第04讲 一元二次方程章节分类总复习 -【专题突破】2022-2023学年八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

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第04讲 《一元二次方程》章节分类总复习一  一元二次方程及其解法知识点睛：一元二次方程的一般形式：判断一元二次方程的特征：一元二次方程的解法：解法适用范围步骤直接开方法符合型的一元二次方程1)        两边分别开方，得：；2)        两边同除以系数，得，因式分解法化成一般形式后，“=”左边可以因式分解的一元二次方程(1)     将一元二次方程化成一般是(2)     将“=”左边的部分因式分解(3)     让各部分因式分别=0(4)     各部分因式分别=0的x的值即为方程的解 配方法 适用二次项系数为1的一元二次方程1)        将一般形式的常数项移到“=”右边2)        两边同时加上一次项系数一半的平方，得到式的一元二次方程3)        利用直接开方法求解方程   公式法   适用所有一元二次方程(1)     将方程写成一般式；(2)     分别写出a、b、c的表达式，带入求出根的判别式的值；(3)     将数据带入公式，得到方程的两个解【易错警示】        判断方程是不是一元二次方程需要化简后再根据特征判断；        一元二次方程的解，要么无解，有解必有2个，所以最后的方程的解一定要写明x1、x2；        一元二次方程公式法也称万能公式，但是利用万能公式时一定要先写清楚其a、b、c以及b2-4ac的值，之后再带入计算；类题训练1．（2022秋•西城区校级期中）若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不存在2．（2022春•宁乡市期末）把方程2x（x﹣1）＝3x化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）A．2，5，0 B．2，﹣5，0 C．2，5，1 D．2，3，03．（2022春•亳州期末）把方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　）A．x2﹣x﹣2＝0 B．x2+5x﹣2＝0 C．x2﹣x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝04．（2022秋•温岭市期中）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为（　　）A．﹣16 B．﹣13 C．﹣10 D．﹣85．用配方法解一元二次方程x2﹣9x+19＝0，配方后的方程为（　　）A．（x﹣）2＝ B．（x+）2＝ C．（x﹣9）2＝62 D．（x+9）2＝626．解方程：（1）2（x﹣3）2＝x2﹣9；  （2）x2﹣x﹣＝0；      （3）（x﹣5）2＝16；  （4）2y2+4y＝y+2；        （5）x2﹣2x﹣4＝0；          （6）x2+5x+4＝0．  7．（2022秋•昭阳区期中）阅读例题，解答问题：例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，解：原方程化为|x|2﹣|x|﹣2＝0．令y＝|x|，∴y2﹣y﹣2＝0解得：y1＝2，y2＝﹣1当|x|＝2，x＝±2；当|x|＝﹣1时（不合题意，舍去）∴原方程的解是x1＝2，x1＝﹣2，仿照上例解方程（x+1）2﹣5|x+1|﹣6＝0．    二  根的判别式知识点睛：对于一元二次方程的一般形式：，(1)           方程有两个不相等的实数根(2)           方程有两个相等的实数根(3)           方程没有实数根【易错警示】        在应用跟的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件；        当时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知类题训练1．（2022秋•永春县期中）不解方程，判别方程x2﹣3x+2＝0的根的情况是（　　）A．有两个不等实根    B．有两个相等实根   C．没有实根         D．无法确定2．（2022•雨花区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）A．m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞3．（2022•河池）关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（　　）A．有两个不相等的实数根     B．有两个相等的实数根 C．没有实数根               D．实数根的个数由m的值确定4．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n＝0无实数根，则一次函数y＝（2﹣n）x+n的图象不经过（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2022秋•寿光市期中）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m＝0的两根，则m的值为 　   　．6．（2020秋•安居区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．  7．（2020•亳州模拟）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）当m为正整数时，求方程的根．   8．（2020秋•沁阳市月考）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+3时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．   9．（2022秋•台州期中）关于x的方程x2﹣x+m＝0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若方程有一个根为5，求m的值及方程的另一个根．   三  根与系数的关系（韦达定理）知识点睛：1.若一元二次方程的两个根为，则有，2.两根关系的常见变形：           类题训练1．（2022秋•义马市期中）已知m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个不相等的实数根，则m2+mn+n2的值为（　　）A．﹣1 B．9 C．27 D．232．（2022•遵义一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣23．（2018•眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（　　）A． B．﹣ C．﹣ D．4．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m的值为（　　）A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．15．（2019•广东）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　）A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝26．若关于x的方程x2+（m+1）x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　）A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．2已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两个实数根，则x12+x22＝　 　．8．（2022秋•越秀区校级期中）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，求：（1）+的值；（2）m2﹣mn+n2的值．9．（2022秋•惠安县校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1＝2x2，求k的值．     四  一元二次方程的实际应用类题训练：1．如图，在南河公园有一个矩形的花坛，长10米，宽7米（阴影部分）．在花坛的周围是等宽度的石子路，路的面积为84平方米．则石子路的宽度为（　　）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米2．在疫情期间，口罩的需求量急剧上升．某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只，如果要在第二季度总共生产728000只口罩，设生产口翠月平均增长的百分率为x，则可根据题意列出的方程是（　　）A．200000（1+x）2＝728000               B．200000（1+x）3＝728000 C．200000（1+x）+200000（1+x）2＝72800 D．200000+200000（1+x）+200000（1+x）2＝7280003．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确是（　　）A．x+x（1+x）＝81    B．1+x+x2＝81    C．1+x+x（1+x）＝81    D．x（1+x）＝814．有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　）A．8人 B．9人 C．10人 D．11人5．如图是一个长20cm，宽15cm的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的，设彩条的宽度为xcm，则下列方程正确的是（　　）A．      B． C．    D．6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（　　）A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟7．如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（　　）A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m8．工人师傅给一幅长为120cm，宽为40cm的矩形书法作品装裱，作品的四周需要留白如图所示，已知左、右留白部分的宽度一样，上、下留白部分的宽度也一样，而且左侧留白部分的宽度是上面留白部分的宽度的2倍，使得装裱后整个挂图的面积为7000cm2，设上面留白部分的宽度为xcm，可列得方程为　                  　．9．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为　   　cm． 10．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到　          　秒时，点P和点Q的距离是10cm．   11．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论． 12．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　   　件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？  13．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 　    　元；当每个公司租出的汽车为 　    　辆时，两公司的月利润相等；（2）求租出汽车多少辆时，两公司月利润差恰为18400元？