专题05 三角形全等的判定之SSS重难点专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（浙教版）

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专题05三角形全等的判定之SSS重难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．（2020·浙江中考真题）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO=BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（　　）

A．DC=DT B．AD=DT C．BD=BO D．2OC=5AC
【答案】D
【分析】
根据切线的判定知DT是⊙O的切线，根据切线长定理可判断选项A正确；可证得△ADC是等腰直角三角形，可计算判断选项B正确；根据切线的性质得到CD=CT，根据全等三角形的性质得到∠DOC=∠TOC，根据三角形的外角的性质可判断选项C正确；
【详解】
解：如图，连接OD．

∵OT是半径，OT⊥AB，
∴DT是⊙O的切线，
∵DC是⊙O的切线，
∴DC=DT，故选项A正确；
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵DC是切线，
∴CD⊥OC，
∴∠ACD=90°，
∴∠A=∠ADC=45°，
∴AC=CD=DT，
∴AD=CD=DT，故选项B正确；
∵OD=OD，OC=OT，DC=DT，
∴△DOC≌△DOT（SSS），
∴∠DOC=∠DOT，
∵OA=OB，OT⊥AB，∠AOB=90°，
∴∠AOT=∠BOT=45°，
∴∠DOT=∠DOC=22.5°，
∴∠BOD=∠ODB=67.5°，
∴BO=BD，故选项C正确；
∵OA=OB，∠AOB=90°，OT⊥AB，
设⊙O的半径为2，
∴OT=OC=AT=BT=2，
∴OA=OB=2，
∴，
2OC5AC故选项D错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆的有关知识，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形、灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
2．（2020·浙江嘉兴市·）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且CD=CB，CD与AB交于点E，连接OD，若∠AOD=80°，则∠B的度数是（ ）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【分析】
连接OC，先求得∠BOD=100º,再证明△ CDO ≌ △ CBO，进而求得∠COB=130º，再根据等腰三角形的性质即可求得∠B的度数．
【详解】
解：如下图，连接OC，则OC=OD，

∵AB是⊙O的直径，∠AOD=80°，
∴∠BOD=100°，
∵OD=OB，OC=OC，CD=CB，
∴△CDO ≌△CBO，
∴∠COD=∠COB=，
∵OC=OB，
∴∠B=，
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了圆的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识的运用是解答的关键．
3．（2020·湖州市第四中学教育集团八年级期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）

A．S．S．S B．S．A．S C．A．S．A D．A．A．S
【答案】A
【分析】
利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB．
【详解】
解：易得OC=C'，OD=O′D'，CD=C′D'，
∴△OCD≌△O′C′D′，
∴∠A′O′B′=∠AOB，所以利用的条件为SSS，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．
4．（2020·浙江）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于点C，D，再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点P，作射线OP，则下列说法错误的是（　　）

A．△OCP≌△ODP B．OC＝DP C．∠OCP＝∠ODP D．∠OPC＝∠OPD
【答案】B
【分析】
证明△OPC≌△OPD（SSS）即可解决问题．
【详解】
解：由作图可知，OC＝OD，CP＝DP，
∵OP＝OP，
∴△OPC≌△OPD（SSS），
∴∠OCP＝∠ODP，∠OPC＝∠OPD，
故选项A，C，D正确，不符合题意.
故选：B．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2020·浙江金华市·八年级期中）图中的小正方形边长都相等，若，则点Q可能是图中的（ ）

A．点D B．点C C．点B D．点A
【答案】A
【分析】
根据全等三角形的判定即可解决问题．
【详解】
解：观察图象可知△MNP≌△MFD．

故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（2020·浙江绍兴市·）工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M，N重合（即CM＝CN）．此时过直角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法的道理是（ ）

A．HL B．SAS C．SSS D．ASA
【答案】C
【分析】
根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC≌△ONC(SSS)，即可得到结论.
【详解】
在△OMC和△ONC中，
,
∴△OMC≌△ONC(SSS)，
∴∠MOC=∠NOC，
∴射线OC即是∠AOB的平分线，
故选：C.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.
7．（2022·浙江省慈溪市庵东初级中学九年级其他模拟）如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( )

A．2－ B． C． D．1
【答案】C
【分析】
如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD、C′D的长，即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，

由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′=60°，AB=B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，

∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠DBB′=∠DBA=30°，
∴BD⊥AB′，且AD=B′D，
∵AC＝BC＝，
∴，
∴，，，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．


二、填空题
8．（2019·浙江杭州市·九年级期中）如图，图1供你参考，四边形BDEF是长方形，，图2是以三角形α的三边为边长向外作正方形，正方形的面积表示在图中.

（1）如图1，AE=__________________.
（2）如图2，三角形α的面积是____________
【答案】 17
【分析】
从图1可知∆AEC的三边长，从图2可知三角形α的三边长，从而可得，∆AEC与三角形α是全等三角形，求出∆AEC的面积，即可得到三角形α的面积.
【详解】
(1) ∵在图1中，四边形BDEF是长方形，，
∴在Rt∆ADE中，，
故答案是：；
(2)∵在图1中，四边形BDEF是长方形，，
∴，
，，
∵在图2中，以三角形α的三边为边长向外作正方形，
∴三角形α的三边为边长分别是：，，，
∴∆AEC与三角形α是全等三角形，
∵=，
∴三角形α的面积是17，
故答案是：17.
【点睛】
本题主要考查利用勾股定理求边长，根据题意，利用勾股定理和正方形的面积公式，求出三角形各边长，然后证明三角形全等，是解题的关键.
9．（2022·浙江九年级期末）如图所示的网格是正方形网格，则______（点、、、、是网格线交点）．

【答案】45
【分析】
如图作辅助线，证明△AHC是等腰直角三角形，△AFH≌△CDE，得到∠HAC＝45°，∠FAH＝∠DCE，然后根据平行线的性质求出∠FAC＝∠ACB，将∠ACB－∠DCE转化为∠FAC－∠FAH＝∠HAC进行计算即可．
【详解】
解：如图所示作辅助线，点F、H均在格点上，设一小格为1，
由勾股定理得：AH＝CH＝CE＝，AC＝，
∴AH2＋CH2＝AC2，
∴△AHC是等腰直角三角形，∠HAC＝45°，
又∵AF＝CD＝2，FH＝DE＝1，
∴△AFH≌△CDE，
∴∠FAH＝∠DCE，
∵AF∥BC，
∴∠FAC＝∠ACB，
∴∠ACB－∠DCE＝∠FAC－∠FAH＝∠HAC＝45°，
故答案为：45．

【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识，通过作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
10．（2020·浙江宁波市·）如图，在和中，，，，则_______．

【答案】
【分析】
根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质得出∠DAC=∠BAC，即可求出结果．
【详解】
解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC
∵∠DAB=80°，
∴∠DAC=40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
11．（2020·浙江八年级期中）在如图的中，，且为上一点．今打算在上找一点，在上找一点，使得与全等，以下是甲、乙两人的作法：
（甲）连接，作的中垂线分别交于点、点，则两点即为所求；
（乙）过点作与平行的直线交于点，过作与平行的直线交于点，则两点即为所求；
请对甲、乙两人的做法作出判断，甲的作法_________．乙的作法_________（请用正确或错误填空）．

【答案】正确 正确
【分析】
如图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PD，QA=QD，则根据“SSS”可判断△APQ≌△DPQ，则可对甲进行判断；
如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA=DQ，PD=AQ，则根据“SSS”可判断△APQ≌△DQP，则可对乙进行判断．
【详解】
如图1，∵PQ垂直平分AD，

∴PA=PD，QA=QD，
而PQ=PQ，
∴△APQ≌△DPQ（SSS），所以甲正确；
如图2，

∵PD∥AQ，DQ∥AP，
∴四边形APDQ为平行四边形，
∴PA=DQ，PD=AQ，
而PQ=QP，
∴△APQ≌△DQP（SSS），所以乙正确．
故答案为：正确，正确．
【点睛】
本题考查了作图－复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定．
12．（2022·浙江九年级一模）如图1，一个圆球放置在形架中，图2是它的平面示意图，和都是的切线，切点分别是，若的半径为，且，则______．

【答案】60°
【分析】
构建直角三角形，将数据转换到直角三角形中进行计算．连接OC，OA，那么，在Rt△OBD中,OB=2 ，可求sin∠BOD= ，得到∠BOD=60°，再求∠OCB=30°，则可求得∠ACB=60°．
【详解】
解：如图，连接OC，OA，交AB于点D，

∵CA、CB分别是⊙O的切线
∴CA=CB，
∵OA=OB，OC=OC
∴
∴，即OC平分∠ACB
∴OC⊥AB
∵AB=6
∴
在Rt△OBD中
∵OB=2 ，
∴sin∠BOD= ，
∴∠BOD=60°
∵B是切点
∴OB⊥BC
∴∠OCB=30°
∴∠ACB=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，通过构建直角三角形来求度数是比较常用的方法．

三、解答题
13．（【新东方】初中数学1232初二上）已知：如图，点，，，在同一条直线上，，，．
求证：．

【答案】见解析
【分析】
由“SSS”可证△ABC≌△EDF，可得∠A=∠E，可证AB∥ED．
【详解】
解：证明：∵AF=EC，
∴AC+FC=EF+FC，
即AC=EF，
∵AB=ED，BC=DF，AC=EF，
∴△ABC≌△EDF（SSS），
∴∠A=∠E，
∴AB∥ED．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，证明△ABC≌△EDF是本题的关键．
14．（2022·浙江九年级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，连接D'C，若BD＝CD'．
（1）求证：△ABD≌△ACD'．
（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．

【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）由对称得到，再证明 即可；
（2）由全等三角形的性质，得到，∠BAC＝=100°，最后根据对称图形的性质解题即可．
【详解】
解：（1）以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△A，

在△ABD与中，


（2）
，∠BAC＝=100°，
以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△A，

∠DAE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
15．（【新东方】初中数学1304【初二上】）已知：如图，，点E在的延长线上，说明的理由．

【答案】见解析
【分析】
首先证明可得，然后再证明可得．
【详解】
解：证明：在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
16．（【新东方】【温州】【初二下】【数学】【00104】）如图，，求证：．


【答案】见解析
【分析】
根据AE=BF，得到AF=BE，再利用SSS证明△ADF≌△BCE，得到∠A=∠B，可得ADBC．
【详解】
解：∵AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF，
∴AF=BE，
又∵AD=BC，DF=CE，
∴△ADF≌△BCE（SSS），
∴∠A=∠B，
∴ADBC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是结合已知条件，找准三角形证明全等．
17．（2022·浙江九年级一模）如图，在4×4方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上请按要求完成作图，仅用无刻度直尺．画出一个与△ABC全等的且有公共边的格点三角形，并给出证明．


【答案】见解析
【分析】
作点A关于BC的对称点D，连接CD，BD，即可．
【详解】
如图所示，


理由如下：
∵点D与点A关于直线BC对称，
∴AC=DC，AB=DB，
又∵BC=BC，
∴．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握“SSS”证明全等三角形，是解题的关键．
18．（【义乌7】【2018】【初二上】）将推理过程的理由填入括号内：如图，，，O为BD上任意一点，过O点的直线分别交AD、BC的延长线于M、N点，试说明.

解：在△ABD和△CDB中，
∵
∴ ( )
∴ ( )
∴AD∥BC ( )
∴∠1=∠2( ) .
【答案】答案见解析.
【分析】
根据题目提供的条件和过程中信息可知利用的已知边相等和公共边，即SSS证明三角形全等，再根据平行线的判定和性质即可解答.
【详解】
解：在△ABD和△CDB中，
∵，
∴ (SSS)，
∴ (全等三角形的对应角相等)，
∴AD∥BC (内错角相等，两直线平行) ，
∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等) .
【点睛】
本题考查全等三角形的判定、平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握以上内容.
19．（2020·盘锦市大洼区田家学校八年级月考）如图，四边形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，，垂足分别是E、F，求证：．

【答案】证明见解析．
【分析】
欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．
【详解】
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，
∴OE=OF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
20．（2020·浙江） 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3cm，BC=5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动速度为lcm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）
（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t=4时，求y的值．

【答案】（1）当t=2.5s时，四边形ABQP是平行四边形，理由详见解析；（2）5.4cm2．
【分析】
（1）求出和，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）先求出高AM和ON的长度，再求出和的面积，再求出答案即可．
【详解】
（1）当时，四边形ABQP是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
在和中，
∴
∴，
∵
∴
即
∴四边形ABQP是平行四边形
故当时，四边形ABQP是平行四边形；
（2）过A作于M，过O作于N
∵
∴在中，由勾股定理得：
由三角形的面积公式得：，即
∴
∵
∴
∵
∴
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴的面积为
当时，
∴的面积为
∴
故y的值为．

【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定、三角形的面积、全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
21．（【新东方】初中数学696【2019年】【初二上】）如图，已知，且（点A与点D对应，点C与点F对应），说明的理由．

解：，
________，________，
又________，________，
________，
在与中
，
（________），
【答案】答案依次为：DE，CE，FC，FC，EF，AB=DE，BC=EF，SSS．
【分析】
根据全等三角形对应边相等可得AB=DE，BF=CE，再根据线段的和差可得，然后根据三边对应相等的三角形全等可得．
【详解】
解：，

DE，CE，
又FC，FC，
EF，
在与中
，
（SSS），
故答案依次为：DE，CE，FC，FC，EF，AB=DE，BC=EF，SSS．
【点睛】
本题全等三角形的性质和判定．解决此题的关键是利用线段的和差由推出．
22．（【新东方】初中数学696【2019年】【初二上】）已知：如图，AD是BC的垂直平分线，于点E，于点F．求证：
（1）；
（2）．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质可得AB=AC，BD=CD，再根据AD为公共边，可利用三边对应相等的三角形全等证明≌；

（2）根据全等三角形的性质可得∠BAD=∠CAD，再结合DE⊥AB，DF⊥AC，可利用角平分线上的点到角两边距离相等可得DE=DF．
【详解】
证明：（1）∵AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，BD=CD，
又∵AD=AD，
∴≌（SSS）
（2）∵≌
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质定理，角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定．熟记角平分线上的点到角两边距离相等和线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解决此题的关键．
23．（2020·台州市书生中学八年级月考）如图，已知AD=BC，AC=BD，求证：OD=OC．

【答案】见解析
【分析】
连接CD．只要证明△ADC≌△BCD，可得∠ACD=∠BDC，推出OD=OC．
【详解】
连接CD．

在△ADC和△BCD中，
，
∴△ADC≌△BCD，
∴∠ACD=∠BDC，
∴OD=OC．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24．（2020·浙江湖州市·八年级月考）如图，点E，C在线段上，，．

（1）若要使，可以添加的条件是：______；
（2）请根据你所给的条件进行证明．
【答案】（1）AC=DF；（2）见解析
【分析】
（1）由BE=CF可得到BC=EF，结合条件可再加一组边相等，或已知两边的夹角对应相等即可证明三角形全等；
（2）利用全等三角形的判定方法，结合条件证明即可．
【详解】
解：（1）∵BE=CF，
∴BC=EF，且AB=DE，
∴可添加AC=DF，利用SSS来证明三角形全等，
故答案为：AC=DF；
（2）证明：∵BE=CF，
∴BC=EF，且AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．
25．（2020·绍兴市上虞区实验中学）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BC的异侧，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠BFD＝150°，求∠ACB的度数．

【答案】（1）见解析；（2）30°
【分析】
（1）根据，可以得到，然后根据题目中的条件，利用全等三角形的判定即可证明结论成立；
（2）根据邻补角互补和全等三角形的性质可以得到的度数．
【详解】
解：（1）证明：，
，
，
在和中，
，
；
（2），，
，
由（1）知，，
，
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
26．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）在中，，以为一边向外作等边三角形，点E为的中点，连接．

（1）证明：；
（2）探索与满足怎样的数量关系时，四边形是平行四边形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）AC＝AB
【分析】
（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE＝AB＝AE，再根据等边三角形的性质可得AD＝CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE＝∠CDE＝30°，再有∠DCB＝150°可证明DE∥CB；
（2）当AC＝AB或AB＝2AC时，四边形DCBE是平行四边形．根据（1）中所求得出DC∥BE，进而得到四边形DCBE是平行四边形．
【详解】
解：（1）证明：连结CE．
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴CE＝AB＝AE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD＝CD．
在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE＝30°．
∵∠DCB＝150°，
∴∠EDC+∠DCB＝180°．
∴DE∥CB．
（2）当AC＝AB或AB＝2AC时，四边形DCBE是平行四边形，
理由：∵AC＝AB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∵∠DCB＝150°，
∴∠DCB+∠B＝180°，
∴DC∥BE，
又∵DE∥BC，
∴四边形DCBE是平行四边形．

【点睛】
此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．
27．（【新东方】金华初中数学初二下【00007】）已知：如图，．

（1）求证：；
（2）请直接判断与的位置关系．
【答案】（1）见详解；（2）AE∥CF，理由见详解
【分析】
（1）证得DF＝BE，可证明△ABE≌△CDF（SSS）．
（2）由全等三角形的性质得出∠AEB＝∠DFC，得出∠AEF＝∠EFC，则可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵DE＝BF，
∴DE−EF＝BF−EF．
即DF＝BE，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
（2）解：AE∥CF．
理由：∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠DFC，
∵∠AEB＋∠AEF＝∠DFC＋∠EFC＝180°，
∴∠AEF＝∠EFC，
∴AE∥CF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
28．（【新东方】【温州】【初三上】【数学】【00063】）我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，如图1，就是格点三角形．


（1）在图2中，有D、E两个格点，再找一个格点P，使所成的与相似．
（2）在图3中，有D、E两个格点，再找一个格点P，使所成的满足．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用勾股定理求出相应边，根据相似三角形的性质画图即可；
（2）利用相似三角形的性质构造△DPH，再构造≌，得到∠DPE即可．
【详解】
解：（1）如图2所示，由勾股定理得：

，，
，，
，
如图1所示，由勾股定理得：

，，，
∵，，，
，，
∴，，
即，，
∴图2中点，即为所求．
（2）如图3所示，由勾股定理得：

，，
，，
，
∴，，
在和中，
，
∴≌，
∴，
又，，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴中，，
故格点P即为所求．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是利用相似三角形的性质：对应边成比例得到相应长度的线段．
29．（2022·浙江九年级一模）某校为丰富学生的业余生活，开展风筝制作比赛，小明制作的风筝外形是四边形，其中．

（1），求的度数；
（2）若．求的长．（参考数据：，，，）
【答案】（1）；（2）120cm
【分析】
（1）根据全等三角形的对应角相等即可解决问题．
（2）设交于点，在中，求出，在中求出即可解决问题．
【详解】
解：（1）在和中，
，
∴，
∴．
（2）设交于点．

∵，
∴垂直平分线段，，
在中，，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查锐角三角函数，全等三角形的判定、正确利用锐角三角函数进行边的计算是关键．
30．（【新东方】【2022.6.16】【omo】【初三下】【数学00094】）圆规是常用的作图工具．如图1，圆规的两脚，张角．

（1）如图2，当时，所作圆的半径是多少？（精确到，其中，，）．
（2）如图3，按尺规作图的要求作的角平分线，
①该作图方法的理论依据是（ ）
A.利用角平分线的性质；B.利用三边对应相等构造全等三角形
C.角平分线性质的逆用；D.利用两边及其夹角对应相等构造全等三角形
②连结，，若，，求的度数．
【答案】（1）4.1cm；（2）①B；②90°
【分析】
（1）如图2中，过点作于．解直角三角形求出即可．
（2）①利用全等三角形的判定解决问题即可；②连接，利用等边三角形的判定和性质以及勾股定理的逆定理证明即可．
【详解】
解：（1）如图2中，过点作于．

，，
，，
，
，
，
的半径为．
（2）①如图3中，，，，
，
，
故选B．
②如图3中，连接．

，，
是等边三角形，
，，
．
设，则，
，
．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
31．（2022·浙江湖州市·八年级期末）定义：我们把对角线长度相等的四边形叫做等线四边形．
（1）尝试：如图1，在的正方形网格图形中，已知点、点是两个格点，请你作出一个等线四边形，要求、是其中两个顶点，且另外两个顶点也是格点；
（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（2）推理：如图2，已知与均为等腰直角三角形，，连结，，求证：四边形是等线四边形；
（3）拓展：如图3，已知四边形是等线四边形，对角线，交于点，若，，，．求的长．


【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据等线四边形的定义作图即可；
（2）连结，，根据与均为等腰直角三角形，得出结论证明出即可；
（3）分别以、为底作等腰三角形、，顶点均为点．
于是有，，，根据已知可以证明，再证明，是等边三角形，根据勾股定理的逆使用，得出，过点作于点，则，再利用勾股定理求解即可．
【详解】
（1）作图：答案不唯一，画出一幅图即可．


（2）证明如图2，连结，．
与均为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
四边形是等线四边形．

（3）解：如图3，分别以、为底作等腰三角形、，顶点均为点．
于是有，，，
，

，

是等边三角形．
同理，也是等边三角形．
，．
，

，
．
过点作于点，则．
，，
由勾股定理算得，．

【点睛】
本题考查了等线四边形的定义、三角形全等的判定与性质、等边三角形、勾股定理、解题的关键是：掌握相关知识点后，需要理解等线四边形的定义，添加辅助线来求解．