是__________．
【答案】4
【分析】
利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
【详解】
解：设多边形的边数为n，根据题意
（n-2）•180°=360°，
解得n=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
46．（2022·贵州八年级期末）一个正多边形的内角和为，则这个多边形的外角的度数为______．
【答案】60°
【分析】
首先设这个正多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可得180（n-2）=720，继而可求得答案．
【详解】
解：设这个正多边形的边数为n，
∵一个正多边形的内角和为720°，
∴180（n-2）=720，
解得：n=6，
∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷6=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意熟记公式是关键．
47．（2022·山东）科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求行走和旋转．某一指令规定：如图，机器人先向前行走1米，然后左转45°向前行走1米，……．若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了______米．
【答案】8
【分析】
结合题意，根据正多边形外角和的性质计算，即可得到多边形的边数，经计算即可得到答案．
【详解】
根据题意得：机器人行走的多边形外角为
∴多边形的边数为：
∴多边形的周长为：米
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了正多边形的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和的性质，从而完成求解．
48．（2020·武冈市第二中学八年级开学考试）若一个多边形内角和与外角和的比为9∶2，则这个多边形的边数是________．
【答案】11
【分析】
根据多边形的外角和是360°，可得此多边形的内角和是，再由n边形的内角和是可得关于n的方程，求解后即可求出边数n．
【详解】
解：设这个多边形是n边形，∵多边形内角和与外角和的比为9∶2，
∴，
解得n＝11．
∴此多边形的边数为11．
故答案为：11．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和，解题的关键是利用多边形的内角和公式将问题转化为解方程的问题解决．
49．（【新东方】初中数学1147）如图，AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，已知∠B=10°，∠C=40°，则∠E=____________．
【答案】15°
【分析】
根据周角定义和四边形的内角和为360°可得∠BDC﹣∠BAC=50°，根据角平分线的定义可得∠EAC=∠BAC，∠EDC=∠BDC，再根据对顶角相等和三角形的内角和为180°可证得∠E+∠EDC=∠C+∠EAC，进而可求得∠E的度数．
【详解】
解：∵∠B+∠BAC+∠C+(360°﹣∠BDC)=360°，∠B=10°，∠C=40°，
∴∠BDC﹣∠BAC=50°，
∵AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，
∴∠EAC=∠BAC，∠EDC=∠BDC，
∴∠EDC﹣∠EAC==∠BDC﹣∠BAC=25°，
设CD与AE相交于F，则∠DFE=∠AFC，
∵∠E+∠EDC+∠DFE=∠C+∠EAC+∠AFC，
∴∠E+∠EDC=∠C+∠EAC，
∴∠E=∠C﹣(∠EDC﹣∠EAC)=40°﹣25°=15°，
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查角平分线的定义、四边形的内角和为360°、周角定义、三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握这些知识的运用与联系是解答的关键．
50．（2022·上海市川沙中学南校八年级期中）如果多边形的每一个内角都等于144°，那么这个多边形的边数是______．
【答案】10
【分析】
根据题意可知这个多边形是正多边形，先计算外角，再用外角和进行计算即可．
【详解】
解：有题意可知：多边形为正多边形，则每个外角为180°-144°=36°
又因为多边形的外角和为360°，则这个正多边形的边数为：
故答案为：10
【点睛】
本题考查多边形的外角和、正多边形的外角与边数的关系．灵活使用多边形的内角、外角解决问题是难点．
51．（2022·辽宁沈阳市·八年级期末）如果一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是___________．
【答案】12
【分析】
首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和除以外角度数即可．
【详解】
解：∵一个正多边形的每个内角为
∴它的外角为，
，
故答案为：12．
【点睛】
此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角．
52．（2022·浙江中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．
【答案】6或7
【分析】
求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【详解】
解：由多边形内角和，可得
（n-2）×180°=720°，
∴n=6，
∴新的多边形为6边形，
∵过顶点剪去一个角，
∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，
故答案为6或7．
【点睛】
本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．
53．（第二十二章四边形（基础卷）-2020-2022学年八年级数学下学期期末专项复习（沪教版））正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形从一个顶点出发有__条对角线．
【答案】6
【分析】
利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是40°，即可求出这个正多边形的边数，再根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可求答案．
【详解】
解： 360°÷40°＝9，
9﹣3＝6．
故这个正多边形从一个顶点出发可以作的对角线条数是6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查的是正多边形的外角和定理，多边形的对角线，掌握利用多边形的外角和求解多边形的边数是解题的关键．
54．（第二十二章四边形【专项训练】-2020-2022学年八年级数学下学期期末专项复习（沪教版））（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________．
【答案】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可求得；
（2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得．
【详解】
解：（1）∵在中，，
在中，，
∴，
故答案为；
（2）如图，∵， ，
∴．
∵，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
55．（2022·全国八年级专题练习）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为，则内角和是______．
【答案】
【分析】
设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，根据题意得
变形 为，由n是正整数，求出x的值即可得到答案．
【详解】
设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，由题意得
∴，
∵n是正整数，，
∴x=，
∴这个多边形的内角和为，
故答案为：．
【点睛】
此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
三、解答题
56．（2022·宁夏八年级期末）如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形，
(1)观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形边数
3
4
5
6
……
n
∠α的度数
______°
_____°
______°
______°
……
_____°
(2)根据规律，计算正八边形中的∠α的度数.
(3)是否存在正n边形使得∠α=21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)60，45，36，30°，；(2)22.5；(3)不存在.
【分析】
（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α=（）°；
（2）根据规律，可得正八边形中的∠α的度数；
（3）根据正n边形中的∠α=（）°，可得答案．
【详解】
（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形边数
3
4
5
6
…
n
∠α的度数
60°
45°
36°
30°
…
（）°
（2）根据规律，计算正八边形中的∠α=（）°=22.5°；
（3）不存在，理由如下：
设存在正n边形使得∠α=21°，
得∠α=21°=（）°．
解得n=8，n是正整数，n=8（不符合题意要舍去），
不存在正n边形使得∠α=21°．
【点睛】
此题考查多边形内角与外角，三角形的内角和定理，等腰三角形的两底角相等，解题关键在于每题都利用正多边形的内角公式：．
57．（2022·哈巴河中学八年级期中）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度，求这个多边形的边数.
【答案】这个多边形的边数是9
【分析】
设这个多边形的边数为n，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和多边形的外角和定理列出方程，然后求解即可．
【详解】
解：设这个多边形的边数是，则
（n-2）·180°-360°×3=180°，
解得.
答：这个多边形的边数是9.
【点睛】
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．
58．（2022·山东八年级期末）如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形？少加的内角为多少度？
【答案】他们在求九边形的内角和；少加的那个内角为120度．
【分析】
根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可．
【详解】
解：1140°÷180°＝6…60°，
则边数是：6+1+2＝9；
他们在求九边形的内角和；
180°﹣60°＝120°，
少加的那个内角为120度．
【点睛】
本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．
59．（2022·全国八年级）若边形的内角和等于它外角和的倍，求边数．
已知，，为三角形三边的长，化简：．
【答案】8；．
【分析】
（1）根据多边形的内角和与外角和公式列出方程即可求解；
（2）根据三角形的三边关系可得，，再根据化简绝对值的方法即可求解．
【详解】
解：由题意得：，
解得：．
∵，，为三角形三边的长，
∴，，
∴．
【点睛】
此题主要考查多边形的内角和与外角和、三角形的三边关系的应用，解题的关键是熟知多边形的性质及去绝对值的方法．
60．（2022·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）已知在四边形ABCD中，．
（1）如图1，若BE平分，DF平分的邻补角，请写出BE与DF的位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分、的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（3）如图3，若BE、DE分别五等分、的邻补角（即），求度数．
【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）54°
【分析】
（1）结论：BE⊥DF，如图1中，延长BE交FD的延长线于H，证明∠DEG+∠EDG=90°即可；
（2）结论：DE//BF，如图2中，连接BD，只要证明∠EDB+∠FBD=180°即可；
（3）延长DC交BE于H．由（1）得：，利用五等分线的定义可求，由三角形的外角性质得，代入数值计算即可．
【详解】
（1）．
证明：延长BE、FD交于G．在四边形ABCD中，
，，
．
，．
平分，DF平分，
，，
，
∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠DEG，∠FDN=∠EDG，
∴∠DEG+∠EDG=90°，
∴∠EGD=90°，即BE⊥DF．
（2）．
证明：连接DB．
，．
又，．
、DF平分、的邻补角，
，，
．
在中，
，
，
，．
（3）延长DC交BE于H．由（1）得：
．
、DE分别五等分、的邻补角，
，
由三角形的外角性质得，
，，
，
．
【点睛】
本题考查多边形内角和，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
61．（2022·同心县韦州中学八年级期末）一个多边形的每个外角都等于40°，求这个多边形的内角和．
【答案】
【分析】
先利用外角和360度除以每个外角的度数求出边数，再利用多边形内角和公式计算得出答案．
【详解】
解：这个多边形的边数为=9（条），
∴，
∴这个多边形的内角和是．
【点睛】
此题考查多边形的角度计算，多边形的外角和定理，多边形的内角和计算公式，根据多边形的每个外角都等于40°求出多边形的边数是解题的关键．
62．（2022·广西钦州市·八年级期末）（1）一个多边形的内角和比它的外角和多，求该多边形的边数；
（2）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，，求和的度数．
【答案】（1）该多边形的边数为8；（2）；．
【分析】
（1）根据多边形的内角和公式以及外角和为360°建立关于边数的方程，求解即可；
（2）根据角平分线的性质得到，再由三角形的外角性质可得，根据是的高及三角形的外角性质可得．
【详解】
解：（1）设该多边形的边数为n，由已知，得
，
解得，
∴该多边形的边数为8；
（2）∵是的角平分线，且，
∴，，
又∵，
∴，
∵是的高，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查多边形的内角与外角、三角形的外角性质，解题的关键是掌握多边形的内角和定理及三角形外角的性质．
63．（2022·西安市浐灞第一中学八年级期末）小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，求的度数．
【答案】
【分析】
如图，由三角形的外角的性质可得： 可得 再利用三角形的内角和求解 再利用四边形的内角和求解 再求解 从而可得结论．
【详解】
解：如图，由三角形的外角的性质可得：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和，四边形的内角和定理，三角形的外角的性质，平角的定义，掌握以上知识是解题的关键．
64．（第二十二章四边形【专项训练】-2020-2022学年八年级数学下学期期末专项复习（沪教版））（1）如图，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，求∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5的度数；
（2）若延长凸n边形A1A2…An的各边得n个角，则得到n个角的和等于 ．
【答案】（1）∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5=180°；（2）．
【分析】
（1）利用三角形的外角和内角和定理求解；
（2）根据凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角的和的求解方式，得到延长凸n边形A1A2…An的各边得n个角的和．
【详解】
解：（1）如图，
∵∠1=∠B2+∠B4，∠2=∠B1+∠B3，
∵∠1+∠2+∠B5=180°，
∴∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5=180°；
（2）如图所示，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角，依次连接B1、B2、B3、B4、B5
五边形B1B2B3B4B5的内角和=；
△B1A1 B5、△B2 A2 B1、△B3 A3 B2、△B4 A4 B3、△B5 A5B4五个三角形的内角和=；
∠B1A1 B5+∠B2 A2 B1+∠B3 A3 B2+∠B4 A4 B3+∠B5 A5B4=五边形A1A2A3A4A5的内角和=
∴五边形的内角和为
∴延长凸n边形A1A2…An的各边得n个角，
则得到n个角的和=
故答案为．
【点睛】
本题考查三角形的外角性质以及多边形的内角和定理，关键是知道三角形的外角等于两个不相邻的内角的和以及多边形内角和的公式．
65．（2022·江苏八年级期中）概念认识
有一组对角都是直角的四边形叫做“对直角四边形”．
数学理解
（1）下列有关“对直角四边形”的说法正确的是______（填写序号）；
①对直角四边形是轴对称图形；②对直角四边形的对角互补；③对直角四边形的一个外角等于与它相邻内角的对角；④对直角四边形的对角线互相垂直．
（2）如图①，在四边形中，，，，，．求证：四边形是对直角四边形．
问题解决
（3）如图②，在对直角四边形中，，平分．求证
【答案】（1）②③；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）四边形内角和是360°，结合对直角四边形的定义可进行判定；
（2）根据勾股定理求出BD，利用勾股定理的逆定理即可证明；
（3）延长，过点A分别作、，证明 即可．
【详解】
（1）②③；理由如下:
因为四边形内角和是360°，有一组对角是直角，那么另一组对角的和是180°，所以对直角四边形的对角互补，故②正确；
因为对直角四边形的一个外角与它相邻内角是互补的，又对直角四边形的对角互补，所以对直角四边形的一个外角等于与它相邻内角的对角，故③正确；
（2）证明：连接
在中，，，
∴；
在中，，
∵
∴
∴四边形是对直角四边形．
（3）证明：延长，过点A分别作、，分别交于点E、F
∴
又∵平分
∴
在四边形中，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了四边形的内角和，勾股定理和勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，构造全等三角形．
66．（2022·山东青岛市·八年级期末）如图，在△ABC中，D为三角形内一点，∠A=53°，∠ABD=43°，∠ACD=16°，∠BDC的角平分线交BC于点E，过点E作EF//BD交DC于点F．
（1）求∠BDC的度数．
（2）求∠DEF的度数．
【答案】（1）112°；（2）56°
【分析】
（1）根据四边形内角和为，可求出，再根据周角可求出；
（2）根据角平分线的定义及两直线平行内错角相等可得．
【详解】
解：如图：
根据四边形内角和为，
，
，
；
（2）∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠EDC，
∵∠BDC=112°，EF//BD，
∴∠BDE=∠DEF=∠BDC=56°．
【点睛】
本题考查了四边形内角和、周角、角平分线、平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识点，利用等量代换的思想间接求解．
67．（2019·全国八年级课时练习）已知一个多边形的内角和与一个外角的差为1560°，求这个多边形的边数和这个外角的度数．
【答案】11,60°.
【分析】
根据n边形的内角和定理可知：n边形内角和为（n-2）×180°.设这个内角度数为x度，利用方程即可求出答案.
【详解】
解：设这个内角度数为x，
根据题意，得（n-2）×180°-（180-x）=1560°，
解得：x=1560°-180°n+540°=2100°-180°n，
由于，即0<2100°-180°n<180°，
解得： ，
所以n=11.
将n=11代入x=2100°-180°n中得：x=120°，
所以这个外角为180°-120°=60°.
故多该多边形的边数是11，这个外角的度数为60°.
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理.掌握n边形的内角和为180°（n-2）是解答本题的关键.
68．（2022·全国八年级）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为”，为什么不可能？
（2）佳佳求的是几边形的内角和？
（3）错当成内角和那个外角为多少度？
【答案】（1）理由见解析；（2）佳佳求的是十三边形或十四边形的内角和；（3）那个外角为或．
【分析】
（1）根据多边形内角和公式求解，根据n为正整数即可作出说明；
（2）设应加的内角为，多加的外角为，根据题意得出，即，解不等式，求出整数解即可；
（3）分多边形为十三边形和十四边形两类讨论即可．
【详解】
（1）设多边形的边数为，
，
解得，
因为为整数，所以不可能.；
（2）设应加的内角为，多加的外角为，
则：，
∵，
∴，
解得，
又∵为整数，
∴，
∴佳佳求的是十三边形或十四边形的内角和；
（3）十三边形的内角和：，
∴，
又，
解得：；
十四边形的内角和：，
∴，
又，
解得：．
所以那个外角为或．
【点睛】
本题考察了多边形的内角和，熟知多边形的内角和公式，并能根据实际问题转化为不等式问题是解题关键．
69．（2022·邯郸市第十一中学八年级期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
【答案】（1）9；（2）1080º或1260º或1440º．
【分析】
（1）设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，根据内角与其相邻的外角的和是 列出方程，求出的值，再由多边形的外角和为，求出此多边形的边数为；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理即可求出答案．
【详解】
解：（1）设每一个外角为，则与其相邻的内角等于，
，
，即多边形的每个外角为，
∵多边形的外角和为，
∴多边形的外角个数为：，
∴这个多边形的边数为；
（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
①若剪去一角后边数减少1条，即变成边形，
内角和为，
②若剪去一角后边数不变，即变成边形，
内角和为，
③若剪去一角后边数增加1，即变成边形，
内角和为，
∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为或或 ．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
70．（必刷卷05-2022年中考数学考前信息必刷卷（河北专用））（1）填表：
n（凸多边形的边数）
3
4
5
…
m（凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值）
…
（2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？
（3）取n＝7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由．
【答案】（1）1，2，3；（2）m＝n﹣2；（3）不成立，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°，理由见解析
【分析】
（1）根据三角形、四边形、五边形的内角和，可求得答案；
（2）根据（1）可猜想凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2；
（3）设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，由凸n边形的n个外角和为360°，分类讨论，可确定凸n边形中最多有多少个内角等于135°．
【详解】
解：（1）∵三角形中只有一个钝角，
∴三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1；
∵四边形的内角和为360°，
∴四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2；
∵五边形的内角和为540°，
∴五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3；
答案：1，2，3；
（2）由（1）得：凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2．
即m＝n﹣2；
（3）取n＝7时，m＝6，验证猜想不成立；
设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，
∵凸n边形的n个外角和为360°，
∴k≤＝8，只有当n＝8时，m才有最大值8，
讨论n≠8时的情况：
（1）当时n＞8，m的值是7；
（2）当n＝3，4，5时，m的值分别为1，2，3；
（3）当n＝6，7时，m的值分别为5，6；
综上所述，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°．
【点睛】
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度较大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
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