专题01 运算能力之乘法公式综合难点专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（人教版）

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一、单选题
1．如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】
根据花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，可得m+n=22，再根据长方形面积公式可得mn=120，再根据完全平方公式即可求解．
【详解】
解：∵花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，
∴2（m-3）+2（n-3）=32，
∴m+n=22，
∵mn=120，
∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484，
∴m2+n2=244，
∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4，
∵m＞n，
∴m-n=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是灵活运用完全平方公式．
2．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22B．24C．42D．44
【答案】C
【分析】
由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，进而得到ab＝10，由图3可知，阴影部分面积（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．
【详解】
解：设正方形A、B的边长分别为a、b，由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，
图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，
所以ab＝10，
由图3可知，阴影部分面积为（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．
故选：C．
【点睛】
此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．
3．如图，有10个形状大小一样的小长方形①，将其中的3个小长方形①放入正方形②中，剩余的7个小长方形①放入长方形③中，其中正方形②中的阴影部分面积为22，长方形③中的阴影部分面积为96，那么一个小长方形①的面积为（ ）
A．5B．6C．9D．10
【答案】A
【分析】
设①小长方形的长为，宽为b，根据正方形阴影面积=正方形面积-3个小长方形面积=22根根据大长方形阴影面积为长为，宽为的长方形面积-7个小长方形面积=96列方程求出即可．
【详解】
解：设①小长方形的长为，宽为b，
根据②正方形边长为，阴影面积为，
根据③大长方形的长为，宽为，阴影面积为，
∴联立得，
整理得，
解得，
一个小长方形①的面积为5．
故选择A．
【点睛】
本题考查图形阴影面积应用问题，多项式乘法与图形面积，完全平方公式，仔细分析图形，从中找出等量关系，正方形阴影面积=正方形面积-3个小长方形面积=22，大长方形阴影面积为长为，宽为的长方形面积-7个小长方形面积=96，列方程组是解题关键．
4．利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据完全平方公式的特征进行判断，然后根据公式特点进行计算．
【详解】
解： A、不符合完全平方公式的特征且计算错误，完全平方公式的中间一项为，所以不符合题意；
B、不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为，所以不符合题意；
C、，所以符合题意；
D、不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为，所以不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的特征，识记且熟练运用完全平方公式：是解答问题的关键．
二、填空题
5．如图，长方形的边，E是边上的一点，且，F，G分别是线段，上的动点，且，现以，为边作长方形，以为边作正方形，点H，I均在长方形内部．记图中的阴影部分面积分别为，长方形和正方形的重叠部分是四边形，当四边形的邻边比为3∶4，的值为________．
【答案】7或
【分析】
利用长方形及正方形的性质可求解KI=2DG-10，KH=DG-3，根据当长方形KILH的邻边的比为3：4可求解DG的长，再利用DG的长分别求解AF，CG，AJ的长，进而可求解，注意分类讨论．
【详解】
解：在长方形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=13．
∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为长方形，BF=DG，
∴四边形KILH为长方形，KI=HL=2DG-AB=2DG-10．
∵BE=BA=10，
∴LG=EC=3，
∴KH=IL=DG-LG=DG-3．
当长方形KILH的邻边的比为3：4时，（DG-3）：（2DG-10）=3：4，或（2DG-10）：（DG-3）=3：4，
解得DG=9或，
当DG=9时，AF=CG=1，AJ=4，
∴S1+S2=AF•AJ+CE•CG=1×4+1×3=7；
当DG=时，AF=CG=，AJ=，
∴S1+S2=AF•AJ+CE•CG
=
=
故答案为7或．
【点睛】
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
6．计算：（1）若x满足则的值为____；
（2）如上图，，长方形的面积是50，四边形和以及都是正方形四边形是长方形，则图中正方形的面积为_______．
【答案】120 204
【分析】
（1）设（30-x）=m，（x-20）=n，求出mn和m+n，利用完全平方公式计算即可；
（2）根据正方形ABCD的边长为x，AE=2，CG=4，所以DE=x-2，DG=x-4，得到（x-2）（x-4）=50，设x-2=a，x-4=b，从而得到ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2，根据题意求出（a+b）2，即可求出正方形NFMP的面积．
【详解】
解：（1）设（30-x）=m，（x-20）=n，
∴（30-x）（x-20）=mn=-10，
∴m+n=（30-x）+（x-20）=10，
∴（30-x）2+（x-20）2，
=m2+n2，
=（m+n）2-2mn，
=102-2×（-10）
=120；
（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE=2，CG=4，
∴DE=x-2，DG=x-4，
∴（x-2）（x-4）=50，
设x-2=a，x-4=b，
∴ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2，
则（a+b）2=（a-b）2+4ab=22+4×50=204，
∴正方形NFMP的面积为：204，
故答案为：（1）120；（2）204．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用．
7．找规律填数：＝_____（直接填写结果）．
【答案】10n
【分析】
将变形为，故．
【详解】
解：
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查算术平方根以及完全平方公式的逆运用，熟练掌握算术平方根以及完全平方公式的逆运用是解决本题的关键．
三、解答题
8．已知关于的二次三项式满足.
（1）求整式；
（2）若，当时，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案即可；
（2）直接利用整式的加减运算法则结合的值代入得出答案即可．
【详解】
解：（1）∵
∴
；
（2）∵，
∴
.
当时，．
【点睛】
此题主要考查了整式的加减，正确掌握相关运算法则是解答此题的关键．
9．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）请用简便方法计算：
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）-16．
【分析】
（1）先算乘方，再算乘除，最后合并同类项即可；
（2）先根据单项式乘以多项式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；
（3）先根据积的乘方化简，再从左往右计算即可；
（4）先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键．
10．计算：
（1）
（2）;
（3）;
（4）．
【答案】（1）-5x3 y5 z3；（2）；（3）18；（4）．
【分析】
（1）根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可；
（2）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可；
（3）分别根据多项式乘以多项式和单项式乘以单项式运算法则去括号，然后外挂；
（4）运用平方差公式进行计算即可得到答案．
【详解】
解：
．
．
18
．
【点睛】
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解答此题的关键．
11．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
（1）对于等式，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_____，宽为_____，用长乘以宽可求得其面积，同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和．
（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？
方法1（从整体角度）：_________；
方法2（从局部角度：6个长方形和3个正方形）：_____________；
数学等式：______________________．
（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知，，求的值．
【答案】（1）（a+2b），（a+b）；（2）（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）15
【分析】
（1）根据图形直接得出长为（a+2b），宽为（a+b）；
（2）整体上是一个边长为（a+b+c）的正方形，各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得等式；
（3）将（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，变形为（a+b+c）2-a2-b2-c2=2ab+2bc+2ac，再整体代入求值即可．
【详解】
解：（1）由图形直观得出，长为：（a+2b），宽为（a+b），
故答案为：（a+2b），（a+b）；
（2）方法1（从整体角度）：（a+b+c）2，
方法2（从局部角度：6个长方形和3个正方形）：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
因此有数学等式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（3）由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得，
2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2-（a2+b2+c2），
∵a+b+c=7，a2+b2+c2=19，
∴2ab+2bc+2ac=49-19=30，
∴ab+bc+ac=15．
【点睛】
本题考查完全平方公式的几何背景，因式分解以及多项式乘以多项式的计算法则，掌握公式特征和适当变形是正确应用的前提．
12．某公园对一个边长为a（a＞1）的正方形花坛进行改造，由于占地需要，正方形花坛南北方向需要缩短1米，使其形状成为长方形．为了使花坛中的绿植面积不变，公园决定将花坛向东侧扩展，使得到的长方形面积和原来正方形的面积相等．
（1）小明说：这太简单了，把正方形南北方向减少1米，在花坛东侧增加1米就行了．这样得到的长方形的周长和面积与原来正方形的周长和面积都相等．你认为小明说的对吗？请你说明理由．
（2）如果原来正方形的花坛边长是5米，在只保证面积不变的情况下，请你计算出改造后，向东扩展了多少米？
（3）如果正方形的花坛边长是a米，在只保证面积不变的情况下，请你用代数式表示出改造后长方形的长．
【答案】（1）小明的说法不对，理由见解析；（2）向东扩展米；（3）
【分析】
（1）理由平方差公式求出小明所得的图形面积，与原图形面积相比较即可得到答案；
（2）设向东扩展x米，根据题意得方程，解方程即可；
（3）利用长方形的面积公式计算即可
【详解】
解：（1）小明的说法不对，理由如下：
由题意得：，
∴小明的说法不对；
（2）设向东扩展x米，
由题意得，
解得x=，
答：向东扩展米；
（3）改造后长方形的长为
【点睛】
此题考查了平方差计算公式与图形面积，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键
13．对于实数a，b，c定义一种新运算，规定
例如：
（1）求；
（2）如图，在矩形ABFG和矩形BCDE中，，，，，若，．连接AF和AD，求图中阴影部分的面积；
（3）若，求的值．
【答案】（1）15；（2）；（3）
【分析】
（1）根据新定义运算法则计算即可；
（2）根据新定义运算法则列出方程，得到，运用完全平方公式可得，再把这两个条件代入阴影面积的代数式可得；
（3）根据新定义运算法则列出方程，配方得，根据非负数性质可得．
【详解】
（1）=
故答案为：15
（2）
又
（3）
，
【点睛】
考核知识点：新定义运算、乘法公式．熟练掌握完全平方公式是关键．
14．现定义运算，对于任意有理数a，b，都有如：，．
（1）若，求x的取值范围；
（2）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，计算：．
【答案】（1）x的取值范围是；（2）.
【分析】
（1）根据新定义的运算方法进行计算即可，
（2）在理解新定义运算的意义和转换方法，然后类推计算即可．
【详解】
解：（1）∵xx-3，
∴，
．
∵，
∴．
∴．
∴．
x的取值范围是．
（2）∵a-b0，b-a>0，2a-2b