专题02变换思想课之坐标与图形变化综合专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（浙教版）

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专题02变换思想课之坐标与图形变化综合专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．（2022·浙江八年级期末）如图，∠AOB＝45º，∠AOB内有一定点P，且OP＝10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若ΔPQR周长最小，则最小周长是（）

A．10 B． C．20 D．
【答案】B
【解析】
如图,作点P关于OA的对称点,关于OB的对称点,

连接与OA、OB分别相交于点Q、R，
所以,PQ=Q,PR=R，
所以,△PQR的周长=PQ+QR+PR=Q+QR+R=，
由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，
连接O、O,则∠AOP=∠AO,O=OP,∠BOP=∠BO,O=OP，
所以,O=O=OP=10,∠O=2∠AOB=2×45°=90°，
所以,△O为等腰直角三角，
所以, =O=10，
即△PQR最小周长是10.
故选B.
点睛：本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于作辅助线得到与△PQR周长相等的线段．
2．（2022·浙江）已知点关于x轴的对称点和点关于y轴的对称点相同，则点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y）∴P（-1-2a，5）关于x轴的对称点的坐标是（-1-2a，-5），Q（3，b）关于y轴的对称点的坐标是（-3，b），因而就得到关于a，b的方程，从而得到a，b的值．则A（a，b）关于x轴对称的点的坐标就可以得到．
【详解】
∵P（-1-2a，5）关于x轴的对称点的坐标是（-1-2a，-5），
Q（3，b）关于y轴的对称点的坐标是（-3，b）；
∴-1-2a=-3，b=-5；
∴a=1，
∴点A的坐标是（1，-5）；
∴A关于x轴对称的点的坐标为（1，5）.
故选B．
【点睛】
本题比较容易，考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．
3．（2022·浙江九年级专题练习）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】
连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
【详解】
解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
4．（2022·浙江九年级期末）如图，在中，，垂足为D，与关于直线AD对称，点的B对称点是，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由三角形内角和定理，得到，由轴对称的性质，得到，根据外角的性质即可得到答案．
【详解】
解：在中，，
∴，
∵与关于直线AD对称，
∴，
∴；
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的进行角度的计算．
5．（2022·浙江九年级专题练习）点A（3，4）关于x轴的对称点的坐标为（　　）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3）
【答案】A
【分析】
利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y），得出即可．
【详解】
点A（3，4）关于x轴对称点的坐标为：（3，-4）．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
6．（2022·杭州育才中学九年级二模）已知，点A（m，﹣3）与点B（2，n）关于x轴对称，则m和n的值是（　　）
A．2，3 B．﹣2，3 C．3，2 D．﹣3，﹣2
【答案】A
【分析】
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求出m、n的值．
【详解】
解：∵A（m，-3）与点B（2，n）关于x轴对称，
∴m=2，n=3．
故选：Ａ．
【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决此类题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7．（2022·浙江九年级月考）如图，将一颗小星星放置在平面直角坐标系中第二象限内的甲位置，先将它绕原点旋转到乙位置，再将它向上平移个单位长到丙位置，则小星星顶点在丙位置中的对应点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据图示可知A点坐标为（-3，1），它绕原点O旋转180°后得到的坐标为（3，-1），根据平移“上加下减”原则，向上平移2个单位得到的坐标为（3，1）．
【详解】
解：根据图示可知A点坐标为（-3，1）
根据绕原点O旋转180°横纵坐标互为相反数
∴旋转后得到的坐标为（3，-1）
根据平移“上加下减”原则
∴向下平移2个单位得到的坐标为（3，1）
故选C．
【点睛】
本题考查平面直角坐标系中点的对称点的坐标，掌握与原点对称和平移原则是解题的关键．
8．（2022·杭州育才中学九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将先沿轴翻折，再向上平移2个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据轴对称的性质和平移规律求得即可．
【详解】
解：由坐标系可得B（﹣3，1），将△ABC先沿y轴翻折得到B点对应点为（3，1），再向上平移2个单位长度，点B的对应点B'的坐标为（3，1+2），
即（3，3），
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣对称和平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．


二、填空题
9．（2020·浙江）平面直角坐标系中，点，点在x轴上运动，则的最小值是_________．
【答案】．
【分析】
根据题意先做点A关于x轴的对称点，求出坐标，连结A′B，交x轴于C，用勾股定理求出A′B即可．
【详解】
解：如图

根据题意做A点关于x轴的对称点A＇,连结A′B，交x轴于C，
=A′P+BP≥A′B ，
得到A＇(-4，-2)，
当点P与C点重合时，PA+PB最短，点B（2，4）
由勾股定理A′B=，
的最小值为：．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了点关于直线的对称，两点之间线段最短，勾股定理的应用，正确转化的值最小是解题的关键．
10．（2022·浙江）以A（﹣2，7），B（﹣2，﹣2）为端点的线段上任意一点的坐标可表示为（﹣2，y）（﹣2≤y≤7）．现将这条线段水平向右平移7个单位，所得图形上任意一点的坐标可表示为_____．
【答案】（﹣2≤y≤7）．
【分析】
根据平移的特点可知，向右平移横坐标变化，纵坐标不变可得解；
【详解】
A（﹣2，7），B（﹣2，﹣2）向右平移7个单位可得，，
∴所得图形上任意一点的坐标可表示（﹣2≤y≤7）．
故答案是：（﹣2≤y≤7）．
【点睛】
本题主要考查了图形的平移，准确分析计算是解题的关键．
11．（2022·浙江八年级期末）将点P（﹣2，﹣3）向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是_____．
【答案】（﹣5，﹣1）
【分析】
让P的横坐标减3，纵坐标加2即可得到点Q的坐标．
【详解】
解：根据题意，点Q的横坐标为：﹣2﹣3＝﹣5；纵坐标为﹣3＋2＝﹣1；
即点Q的坐标是(﹣5，﹣1)．
故答案为：(﹣5，﹣1)．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-平移，用到的知识点为：左右平移改变点的横坐标，上下平移改变点的纵坐标；
12．（2022·浙江九年级期末）如图，在直角坐标系中，正方形的边在轴上，点，．现固定点在轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上的点，则点的对应点的坐标为_____．

【答案】
【分析】
由已知条件得到，AO＝2，根据勾股定理得到OD′，便可得到顶点的坐标，再由坐标平移的规律即可得出点坐标．
【详解】
解：∵A（﹣2，0），B（3，0），
∴OA＝2，OB＝3，
∴AB＝5，
∵在正方形ABCD中，，
∴，
∵，，
∴；
故答案为：
【点睛】
本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形求出出长 是解题的关键．

三、解答题
13．（2020·浙江）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是．

（1）将关于轴对称得到，画出，并写出点的坐标；
（2）把平移，使点平移到，请作出平移后的，并写出的坐标；
（3）已知中有一点，求中的对应点的坐标．
【答案】（1）图见解析，点B1的坐标为（-2，4）；（2）图见解析，A2的坐标为（2，1）；（3）D2的坐标为（a+5，-b）．
【分析】
（1）分别作出点A、B、C关于x轴对称得到的对应点，再顺次连接可得；
（2）根据B1（-2，4）和，可得平移方式为向右平移5个单位，分别作出△A1B1C1向右平移5个单位所得对应点，再顺次连接可得；
（3）根据图形的变换方式即可得出D点的变换方式，从而可得点的坐标．
【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为（-2，4）；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2的坐标为（2，1）；
（3）△A2B2C2中的对应点D2的坐标为（a+5，-b）．
【点睛】
本题考查坐标与图形变换—轴对称和平移．理解点的变换和对应图形变换的关系是解题关键．
14．（2022·浙江八年级期末）如图，在8×8网格纸中，每个小正方形的边长都为1．


（1）请在网格纸中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（-4，4），（-1，3），并写出点B的坐标为 ；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1点的坐标；
（3）在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标
【答案】（1）作图见解析：B（-2，1）；（2）作图见解析：B1（2，1）；（3）所作图形如图所示，P（0，2）．
【详解】
试题分析：（1）根据已知的坐标可画出图形，然后直接写出坐标 ；
（2）根据对称性画图，然后写出坐标；
（3）根据对称性和两点之间，线段最短，可直接由图形得出坐标．
试题解析：（1）B（-2，1）；
（2）B1（2，1）；
（3）P（0，2）

考点：轴对称图形，平面直角坐标系
15．（2020·杨陵区第四初级中学八年级期中）如图，在直角坐标平面内，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，﹣2）．
（1）图中点C关于x轴对称的点D的坐标是　 　．
（2）如果将点B沿着与y轴平行的方向向上平移5个单位得到点B1，那么A、B1两点之间的距离是　 　．
（3）求三角形ACD的面积．

【答案】（1）；（2）3；（3）6.
【分析】
（1）先求出点C的坐标，根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标；
（2）根据点的平移：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得B1点坐标，进而得到答案；
（3）首先确定高和底，然后再计算面积即可．
【详解】
（1）点C的坐标为（3，﹣2），则关于x轴对称的点D的坐标是（3，2），
故答案为：（3，2）；
（2）∵点B的坐标是（﹣3，﹣2），
∴将点B沿着与y轴平行的方向向上平移5个单位得到点B1（﹣3，3），
∵点A的坐标是（0，3），
∴A、B1两点之间的距离是：3，
故答案为：3；
（3）如图，△ACD的面积为：×4×3＝6．

【点睛】
此题主要考查了坐标与图形变化——平移，关于x轴对称的点的坐标，平面直角坐标系，以及三角形的面积，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律．
16．（2022·浙江九年级专题练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为、．

（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）点是边BC上任意一点，三角形经过平移后得到，点P的对应点为．
①直接写出点的坐标 ；
②画出平移后的．
（3）在y轴上是否存在点P，使的面积等于面积的，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析；（3）存在，或．
【分析】
（1）根据A、C的坐标分别为、先确定原点O，即可画图；
（2）①根据的对应点确定平移方向和距离，即可求解；
②根据平移的方向和距离确定A、B、C的对应点，然后连线即可；
（3）再网格图中利用割补法先求得的面积，然后根据题意即可求解．
【详解】

解：（1）如图所示；
（2）①∵，
∴先向右平移6格，再向下平移2格，得到
∵
∴，
故答案是：(4，-1)；
②如图所示；
（3）
∴
∴
当点P在O点上方时：；
当点P在O点下方时：．
【点睛】
此题主要考查平移的性质，正确理解平移中，点的坐标变化特点是解题关键．
17．（2022·浙江七年级期中）与在平面直角坐标系中的位置如图所示：

（1）分别写出下列各点的坐标：A_____，B_______，C________；
（2）是由经过怎样的平移得到的？
（3）若点是内部一点，求内部的对应点的坐标；
（4）求的面积．
【答案】（1）（1，3）；（2，0）；（3，1）；（2）见解析；（3）（x-4，y-2）；（4）2
【分析】
（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）根据对应点A、A′的变化写出平移方法即可；
（3）根据平移规律逆向写出点P′的坐标；
（4）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【详解】
解：（1）A（1，3）； B（2，0）；C（3，1）；
（2）先向左平移4个单位，再向下平移2个单位；
或：先向下平移2个单位，再向左平移4个单位；
（3）由题意可得：
P′（x-4，y-2）；
（4）△ABC的面积=2×3-×1×3-×1×1-×2×2
=6-1.5-0.5-2
=2．
【点睛】
本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，根据对应点的坐标确定出平移的方法是解题的关键．
18．（【新东方】【2022.5.20】【TZ】【初一下】【数学】【TZ0009】）如图，．将向右平移3个单位长度，然后再上平移1个单位长度，可以得到．

（1）的顶点的坐标为________；顶点的坐标为_______．
（2）求的面积．
（3）已知点P在x轴上，以为顶点的三角形面积为3，则P点的坐标为_____．
【答案】（1）（0，3），（4，0）；（2）5；（3）（2，0）或（6，0）
【分析】
（1）利用点平移的坐标变换规律写出△A1B1C1三个顶点的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积得到△A1B1C1的面积；
（3）设P点得坐标为（t，0），利用三角形面积公式，即可得到P点坐标．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，顶点A1的坐标为（0，3）；顶点C1的坐标为（4，0）；

（2）计算△A1B1C1的面积=4×4-×2×4-×2×1-×4×3=5；
（3）设P点坐标为（t，0），
∵以A1、C1、P为顶点得三角形得面积为3，
∴×3×|t-4|=3，
解得：t=2或t=6，
即P点坐标为（2，0）或（6，0）．
【点睛】
本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
19．（2022·浙江七年级期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，己知

（1）请在图中所示的平面直角坐标系中作出；
（2）把平移到，使点A的对应点的坐标为，请你作出．（点、点分别是顶点B、C的对应点）．
（3）在如图所示的网格中，若与的面积相等，则满足条件的不与A重合的格点P（横纵坐标均为整数）共有_______个．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）13
【分析】
（1）根据A、B、C三点坐标描点，再依次连接即可；
（2）根据点A和点A′的坐标变化规律，得到点B和点C的对应点，再依次连接；
（3）在BC的两侧作BC的平行线，且到BC的距离等于A点到BC的距离，则这两直线上的格点为P点．
【详解】
解：（1）如图，即为所画；
（2）如图，即为所画；

（3）如图，可知满足条件的点P有13个．
【点睛】
本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离；作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
20．（2022·浙江七年级期末）三角形ABC经过平移后得到三角形A1B1C1，已知点A（﹣3，3），其对应点为A1（3，1），三角形ABC经过平移后得到三角形A1B1C1，点P的对应点为P1（a+6，b﹣2）．

（1）直接写出点B1、C1的坐标；
（2）P（a，b）是三角形ABC的边AC上任意一点，请写出平移三角形A1B1C1内对应点P1的坐标；
（3）将三角形ABC向下平移2个单位，再向右平移1个单位，得到三角形A2B2C2，在图中画出A2B2C2．
【答案】（1）B1（1，-1），C1（4，-2）；（2）P1（a+6，b-2）；（3）见解析
【分析】
（1）利用点A与A1点的坐标特征确定平移的规律，然后利用此平移规律写出点B1、C1的坐标；
（2）与（1）相同的方法求解；
（3）利用点平移的坐标变换规律写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【详解】
解：（1）点B1的坐标为（1，-1），点C1的坐标为（4，-2）；
（2）点P的对应点为P1（a+6，b-2）；
（3）如图，三角形A2B2C2为所作．

【点睛】
本题考查了作图-平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．