专题06数形思想课之一次函数与几何综合专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（浙教版）

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专题06数形思想课之一次函数与几何综合专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．（2022·浙江八年级期末）如图，直线分别与轴交于点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点的坐标为；正确的结论是（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】
先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，可判断①；由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可得点坐标，利用待定系数法可求解析式，可判断②；由面积公式可求的长，代入解析式可求点坐标，可判断③．
【详解】
解：直线分别与、轴交于点、，
点，点，
，，
，故①正确；
线段沿翻折，点落在边上的点处，
，，，
，
，
，
，
点，
设直线解析式为：，
，
，
直线解析式为：，故②正确；
如图，过点作于，

，
，
，
，
当时，，
，
点，，故③正确；
故选：D．
【点睛】
本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
2．（2022·浙江九年级一模）如图，已知在平面直角坐标系中，点是函数图象上的两动点，且点的横坐标是，点的横坐标是，将点，点之间的函数图象记作图型，把图型沿直线进行翻折，得到图型，若图型与轴有交点时，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先由AB关于l对称直线和x轴相交得到x轴关于直线l对称的直线也与AB相交，作x轴关于直线l对称直线l1，即其在中，然后再求出C、D点的坐标，求出OD的长，设l1的解析式为y=k（x-6），作DE⊥l1，可得OE=3，然后运用点与直线的距离求得k，最后再代入分段函数即可求得m的取值范围．
【详解】
解：∵AB关于l对称直线和x轴相交
∴x轴关于直线l对称的直线也与AB相交
作x轴关于直线l对称直线l1，即其在中
当y=0时，x=6，即C（6，0）
在l中，当x=0时，y=3,即OD=3
设l1的解析式为y=k（x-6），作DE⊥l1
∵x轴和直线l1关于直线l对称
∴OD=OE=3
∴D到l1的距离d= ，解得k=
∴l1：y=x+8
由题意可知：x+8=-2x+10,x+8=x,解得x=3，x=
∴交点的横坐标为3和
∵交点在l上
∴3≤m≤或3≤m+1≤，即．
故选A．

【点睛】
本题主要考查了分段函数的应用、轴对称的性质、点到直线的距离等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．


二、填空题
3．（2022·浙江八年级期末）已知直线与轴交于，与轴交于，若点是坐标轴上的一点，且，则点的坐标为________．
【答案】、、
【分析】
利用待定系数法求出、两点坐标，利用勾股定理求出，根据，确定点坐标即可．
【详解】
解：令，得到，
，
令，得到，
，
，，
，
以为圆心，长为半径作圆，交坐标轴即为点，
，
，，，或，
故答案为：、、．
．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握待定系数法确定交点坐标是解题的关键．
4．（2022·浙江七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的点，且点B的横坐标为2n（n为正整数）记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为12时，m的值为______,点B的横坐标为2022时，m的值为______

【答案】15 3031
【分析】
根据题意，分别找出n=1、2、3时的整点的个数，即可发现n增加1，整点的个数增加6，然后写出横坐标为2n时的表达式，从而计算求解．
【详解】
解：当点B的横坐标为2n时，在4×2n的网格图内（不包括边界），一共有3（2n-1）个网格点，

而当n为奇数时，4×2n的网格图的对角线AB与网格线有1个交点，
当n为偶数时，4×2n的网格图的对角线AB与网格线有3个交点，
∴在△OAB内部（不包括边界）的网格点个数m，
当n为奇数时，m=[3（2n-1）-1]，
整理，得：m=3n-2，
当n为偶数时，m=[3（2n-1）-3]，
整理，得：m=3n-3，
∴当2n=12，即n=6时，
m=3×6-3=15；
当2n=2022，即n=1011时，
m=3×1011-2=3031，
故答案为：15；3031．
【点睛】
本题考查坐标与图象，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征，利用数形结合思想解题是关键．
5．（2022·浙江八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形，，，…，点，…都在x轴上，点，…都在直线上，且，，，，…，则点的坐标是___________．

【答案】（，）
【分析】
根据一次函数的解析式求出∠ODE=30°，得到OD=OC1=1，同理得到A1C2=A1D，A2C3=A2D，从而得到相应线段的长，过B3作x轴的垂线，垂足为F，求出A3F和B3F的长，可得点B3的坐标．
【详解】
解：如图，在中，
令x=0，则y=，
令y=0，则x=-1，
则OD=1，OE=，
∴DE==，即DE=2OE，
∴∠ODE=30°，
∵∠C1OA1=60°，
∴∠OC1D=30°，
∴OD=OC1=1，同理：A1C2=A1D，A2C3=A2D，
∵OC1=1，OA1=2OC1=2，
∴A1C2=A1D=3，
∴A2C3=A2D=9，
∴A2A3=18，
∵四边形A2A3B3C3是平行四边形，
∴A3B3=A2C3=9，
过B3作x轴的垂线，垂足为F，
∵∠B3A3F=60°，
∴A3F=A3B3=，
∴B3F==，
∴OF=OA3+A3F=2+6+18+=，
∴B3的坐标为（，），
故答案为：（，）．

【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点，平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据已知点的变化规律求出相应边和角，找出规律是解题的关键．
6．（2022·浙江八年级期末）已知直线与轴，轴分别交于点，，点是射线上的动点，点在第一象限，四边形是平行四边形．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，则点的坐标为______．

【答案】或．
【分析】
先根据题意求得，，，分点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点关于直线的对称点恰好落在轴上，根据含30度角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明是等边三角形，在第二象限时候证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，分别求得点的坐标．
【详解】
与轴，轴分别交于点，，
令，，，
令，，，
，
，
，
，，
，
①如图，当点在第二象限时，设交轴于点，交于点，交轴于点，

四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点关于直线的对称点为点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
点为的中点，
，，
，
②如图，当点在第二象限时，延长交轴于点，
则，

点关于直线的对称点为点
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
．
综合①②可知C的坐标为或．
故答案为: 或．
【点睛】
本题考查了一次函数图像的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法比较多，利用等边三角形的性质是解题的关键．

三、解答题
7．（第12讲　一次函数的应用及综合问题（测）-备战2022年中考数学一轮复习讲练测（浙江））如图，直线l1的解析式为y＝x+1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A、B，直线l1与l2交于点C．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）6；（3）存在，E的坐标是（，0）．
【分析】
（1）利用待定系数法即可直接求得的函数解析式；
（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）求得C关于y轴的对称点，然后求得经过这个点和B点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．
【详解】
解：（1）设的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，解得，
则函数的解析式是：y＝﹣x+4；
（2）在y＝x+1中令y＝0，
即y＝x+1＝0，解得：x＝﹣2，
则D的坐标是（﹣2，0），
解方程组，解得，
则C的坐标是（2，2），
则；
（3）存在，理由：
设C（2，2）关于x轴的对称点（2，﹣2），
连接交x轴于点E，则点E为所求点，

△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+＝BC+为最小，
设经过（2，﹣2）和B的函数解析式是y＝mx+n，则，解得：，
则直线的解析式是y＝﹣x+，
令y＝0，则，解得：x＝，
则E的坐标是（，0）．
【点睛】
本题主要考查一次函数与几何综合，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
8．（2022·台州市书生中学八年级月考）如图，已知直线l1：y1＝﹣2x﹣3，直线l2：y2＝x+3，l1与l2相交于点P，l1，l2分别与y轴相交于点A，B．
（1）求点P的坐标．
（2）若y1＞y2＞0，求x的取值范围．
（3）点D（m，0）为x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交l1和l2于点E，F，当EF＝3时，求m的值．

【答案】（1）点P的坐标为（﹣2，1）；（2）﹣3＜x＜﹣2；（3）m＝﹣3或m＝﹣1．
【分析】
（1）联立两直线解析式得到关于x、y的方程组，解之即可得；
（2）求得直线l2：y2＝x+3与x轴的交点，然后根据图象即可求得；
（3）根据题意表示出E、F的坐标，得到关于m的方程，解之可得答案．
【详解】
解：（1）根据题意，得：，
解得：，
∴点P的坐标为（﹣2，1）．
（2）在直线l2：y2＝x+3中，令y＝0，解得x＝﹣3，
由图象可知：若y1＞y2＞0，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣2；
（3）由题意可知E（m，﹣2m﹣3），F（m，m+3），
∵EF＝3，
∴|﹣2m﹣3﹣m﹣3|＝3，
解得：m＝﹣3或m＝﹣1．
【点睛】
本题主要考查的是两直线相交或平行问题，解题的关键是掌握两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
9．（2022·浙江）如图，直线l1，l2交于点C，直线l1与x轴交于A；直线l2与x轴交于B（3，0），与y轴交于D（0，3），已知直线l1的函数解析式为y＝2x+2．
（1）求直线l2的解析式和交点C的坐标．
（2）将直线l1向下平移a个单位使之经过B，与y轴交于E．
①求△CBE的面积；
②若点Q为y轴上一动点，当△EBQ为等腰三角形时，求出Q的坐标．

【答案】（1）l2的解析式y＝﹣x+3；点C的坐标为（，）；（2）①12；②满足条件的点Q（0，﹣6﹣3）或（0，﹣）或（0，3﹣6）或（0，6）．
【分析】
（1）设直线l2的解析式为y＝kx+b，把B(3，0)，D(0，3)代入转化为解方程组即可，再构建方程组求点C的坐标．
（2）①设平移后的直线的解析式为y＝2x+m，利用待定系数法求出m，由AC∥BE，推出S△CBE＝S△ABE，由此即可解决问题．②由题意BE＝，当Q1E＝BE时，Q1(0，﹣6﹣3)，当EQ2＝Q2B时，设EQ2＝Q2B＝x，在Rt△OBQ2 中，根据OB2+OQ22＝BQ22，可得32+（6﹣x）2＝x2，求出可得Q2坐标，当EB＝EQ3时，Q3(0，3﹣6)，当BE＝BQ4时，Q4(6，0)．
【详解】
解：（1）设直线l2的解析式为y＝kx+b，把B(3，0)，D(0，3)代入得 ，
解得 ，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x+3；
由 解得 ，
∴点C的坐标为( ，)，
（2）①设平移后的直线的解析式为y＝2x+m，
∵经过点B(3，0)，
∴6+m＝0，
∴m＝﹣6，
∴平移后的直线的解析式为y＝2x﹣6，
∴点E的坐标为(0，﹣6)，
∵AC∥BE，
∴S△CBE＝S△ABE＝×4×6＝12；
②∵E(0，﹣6)，B(3，0)，
∴BE＝，
当Q1E＝BE时，Q1(0，﹣6﹣3)，
当EQ2＝Q2B时，设EQ2＝Q2B＝x，
在Rt△OBQ2 中，∵OB2+OQ22＝BQ22，
∴32+（6﹣x）2＝x2，
∴x＝ ，
∴OQ2＝6﹣＝ ，
∴Q2(0，﹣)，
当EB＝EQ3时，Q3(0，3﹣6)，
当BE＝BQ4时，Q4(6，0)；
综上所述，满足条件的点Q(0，﹣6﹣3)或(0，﹣)或(0，3﹣6)或(0，6)．

【点睛】
本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用知识点；
10．（2022·浙江）如图，直线分别交轴于点，交轴于点．
（1）求直线的函数表达式．
（2）若点，点是直线上两点，求线段的长．

【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接用待定系数法将点A、B的坐标代入求解即可；
（2）将点，代入（1）求出的函数表达式中，即可求出点P、Q的坐标，然后根据两点之间距离公式求解即可．
【详解】
（1）将，分别代入，得
，解得
∴一次函数的表达式为；
（2）将，分别代入，得
，，即，
分别过点，作关于轴，轴垂线，相交于点，
则，，
∴

【点睛】
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的性质的应用，以及两点之间距离公式的计算，正确掌握知识点是解题的关键．
11．（2022·浙江九年级一模）如图，直线与坐标轴交于点A，B，该直线上的点P到x轴，y轴的距离分别为，．

（1）若点P为的中点，求的值
（2）点P在射线上，若，求点P横坐标x的范围．
（3）若在线段上存在无数个P点，使为常数，求m的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）分别求出点A和点B的坐标，再根据点P是AB的中点，求出点P的纵、横坐标即可得到结论；
（2）设点P的坐标为（a，），再分和两种情况表示出，再代入，求出a的取值范围即可；
（3）设点P的坐标为（b，），方法同（2）求出，进一步求出m的值即可．
【详解】
解：（1）∵直线与坐标轴交于点A，B，
∴把x=0、y=0分别代入得，
y=-4，x=3
∴A（3，0），B（0，-4）
过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，如图，

∵P是AB的中点，
∴
∴
（2）设点P的坐标为（a，）
∵点P在射线AB上，
∴
∴
当时，
∴，解得，
∴；
当时，
∴，解得，
∴
∴
∴点P的横坐标x的取值范围是：；
（3）若P在线段AB上，则设点P的坐标为（b，）
∴，，
∴
若为常数时，则
当时，
∴．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟悉一次函数的性质是解答此题的关键．
12．（2022·浙江）将一块的长方体铁块（图1）平放在一个长方体水槽底部（图2），现向水槽内匀速注水，直至注满水槽为止，因铁块在水槽内有3种不同的放置方式，所以水槽内的水深h与注水时间t的函数关系用图象来反映，其全过程有三种不同的图象（图3，图4，图5）（注：长度单位：厘米；时间单位：秒）


（1）判断t1与t2的大小关系：t1_________________t2；
（2）水槽深度为_________________厘米；a=_________________厘米，b=_________________厘米；
（3）求铁块的体积．
【答案】（1）=；（2）10，6，9；（3）810
【分析】
（1）根据注水的速度相同且在槽内，得到注水总量相同，得到时间相等；
（2）分析图3与图4，当注水21s以后，水深6cm，当注水45s以后，水深9cm，当注水62s以后，水深10cm，由a×b×c(a （3）根据注入水的体积与水槽的容积以及长方形的体积之间的关系，得到等量关系，算出结果．
【详解】
解：（1）∵注水的速度相同且在槽内，
∴注水总量相同，
∴，
（2）从三个图形来看，h的最大值为10，所以水槽的深度为10cm，
由图3看，当注水21s以后，水深6cm，此时水面与铁块的上表面在同一平面内或者水面刚好淹至铁块的上表面，所以a、b、c中有一个为6cm，
由图4看，当注水45s以后，水深9cm，此时水面与铁块的上表面在同一平面内或者水面刚好淹至铁块的上表面，所以a、b、c中有一个为b=9cm，
由图5看，当注水62s以后，水深10cm，水面未淹铁块，所以a、b、c中有一个不小于10cm，
又因为，所以a=6，b=9，c≥10，
（3）设槽底面积为S，由图3可知，

令注完时间为t，
∴，，
由图3，当t=21s时，，
由图4，当t=45s时，，
∴， ，
解得：t=53s，c=15cm，
∴6×9×15=810．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，关键在于仔细观察图形，明确注入水的体积与水槽的体积以及长方体的体积之间的关系，然后根据注入水的速度，利用图3、图4列出方程求出水槽的底面积与c的关系式．
13．（【新东方】初中数学20220625-011【初二上】）直线与轴、轴交于两点，在轴的负半轴上，且；

（1）求的解析式；
（2）在的延长线上任取一点，作，交直线于，试探究与的数量关系，并证明你的结论．
（3）在（2）的前提下，作于，证明．
【答案】（1）y=x-2；（2）FB=FQ，证明见解析；（3）见解析
【分析】
（1）求出A、C两点坐标，利用待定系数法可求得答案；
（2）结论：FB=FQ．由条件可证得FC=FB，结合已知条件，可证得FC=FQ；
（3）利用（2）的结论，可求得QM=MC，则可求得MQ-AC=MA，利用△PMA为等腰直角三角形可得MA=FM，再代入计算即可求得MQ-AC=FM．
【详解】
解：（1）在y=-x+2中，令y=0可求得x=2，令x=0可求得y=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∵OC=OB，
∴点C坐标（0，-2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把B、C两点坐标代入可得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y=x-2；
（2）如图1中，结论：FB=FQ．

证明如下：连接FC，
∵OA=OB=OC，
∴FO垂直平分BC，△ABC为等腰直角三角形，
∴FB=FC，
∴∠FCO=∠FBO，
∵∠FBA+∠QAB=∠Q+∠BFQ，∠QAB=∠BFQ=90°，
∴∠FCA=∠FBA=∠Q，
∴FQ=FC，
∵FB⊥FQ，
∴FB=FQ；
（3）证明：
由（2）可知，∠FAM=∠AFM=45°，FC=FQ，
∴QM=MC，FM=MA，
∴MQ-AC=MC-AC=MA=FM．
【点睛】
本题为一次函数综合应用，涉及等腰直角三角形的性质、待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，知识点较多，综合性较强，难度适中．
14．（2022·浙江）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），直线l是经过点（0，）且平行于x轴的直线，点B在直线l上，连接AB，设点B的横坐标为m（m＞0）．

（1）如图1，当m＝9时，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，求直线BC的函数表达式．
（2）在图2中以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连结OD，求△AOD的面积（用含m的代数式表示）．
（3）在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABP，当点P落在直线y＝x+上时，求m的值．
【答案】（1）直线BC的解析式为；（2）（）；（）；（）；（）；
（3）m的值为或．
【分析】
（1）作CN⊥轴于N，BM⊥轴于M，易证Rt△NCARt△MAB，可求得点C的坐标为（，），再利用待定系数法即可求解；
（2）过B作直线EF⊥轴于F，过D作DE⊥EF交直线EF于E，易证Rt△FABRt△EBD，可求得点D的坐标为（，），再利用三角形面积公式即可求解；
（3）题中只给定了AB为直角边，所以分①∠ABP=90°、②∠BAP=90°两种情况讨论，即可求解．
【详解】
（1）作CN⊥轴于N，BM⊥轴于M，如图：

∵∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠NCA=∠NAC+∠MAB=90°，
∴∠NCA=∠MAB，
∵CA= AB，
∴Rt△NCARt△MAB，
∴NC= MA，NA= MB，
∵点B的横坐标为，
∴点B的坐标为（9，），
∴NC= MA= MO- OA=9-4=5，NA= MB=，ON= OA - NA=，
∴点C的坐标为（，），
设直线BC的解析式为，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为；
（2）过B作直线EF⊥轴于F，过D1作D1E⊥EF交直线EF于E，过D2作D2E⊥EF交直线EF于M，如图：

同理可证Rt△FAB≌Rt△EBD1≌Rt△MBD2，
∴AF= BE=MB，FB= D1E= D2M，
∵点B的横坐标为，
∴AF= BE=MB =，FB= D1E= D2M =，
∴点D1的坐标为（，），即D1（，），点D2的坐标为（，），即D2（，），
∴，
（）；（）；
，
（）；（）；
（3）①当∠ABP=90°时，
由（2）可知D与P重合，
∴点P的坐标为（，），
由题意得，点P在直线上，
∴，
解得：；
②当∠BAP=90°时，如图：


同理可证明Rt△HAPRt△GPA，
∵点B的坐标为（，），
∴PH=AG=，AH=BG=，
∴点P的坐标为（，），即（，），
点P在直线上，
∴，
解得：；
综上，m的值为或．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
15．（2022·浙江八年级期末）如图，平面直角坐标系中，直线m交x轴于点A，交y轴于点B．且点A ，∠BAO＝60°．点C为AB中点，过点C作直线 n 垂直于m，交 x轴于点 D．
（1）请直接写出B、C、D的坐标．
（2）在x轴上找一点E，使得S△BCE＝6，求点E的坐标．
（3）直线m上有一点 M，y轴上有一点N，若△DMN 是等腰直角三角形，求出点M的坐标．


【答案】（1）B（ 0，6），C（， 3 ），D（， 0）；（2）E（，0）；（3）M 或 或或或
【分析】
（1）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB的长，在利用勾股定理即可求出BO的长，因点B在轴上，即可求出点B的坐标，根据中点坐标公式可求点C的坐标，同时根据待定系数法可求得直线的解析式，利用直线与直线垂直，可求直线的斜率，再利用待定系数法求出直线的解析式，即可求点D坐标；
（2）分两种情况：①当点E 在点A的左侧，②当点E在点A的右侧时，可根据三角形的面积公式，分别表示出和的面积，再利用即可求得点E的坐标；
（3）根据题意设出点M的坐标，分三种情况：①当点D为直角顶点时；②当点M为直角顶点时；③当点N为直角顶点时；再利用等腰三角形的性质，两点间距离公式，勾股定理即可解答．
【详解】
（1）直线交轴于点A（），交轴于点B





在中，由勾股定理得：

点B的坐标为：
点C为AB的中点
点C的横坐标为：
点C的纵坐标为：
点C的坐标为：
设直线的解析式为：

解得：
直线的解析式为：，
直线n垂直于直线m，垂足为C
，为直角三角形


，点C为AB的中点，




点D的坐标为：
（2）①E在A的左侧时，设E（m，0）



，
解得：
∴ E（，0）
②E在A的右侧时，设点E（n，0）




解得：
∴E（，0）
（3）当D 为直角顶点时，设M坐标为：


在中，由勾股定理得：
N点坐标为（0、）

在中由勾股定理可得：



解得：或
点M的坐标为： 或
同理：当M为直角顶点时，点M的坐标为：或
当N 为直角顶点时，点M的坐标为：
【点睛】
本题主要考查的是一次函数与几何应用，熟练掌握含角直角三角形的性质，待定系数法求解析式，中点坐标公式，等腰三角形的性质，勾股定理，两点间距离公式是解题关键．
16．（2022·浙江八年级期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形的顶点A在x轴的正半轴上，，，点P，点Q分别是边，边上的点，连结，，点B1是点B关于的对称点．

（1）若四边形为长方形，如图1，
①若点P，点Q分别是边，边上中点，求直线的解析式；
②若，且点落在上，求点的坐标；
（2）若四边形为平行四边形，如图2，且，过点作轴，与对角线，边分别交于点E，点F．若，点的横坐标为m，求点的纵坐标（用含m的代数式表示）
【答案】（1）①；②，；（2）或
【分析】
（1）①根据A、C坐标和中点的定义得到P、Q坐标，再利用待定系数法求解．
②求出直线的解析式，利用待定系数法即可解决问题．
（2）分两种情形：①当点在线段的延长线上时，如图2，延长与轴交于点，②当点在线段（除点，外）上时，如图3，延长与轴交于点，分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）①，，四边形是矩形，
∴BC=4，AB=2，
∴B（4，2），
又点P和点Q是BC和AB中点，
∴P（2，2），Q（4，1），设PQ的解析式为，
则，解得：，
∴PQ的解析式为；
②设，则，如图1，

设直线的解析式是，把代入，得
，解得，
直线的解析式是，
把代入上式，得，解得．
，；
（2），，，
，．
，
有以下两种情况：
①当点在线段的延长线上时，如图2，延长与轴交于点，

由题意可知，设，则，，
，，
，
，解得．
点的纵坐标为．
②当点在线段（除点，外）上时，如图3，延长与轴交于点，

同理可求得的纵坐标为．
综上所述，满足条件的的纵坐标为或．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
17．（2022·浙江八年级期末）如图，在正方形中，，点为线段上的一个动点．设，由点首尾顺次相接形成图形的面积为．

（1）求关于的函数表达式及的取值范围；
（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为，且为第一象限内位于直线右侧的一个动点，若正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的点坐标；
（3）在（2）的条件下，若为经过且垂直于轴的直线，为上的一个动点，使得，请直接写出符合条件的点的坐标．
【答案】（1）y=-2x+16，0＜x＜4；（2）（12，12）或（8，20）或（6，14）；（3）（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）
【分析】
（1）根据梯形的面积公式，可得函数解析式，根据线段的和差，可得x的取值范围；
（2）根据等腰直角三角形的关系，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（3）设Q（-1，m），QN所在直线方程为y=kx+b，利用直线方程求出y轴截距；用截距来计算三角形面积，然后通过S△MNQ=S△NMP，列方程求解．
【详解】
解：（1）由线段的和差，得PC=（4-x），
由梯形的面积公式，得y=-2x+16，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=4，
∴x的取值范围是0＜x＜4；
（2）设P点坐标是（a，b），M（0，16），N（4，8），
以MN为边，在MN右侧做正方形，MNAB，正方形中心为H，则易知A，B，H即为所求P的坐标；示意图如下

求得A（12，12），B（8，20），O（6，14），
故P点可能的坐标为（12，12）或（8，20）或（6，14）；
（3）由S△MNQ=S△NMP，
设Q（-1，m），QN所在直线方程为y=kx+b，
把Q和N代入方程，求得b=，则可求S△NMP=|16-b|×[4-（-1）]=|36-2m|
当P为（12，12）时，S△MNQ=40，
∴|36-2m|=40；解得m=-2或38，
当P（8，20），同理解得m=-2或38，
当P（8，20），有S△MNQ=20，解得m=8或28，
综上，符合条件的Q的坐标为（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）．
【点睛】
本题考查了一次函数综合题，（1）利用了梯形的面积公式，（2）利用等腰直角三角形的性质得出方程组是解题关键，（3）利用直线方程求出y轴截距是解题关键．
18．（2022·杭州市建兰中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，A(6，0)、∠OAB＝60°，点P是线段AB上的任意一点（包括端点），点Q在直线AB上，PQ＝4BP．

（1）点B的坐标是　 　；
（2）连接OQ，OP，若OPQ是以PO为底边的等腰三角形，求OPQ的面积；
（3）点C的坐标为(0，2)，点Q在射线AB上，以P，Q，C，D为顶点作平行四边形，若点D落在x轴上，求所有满足条件的BQ的长．
【答案】（1），；（2）或；（3）5或1
【分析】
（1）解直角三角形求出OB即可．
（2）分两种情形：如图2中，当点Q在x轴的上方时，过点Q作QH⊥OA于H，过点O作OK⊥AB于K．利用勾股定理求出x的值即可．当点Q在x轴下方时，同法可得．
（3）分两种情形：如图3-1中，当CD∥PQ，CD=PQ时，如图3-2中，当CD=PQ，CD∥PQ时，分别求出PQ，PB的长，可得结论．
【详解】
解：（1）如图1中，

在中，，，
，
，．
故答案为：，．
（2）如图2中，当点在轴的上方时，过点作于，过点作于．

设，则，
在中，，
，，，
在中，，
在中，，
，
解得或（舍弃），
．
当点在轴下方时，同法可得．
综上所述，满足条件的的面积为：或．
（3）如图中，当，时，

，
，
，
．
，
，
．
如图中，当，时，同法可得，

，
，
，
综上所述，的长为5或1．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
19．（2022·浙江八年级期中）如图1，已知一次函数的图象分别交y轴正半轴于点A，x轴正半轴于点B，且的面积是24，P是线段上一动点．


（1）求k值；
（2）如图1，将沿翻折得到，当点正好落在直线上时，
①求点的坐标；
②将直线绕点P顺时针旋转得到直线，求直线的表达式；
（3）如图2，上题②中的直线与线段相交于点M，将沿着射线向上平移，平移后对应的三角形为，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）；（2）①点（3，0）,②，（3）点的坐标（7，12）或（4，3）．
【分析】
（1）根据函数解析式可知OA长，再由即可求出OB长，将B点坐标代入解析式即可求出k值；
（2）①由折叠性质可求得中、，用勾股定理列方程即可求解；②通过构造等腰直角三角形，利用K字形模型全等求出直线上点Q坐标，再由A、Q点坐标用待定系数法求出解析式即可，
（3）根据平移性质可知，先求出直线的解析式；再当是以为直角边的直角三角形时，分两种情况求出直线与过A、P点垂直于AP直线的解析式，联立函数解析式得方程求出点坐标，由此得出图形平移方式，由此求出点的坐标．
【详解】
解：（1）当x=0时，y=6，故点A坐标为A（0,6），
∵，
∴，
∴点B坐标为（8,0），
代入得，
∴，
（2）①如图2-1，由折叠性质可知：，；，

∵，
∴，
设，则,
由得，
∴，
即P点坐标为（3，0）
②如图，过点A作AQ⊥AP，并在AQ上取点Q使AQ=AP，过Q点作HQ⊥y轴，

∴，
∵，
∴，
∴（AAS）
∴HQ=AO=6，AH=OP=3，
∴点Q坐标为（6，9），
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴将直线绕点P顺时针旋转得到直线，直线与PQ重合，
设经过P（3，0），Q（6，9）的直线解析式为得
，
解得：，
即直线为，
（3）由平移性质可知：，由（2）得直线为，
∴设直线解析式为，
当x=8时，y=0，即，解得：，
∴直线解析式为，
由（2）得A（0，6）、Q（6，9），则直线AQ解析式为：，
I．当AP为直角边，时，如图3-1

联立直线和直线AQ得：
，
解得：，
即坐标（12，12），故点B（8，0）向右移动4个单位，向上移动12个单位得到点，
∴故点P（3，0）向右移动4个单位，向上移动12个单位得到点（7，12），
即当AP为直角边，时，点（7，12），
II．当AP为直角边，时，如图3-2，

∴，
设直线解析式为：，
∵P点坐标为（3，0），
∴，
∴
∴直线解析式为，
联立直线和直线得：
，
解得：，
即坐标（9，3），故点B（8，0）向右移动1个单位，向上移动3个单位得到点，
∴故点P（3，0）向右移动1个单位，向上移动3个单位得到点（4，3），，
即当AP为直角边，时，点（4，3）．
【点睛】
本题综合考查了一次函数与几何综合，待定系数法求解析式是基础，解（2）关键是利用等腰直角三角形构建三垂直全等从而求出旋转45°直线的解析式；解（3）关键是利用平行直线的性质求出解析式．
20．（2022·浙江七年级期中）在平面直角坐标系中，点且满足，过点A作轴于点B，将线段沿x轴向右平移18个单位长度得到线段，点A的对应点是点D，连接．
（1）请直接写出点A、点C的坐标；
（2）若动点Q从点D出发沿线段向终点A运动，动点P同时在四边形的边上从点A出发，沿的方向向终点C运动，当其中一个点运动到终点，则两个点结束运动，点P与点Q每秒分别运动2个单位和1个单位，间：运动多少秒时，线段的中点M在y轴上：
（3）在（2）的条件下，第一象限存在点，使得的面积是78，试探究：是否为定值，若为定值，请直接写出这个值；若不是，请直接写出a，b满足的条件．
【答案】（1）点A的坐标为(，)，点C的坐标为(，)；（2）运动秒或秒时，线段PQ的中点M在y轴上；（3）是定值，定值为．
【分析】
（1）根据非负性的知识求得x、y的值，即可求得点A、点C的坐标；
（2）分两种情况讨论，①当点P在线段AD上，②当点P在线段DC上，利用中点坐标公式求解即可；
（3）求得直线AF的解析式为,再求得与y轴的交点为N(，)，利用三角形面积公式分类讨论即可求解．
【详解】
（1）∵点A(x，y)且满足+(y−10)2=0，
∴，y−10＝0，
解得：，，
∴点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)，
根据题意得：点C的坐标(，)即(，)；
（2）①当点P在线段AD上时，()，

此时，点P的坐标为(，)，点Q的横坐标为(，)，
∵线段PQ的中点M在y轴上，
∴，
解得：；
②当点P在线段DC上时，()，

此时，点P的坐标为(，)即(，)，点Q的横坐标为(，)，
∵线段PQ的中点M在y轴上，
∴，
解得：；
综上，运动秒或秒时，线段PQ的中点M在y轴上；
（3）设直线AF的解析式为,
，解得，
∴直线AF的解析式为,
令，则，
∴直线AF与y轴的交点为N(，)，
①当点M在线段AD上时，()，

依题意得：，即，
整理得：，
∴，不是定值，不符合题意；
②当点P在线段DC上时，()，

依题意得：，即，
整理得：，
∴，是定值，
∵点F(a，b)在第一象限，
∴，，
∴定值为(负值舍去) ．
【点睛】
本题是一次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积计算．解题时，要分类讨论．