专题02 定义与命题重难点专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（浙教版）

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专题02定义与命题重难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．（2020·浙江九年级二模）能说明命题“若 a≥b，则 a＞0”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝﹣3 B．a＝﹣2，b＝1 C．a＝﹣2，c＝﹣1 D．a＝2，b＝1。
【答案】A
【分析】
写出a、b的值满足a≥b，不满足a＞0即可．
【详解】
解：因为a=-2，b=-3时，满足a≥b，不满足a＞0，
所以a=-2，b=-3可作为说明命题“若a≥b，则a＞0”是假命题的反例．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
2．（2020·浙江八年级期中）下列选项，可以用来证明命题“若a2b2，则ab”是假命题的反例是（　　）
A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝2，b＝1 C．a＝﹣3，b＝2 D．a＝﹣2，b＝3
【答案】C
【分析】
据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，直接利用选项中数据代入求出答案．
【详解】
解：当a＝3，b＝﹣2时，a2＞b2，则a＞b，故原命题是真命题；
当a＝2，b＝1时，a2＞b2，则a＞b，故原命题是真命题；
当a＝﹣3，b＝2时，a2＞b2，则a＜b，故原命题是假命题，符合题意；
当a＝﹣2，b＝3时，a2＜b2，则a＜b，故原命题是真命题．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法，正确代入数据是解题关键．
3．（2020·浙江台州市·七年级期末）下列命题中，是假命题的为(　　)
A．两直线平行，同旁内角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】A
【分析】
根据平行线的性质对A、B进行判断；根据平行线的判定方法对C、D进行判断．
【详解】
A．两直线平行，同旁内角互补，所以A选项为假命题；
B．两直线平行，内错角相等，所以B选项为真命题；
C．同位角相等，两直线平行，所以C选项为真命题；
D．同旁内角互补，两直线平行，所以D选项为真命题．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4．（2020·浙江八年级月考）下列命题中，真命题的个数是 （ ）
①对顶角相等；
②两点之间，线段最短；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据对顶角的定义、点与直线的关系及平行线直接进行排除即可．
【详解】
①对顶角相等，故正确；②两点之间，线段最短，故正确；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；所以正确的有①②③；
故选C．
【点睛】
本题主要考查命题，熟练掌握各个概念是解题的关键．
5．（2019·乐清市英华学校八年级期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．经过两点有且只有一条直线
B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半
C．平行四边形的对角线相等
D．圆的切线垂直于经过切点的半径
【答案】C
【分析】

【详解】
选项A，经过两点有且只有一条直线，正确；
选项B，三角形的中位线平行且等于第三边的一半，正确；
选项C，平行四边形的对角线相等，错误．矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等．
选项D，圆的切线垂直于经过切点的半径，正确．
故答案选C．
6．（2020·宁波市镇海区仁爱中学八年级期中）对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举反例，正确的反例是（　　）
A．a＝﹣1，b＝0 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝2
【答案】C
【分析】
根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【详解】
用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2是假命题的反例可以是：a＝−1，b＝−2，
因为−1＞−2，但是（−1）2＜（−2）2，
所以C正确；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
7．（2022·浙江八年级期末）为说明命题若“若，则．”是假命题，所列举反例正确的是（ ）
A．， B． ，
C．， D．，
【答案】B
【分析】
假命题举反例说明即可．
【详解】
解：“若a＞b，则a2＞b2．”是假命题，
反例，a=-2，b=-6，
-2＞-6，
而（-2）2＜（-6）2，
∴“若a＞b，则a2＞b2．”是假命题，
故选：B．
【点睛】
本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2020·浙江八年级其他模拟）下列语句中，是命题的为（ ）
A．对顶角相等吗？ B．你要仔细审题哦！
C．两个锐角的和大于． D．在线段上取一点．
【答案】C
【分析】
根据命题的定义对各个选项进行分析从而得到答案．
【详解】
解：A、不能判断其真假，不构成命题，故本选项错误；
B、不能判断其真假，不构成命题，故本选项错误；
C、是，因为能够判断真假，故本选项正确；
D、不能判定真假且不是陈述句，不构成命题，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了学生对命题与定理的理解及掌握情况，比较简单．
9．（2020·浙江八年级期末）下列命题中，真命题有（ ）
①有一个角为60°的三角形是等边三角形；②底边相等的两个等腰三角形全等；③有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形全等；④一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
根据题目中的各个说法可以判断其是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：在三角形中，三个角是60°，50°，70°，故①错误；
一个等腰三角形的三边长为2，3，3，另一个等腰三角形的三边长为2，4，4，故②错误；
如果两个等腰三角形的腰相等，一个等腰三角形的底角是40°，一个等腰三角形的顶角是40°，则这两个三角形不是全等的，故③错误；
一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，故④正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查命题和定理，解题的关键是明确命题和定理的定义，可以判断一个命题的真假．
10．（2019·义乌市荷叶塘初级中学八年级月考）下列选项中a的取值，可以证明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【详解】
若a2＞16，则a＞4或者a-0.5，故不能说明命题“当为实数时，则”是假命题，不符合题意；
D.当a＝0.5时，a2＝0.25，则a2＜a，能说明命题“当a为实数时，则a2≥a”是假命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
33．（2022·浙江杭州市·）能说明命题“对于任意实数，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
写出一个a的值，不满足即可．
【详解】
命题“对于任何实数a，”是假命题，反例要满足a≤0，如a=-2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
34．（【新东方】初中数学768【2019年】【初三上】）给出下列命题：①平分弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧；②平面上任意三点能确定一个圆；③图形经过旋转所得的图形和原图形全等；④三角形的外心到三个顶点的距离相等；⑤经过圆心的直线是圆的对称轴.正确的命题为（ ）
A．①③⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①②⑤
【答案】C
【分析】
①垂径定理的逆定理，注意有否有缺少什么；②如果三点共线；③旋转的性质；④三角形的外心的性质；⑤圆的性质.
【详解】
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧，原命题错误；
②三点共线时不能确定一个圆，原命题错误；
③由旋转的性质可知，原命题正确；
④由三角形的外心的性质，原命题正确；
⑤由圆的性质，原命题正确；
本题的答案是：C.
【点睛】
考查垂径定理的逆定理、旋转的性质、三角形的外心的性质、圆的性质.


二、填空题
35．（2020·浙江八年级月考）我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，那么“等边三角形一定是奇异三角形”是___________命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】
根据题中所给的奇异三角形的定义直接进行判断即可；
【详解】
设等边三角形的一边为a，则a2+a2=2a2，两边平方和等于第三边平方的2倍
∴符合“奇异三角形”的定义．
∴“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；
故答案为：真；
【点睛】
本题考查的是命题的真假，能正确理解题意，是解题的关键．
36．（2020·浙江八年级期中）可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是m＝_____．
【答案】14（答案不唯一）
【分析】
m的取值满足是2的倍数但不是4的倍数，据此解答即可．
【详解】
解：可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是m＝14，
故答案为：14（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了举例说明一个命题是假命题，属于基本题型，正确理解题意是关键．
37．（2020·新昌县拔茅中学）将命题“若，则”改写成“如果…那么…”的形式，_____________，________________________．
【答案】如果 那么
【分析】
先找出命题的题设和结论，然后根据“如果”引出的是题设，“那么”引出的是结论即可改写命题．
【详解】
解：将命题“若，则”改写成“如果…那么…”的形式为：如果，那么
故答案为：如果；那么．
【点睛】
此题考查的是改写命题，掌握“如果”引出的是题设，“那么”引出的是结论是解题关键．
38．（2020·浙江宁波市·八年级期中）写出一个能说明命题“如果，则且”是假命题的反例：_______．
【答案】答案不唯一 ，如a=-1,b=-3
【分析】
验证一个命题是假命题，只需举反例即可．
【详解】
如果，可以推出，假命题的反例：，
故答案为：答案不唯一 ，如
【点睛】
本题考查假命题问题，掌握命题，真命题与假命题的区别与联系，会举反例证明叫命题是解题关键．
39．（2020·瑞安市安阳实验中学八年级月考）命题“”是_________命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【分析】
根据实数比较大小的原则求解即可．
【详解】
当a为负数时，
故答案为：假．
【点睛】
本题考查了命题的真假判定，实数的比较大小，重点是掌握实数比较大小的运算法则．
40．（2020·浙江绍兴市·）命题“对顶角相等”改写成如果_____________________，那么____________________．
【答案】两个角是对顶角 这两个角相等
【分析】
命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【详解】
解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等．
【点睛】
本题主要考查了将原命题写成题设与结论的形式，“如果”后面是命题的题设，“那么”后面是命题的结论，解决本题的关键是找到相应的题设和结论，比较简单．
41．（2022·台州市书生中学七年级月考）把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为：为_____．
【答案】如果两个角是同位角，那么这两个角相等
【分析】
分清题目的已知与结论，即可解答．
【详解】
解：命题“同位角相等”写成“如果…，那么…”的形式：如果两个角是同位角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．
【点睛】
本题主要考查了命题的定义，正确理解定义是关键．
42．（2020·浙江八年级期末）命题“绝对值相等的两个数相等”改写成“如果……那么……”的形式________．
【答案】如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．
【分析】
根据命题的构成，如果后面是条件，那么后面是结论，解答即可；
【详解】
解：命题“绝对值相等的两个数相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．
故答案为：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．
【点睛】
本题主要考查了命题与定理，根据学过的性质准确找出命题的条件和结论是正确改写的关键．
43．（2019·浙江宁波市·八年级期中）“两个无理数的和为无理数”是_____命题，举反例：____________．
【答案】假 和
【分析】
判断一个命题是假命题时举出一个反例即可．
【详解】
解：两个无理数的和为无理数是假命题，如，
故答案为：假；和．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，在判断一个命题为假命题时，只需举出一个反例，难度不大．
44．（【新东方】初中数学1304【初二上】）用来证明命题“如果a，b是有理数，那么”是假命题的反例可以是_________．
【答案】a=-1，b=3
【分析】
根据有理数的加法和绝对值的性质，只要a、b异号即可．
【详解】
解：a=-1，b=3时|a+b|=2≠|a|+|b|=4，
故| a=-1，b=3时“|a+b|=|a|+|b|”是假命题．
（答案不唯一，只要a、b是异号两数即可）．
故答案为：a=-1，b=3．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题主要利用了有理数的加法和绝对值的性质．
45．（2019·浙江杭州市·）请写出一个能说明命题“若为任意实数，则”是一个假命题的反例：_________．
【答案】a=1，b=-2
【分析】
作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求举出反例即可．
【详解】
∵当a=1，b=-2时，，，
∴，
∴a=1，b=-2能作为证明原命题是假命题的反例，
故答案为：a=1，b=-2
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
46．（2020·浙江高照实验学校八年级月考）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式是__________________.
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】
命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【详解】
解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点睛】
本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
47．（2020·浙江杭州市·九年级期中）用一组，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是____， ____
【答案】1（答案不唯一） -2（答案不唯一）
【分析】
举出一个反例：a=1，b=-2，说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的即可．
【详解】
解：当a=1，b=-2时，满足a＞b，
但是a2=1，b2=4，a2＜b2，
∴命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的．
故答案为：1、-2．（答案不唯一）
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

三、解答题
48．（2022·浙江嘉兴市·九年级二模）已知，和中，，．试探究：

（1）如图1，与的关系是______；
（2）如图2，写出与的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补
【分析】
（1）两直线平行，同位角相等，进行等量代换即可．

（2）两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，等量代换即可．
（3）观察第一问和第二问的条件和结果，就可以得出真命题．
【详解】
证明：如下图：

设DE交BC于点G
∵
∴
又∵
∴
∴
（2）如下图：设BC与DE交于点G

∵，
∴
又∵
∴，
∵
∴．
（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，能够根据直线平行，找到角的等量关系是解题的切入点．
49．（【新东方】初中数学1051【2020年】【初一下】）如图，有如下四个论断：①，②，③平分，④平分．
（1）若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个数学命题，其中正确的有哪些？不需说明理由．
（2）请你在上述正确的数学命题中选择一个进行说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
解：（1）如果①②③，那么④，正确；
如果①②④，那么③，正确；
如果①③④，那么②，正确；
如果②③④，那么①，正确；
（2）已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，
求证：EF平分∠BED．
证明：∵AC∥DE，
∴∠BCA=∠BED，
即∠1+∠2=∠4+∠5，
∵DC∥EF，
∴∠2=∠5，
∵CD平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠5，
∴EF平分∠BED．

【点睛】
本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
50．（2020·浙江七年级期中）思考探究再回答：
定义一种对于三位数（a、b、c不充全相同）的“F运算”：重排的三位数上的数字，计算所得最大三位数的差（允许百位数为0）例如时，则
（1）579经过三次“F运算”得______；
（2）假设中，则经过一次“F运算”得_______;（用代数式表示）
（3）猜想：任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个定值______，请验证你的猜想．
【答案】（1）495；（2）99（a−c）；（3）495
【分析】
（1）根据“F运算”的定义得到579经过三次“F运算”的结果即可；
（2），，相减即可求解；
（3）设这个三位数中三个数字为a≥b≥c，且a≥c＋1，则“F运算”有＝99（a−c）＝100（a−c−1）＋10×9＋（10＋c−a），找出规律解决问题．
【详解】
解：（1）①975−579＝396；②963−369＝594；③954−459＝495；
故答案是：495；
（2）由题意得：，，
∴经过一次“F运算”得：（100a＋10b＋c）−（100c＋10b＋a）
＝100a＋10b＋c−100c−10b−a
＝99a−99c
＝99（a−c），
故答案是：99（a−c）；
（3）不妨设这个三位数中三个数字为a≥b≥c，且a≥c＋1，
则“F运算”有＝99（a−c）＝100（a−c−1）＋10×9＋（10＋c−a），
因此所得的三位数中必有一个9，而另外两个数字之和为9；
共有990，981，972，963，954五种情况；
以990为例得，990−099＝891，
981−189＝792，
972−279＝693，
963−369＝594，
954−459＝495，
…
由此可知最后得到495数就会循环．
故答案为：495．
【点睛】
考查了整数的十进制表示法，主要从数的变化中得到第一次变化后所得到的数，由此找出规律得出问题的解．设出这三位数，根据题意列出算式是解答本题的关键．