专题1.39 角的角平分线的性质（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

这是一份专题1.39 角的角平分线的性质（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版），共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题1.39 角的角平分线的性质（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（       ）

A．24 B．27 C．32 D．36
2．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（       ）个

A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的为（       ）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
4．如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（       ）

A． B． C． D．
5．如图，BD平分∠ABC，F，G分别是BA，BC上的点（），，则∠BFE与∠BGE的数量关系一定满足的是（       ）

A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，∠A=90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD=4，△CDE周长为12，则AC的长是（       ）

A．14 B．8 C．16 D．6
7．如图，点A、C在∠FBD的两条边BF、BD上，BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，连接AE，若∠BEC＝35°，则∠FAE的度数为（       ）

A．35° B．45° C．55° D．65°
8．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（　　）

A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，连接AE，则∠AEC的度数是（        ）

A．45° B．40° C．35° D．30°
10．如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（       ）的交点．

A．三条角平分线 B．三条中线
C．三条高的交点 D．三条垂直平分线
11．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（       ）

A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
12．如图，从内一点 出发，把剪成三个三角形(如图1)，边放在同一直线上，点都落在直线上（如图2），直线，则点是的（       ）

A．三条角平分线的交点
B．三条高的交点
C．三条中线的交点
D．三边中垂线的交点
13．如图，在中，，以点C为圆心，任意长度为半径画弧，交AC的延长线和BC于点D、E，分别以D、E为圆心，大于的长为半径画弧交于点F，连接CF，若，则的度数是（       ）

A．25° B．30° C．40° D．50°
14．如图是用直尺和圆规作已知角∠AOB平分线OP的示意图，仔细观察，根据三角形全等的知识，说明画出OP的依据是（       ）

A．边角边，全等三角形对应角相等
B．角边角，全等三角形对应角相等
C．边边边，全等三角形对应角相等
D．斜边直角边，全等三角形对应角相等
15．如图①，已知，用尺规作它的角平分线．
如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线，于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在内部交于点P；
第三步；画射线，射线即为所求．

下列叙述不正确的是（       ）
A． B．作图的原理是构造三角形全等
C．由第二步可知， D．的长
二、填空题
16．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有________（填写序号）．

17．如图，ΔABC的面积为8 cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P， 则ΔPBC的面积为________．

18．如图将一副三角板按如图所示放置，，，，则下列结论中：
①；②若平分，则有；③若平分，则有；④若，则；其中结论正确的选项有________．（填序号）

19．如图所示，在中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为 ________．

20．如图，，若，则到的距离为_________．

21．如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE＝_____°．

22．如图，在和中，，，直线交于点M，连接．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的是___________（填序号）．

23．如图，点P是内一点，，，垂足分别为E、F，若，且，则的度数为_________°．

24．在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角 ∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝_____︒

25．如图，已知的周长是22，PB、PC分别平分和，于D，且，的面积是________．

26．在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=6、AC=8、AB=10，则点D到AB的距离为_______．
27．如图，的三边、、长分别是10、15、20，三条角平分线交于点，则等于__________．

28．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心、适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=4，AC=16，则△ACD的面积是______．

29．如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，﹣a＋8），则a＝_____．

30．如图，一块余料，，现进行如下操作：以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧在内部相交于点，画射线，交于点．连结、．若，则的度数为_____度．

三、解答题
31．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD的延长线于F．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若BC=8cm，DF=3cm，求CD的长．




32．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：FA平分∠BFE．





33．如图，AD是△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若DM＝DN，和的面积分别为36和50，求的面积．









34．小明的学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
(1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：；
(2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，求和的度数；
(3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点，使得，角平分线交于点．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点．若，求的度数．




35．已知，点C在的平分线上，点B、D分别在、上，连接、．
(1)如图1，若，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2，，郑么（1）中探究的结论是否成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由．




参考答案
1．C
【分析】
利用三角形的中线平分三角形的面积求得S△ABD=S△BDE=96，利用角平分线的性质得到△ACD与△ABD的高相等，进一步求解即可．
解：∵AD=DE，S△BDE=96，
∴S△ABD=S△BDE=96，
过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AB于点F，

∵AD平分∠BAC，
∴DG=DF，
∴△ACD与△ABD的高相等，
又∵AB=3AC，
∴S△ACD=S△ABD=．
故选：C．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．B
【分析】
①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．
②正确．证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解决问题．
③错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．
④错误，可以证明S四边形ABDE=2S△ABP．
⑤正确．由DH∥PE，利用等高模型解决问题即可．
解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC
∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°
∴∠APB=135°，故①正确
∴∠BPD=45°
又∵PF⊥AD
∴∠FPB=90°+45°=135°
∴∠APB=∠FPB
又∵∠ABP=∠FBP
BP=BP
∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF
在△APH和△FPD中

∴△APH≌△FPD（ASA）
∴PH=PD
∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正确
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD
∵∠HPD=90°
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD
∴HD∥EP
∴S△EPH=S△EPD
∴S△APH=S△AED，故⑤正确
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，故④不正确
若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH
∵DH∥BE
∴∠CDH=∠CBE=∠ABE
∴∠CDE=∠ABC
∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故③错误
故选B．
【点拨】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
3．B
【分析】
由SAS证明得出，，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作于G，于H，如图所示：则，由AAS证明（AAS），得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得出，，所以，而，故③错误；即可得出结论．
解：∵，
∴
即
在和中

∴（SAS）
∴，，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：，
∴，②正确；
作于G，于H，如图所示：

则，
在和中

∴（AAS），
∴
∴平分，④正确；
∴
∴当时，平分，
假设
∵
∴，
∵平分
∴，
在和中

∴（ASA）
∴，
∵，
∴，
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选：B
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
4．A
【分析】
根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．
解：在中，的平分线交于点D，，
∴CD=DF=3，故B正确；
∵DE=5，
∴CE=4，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠DAF，
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE=5，故C正确；
∴AC=AE+CE=9，故D正确；
∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，
∴△BDF≌△DEC，       
∴BF=CD=3，故A错误；
故选：A．
【点拨】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
5．B
【分析】
分别作于点M、N，BD为的角平分线有，易证，进而有，进而可得到答案．
解：分别作于点M、N
∵BD为的角平分线
∴
∵
∴
∴
∴
故选：B．

【点拨】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作垂线构造全等三角形是解题的关键．
6．B
【分析】
根据角平分线的性质得到AE=DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠A=90°，
∴AE=DE，
∵△CDE的周长为12，CD=4，
∴DE+EC=8，
∴AC=AE+EC=8，
故选：B．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．C
【分析】
过点E作EH⊥BC，EG⊥AC，EM⊥AB，垂足分别为H、G、M，由三角形的角平分线的判定定理可得AE平分∠FAC，结合三角形外角的性质可求得∠BAC＝2∠BEC＝70°，由补角的定义可求解∠FAC的度数，再利用角平分线的定义可求解．
解：过点E作EH⊥BC，EG⊥AC，EM⊥AB，垂足分别为H、G、M，如图所示：

∵BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠EBD，∠ACD＝2∠ECD，EH＝EM，EH＝EG，
∴EG＝EM，
∴AE平分∠FAC，
∵∠ACD＝∠ABC+∠BAC，∠ECD＝∠EBC+∠BEC，
∴2∠ECD＝2∠EBD+∠BAC，2∠ECD＝2∠EBD+2∠BEC，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BEC＝35°，
∴∠BAC＝2×35°＝70°，
∵∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠FAC＝180°﹣70°＝110°，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAE＝∠FAC＝55°．
故选：C．
【点拨】本题主要考查角平分线的判定定理、性质定理及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的判定定理及性质定理、三角形外角的性质是解题的关键．
8．B
【分析】
过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，再根据角平分线的性质定理和判定定理，即可求解．
解：如图，过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，

∵△ABC的两个外角的平分线相交于点P，
∴PD=PF，PE=PF，
∴PD=PE，
∴点P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC．
故选：B
【点拨】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
9．D
【分析】
作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，根据角平分线的性质和判定得到AE平分∠FAG，求出∠EAB的度数，根据角平分线的定义求出∠ABE的度数，根据三角形内角和定理计算得到的度数，再计算出的度数即可．
解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，

∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴EF=EH，EG=EH，
∴EF=EG．
又EF⊥AC，EG⊥AB，
∴AE平分∠FAG，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAF=150°，
∴∠EAB=75°，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABH=120°，又BE平分∠ABD，
∴∠ABE=60°，
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠ABE=45°，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABD=120°，
∵CE是∠ACB的平分线，BE是∠ABC的外角平分线，
∴∠EBD=60°，∠BCE=45°，
∴∠CEB=60°-45°=15°．
∴
故选：D．
【点拨】题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意三角形内角和定理和角平分线的定义的正确运用．
10．A
【分析】
根据角平分线的性质即可得到探照灯的位置在角平分线的交点处，即可得到结论．
解：∵探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，
∴探照灯位置是△ABC的三条角平分线上，
故选：A．
【点拨】此题考查了角平分线的性质，数据角平分线的性质定理是解题的关键．
11．D
【分析】
到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看成三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．

【点拨】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．
12．A
【分析】
根据平行线的性质可得点O到三边的距离相等，点O是三角形三条角平分线的交点即可．
解：∵直线，
根据平行线性质知点O到BC距离，点O到AC距离，点O到BA距离相等，
∴点O到三边的距离相等
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
故选择A．
【点拨】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题关键．
13．C
【分析】
由题意得CF是∠BCD的角平分线，结合平行线、三角形外角可得∠A与∠B的关系，即可得到答案．
解：由题意得CF是∠BCD的角平分线，
∴∠BCF＝∠DCF，
又∵，
∴∠B＝∠BCF＝∠DCF，
又∵∠A＋∠B＝∠BCD
即∠A＋∠B＝2∠B
∴∠A＝∠B
∴∠B＝40°．
故选：C．
【点拨】本题考查三角形外角，角平分线、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
14．C
【分析】
结合题意，根据角平分线尺规作图、全等三角形的性质分析，即可得到答案．
解：根据题意，得：，
在和中

∴
∴，即
∴画出OP的依据是：边边边，全等三角形对应角相等
故选：C．
【点拨】本题考查了角平分线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线尺规作图、全等三角形的性质，从而完成求解．
15．D
【分析】
根据用尺规作图法画已知角的角平分线的基本步骤判断即可
解：A、∵以a为半径画弧，∴，故正确
B、根据作图步骤可知BD=BE，PD=PE，BP=BP，∴△BDP≌△BEP（SSS），故正确
C、∵分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在内部交于点P，∴，故正确
D、分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，其中，否则两个圆弧没有交点，故错误
故选：D
【点拨】本题考查用尺规作图法画已知角的角平分线及理论依据，熟练尺规作图的基本步骤是关键
16．①③④
【分析】
由角平分线的性质，平行的性质，三角形的性质等对结论进行判定即可．
解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故②错误；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故①正确；
过点作于，作于，连接，

在中，和的平分线相交于点，
，
；故④正确；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故③正确．
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了三角形内的有关角平分线的综合问题，一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也就是说，一个点只要在角的平分线上，那么这个点到该角的两边的距离相等．
17．
【分析】
延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
解：延长AP交BC于E，如图所示：

∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
在△APB和△EPB中
，
∴△APB≌△EPB（ASA），
∴S△APB=S△EPB，AP=PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=S△ABC=4cm2，
故答案为4cm2．
【点拨】本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S△PBC=S△PBE+S△PCE=S△ABC．
18．②③④
【分析】
①根据同角的余角相等得，但不一定得；②和③都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论.
解：①如图，，即；
，
故①不正确；
②平分
，

，
又，

；
故②正确；
③平分，

，
；
故③正确；
④，，
，，
，
，
，
又，
设与交于点，则，
，
，
．
故④正确．
故答案为②③④．

【点拨】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定．
19．3
【分析】
根据角平分线的性质，即角平分线上任意一点到角两边的距离相等计算即可；
解：∵在中，∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴，
∵，
∴；
故答案是3．
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质应用，准确计算是解题的关键．
20．4
【分析】
过P点作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质定理可得PE=PD，即可求解．
解：如图，过P点作PE⊥OB于E，
∵，PE⊥OB，
∴PE=PD=4，
即P到OB的距离是4，
故答案为：4．

【点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
21．23.5##
【分析】
首先作EM⊥BD、EN⊥BF、EO⊥AC垂足分别为M、N、O，再利用角平分线的性质得出BE为∠ABC的角平分线，即可求解．
解：作EM⊥BD、EN⊥BF、EO⊥AC垂足分别为M、N、O，如图所示，

∵AE、CE是∠DAC和∠ACF的平分线，
∴EM＝EO，EO＝EN，
∴EM＝EN，
∴BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABC＝23.5°．
故答案为：23.5．
【点拨】此题考查角平分线的性质：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，反之也是成立的．解题关键是利用角平分线的判定定理．
22．①②③
【分析】
由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OAC=∠OBD，AC=BD，①②正确； 由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，得出∠AMB=∠AOB=α，可得③正确； 作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，利用全等三角形的对应高相等得出OG=OH，由角平分线的判定方法得∠AMO=∠DMO，假设OM平分∠BOC，则可求出∠AOM=∠DOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以OA=OC，而OA＜OC，故④错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC， 即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC=∠OBD，AC=BD， 故①②正确；
由三角形的内角和定理得： ∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，
∵∠OAC=∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=α， ，故③正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，

△AOC≌△BOD，
∴结合全等三角形的对应高可得：OG=OH，
∴MO平分∠AMD，
∴∠AMO=∠DMO， 假设OM平分∠BOC，则∠BOM=∠COM，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠BOM=∠COD+∠COM， 即∠AOM=∠DOM，
在△AMO与△DMO中， ，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴OA=OD， ∵OC=OD，
∴OA=OC， 而OA＜OC，故④错误； 正确的个数有3个；
故答案为：①②③．
【点拨】本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键．
23．40
【分析】
根据角平分线的判定定理，可得 ，再由，可得 ，即可求解．
解：∵，，，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∴ ．
故答案为：40
【点拨】本题主要考查了角平分线的判定定理，直角三角形两锐角互余，熟练掌握再角的内部，到角两边距离相等的点再角平分线上是解题的关键．
24．25
【分析】
过点，分别作交于点，交于点，，交延长线于点，根据平分，平分，可得，，则有，即平分，根据，，利用外角的性质和角平分线的性质可得，根据平分，，可得，根据在和中， ，可得，据此求解即可．
解：如图示：

过点，分别作交于点，交于点，，交延长线于点，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴
在和中，
∴，
故答案是：25．
【点拨】本题考查了角平分线的判定于性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知角平分线的性质，三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解题的关键．
25．33
【分析】
连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理，可得PD=PE=PF=3，再根据三角形的面积等于三个小三角形的面积之和，即可求解．
解：如图，连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，

∵PB、PC分别平分和，于D，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PD=PE=PF=3，
∵的周长是22，
∴的面积是 ．
故答案为：33
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
26．##
【分析】
作DE⊥AB于E，如图，先根据勾股定理计算出BC=8，再利用角平分线的性质得到DE=DC，设DE=DC=x，利用面积法得到10x=6（8-x），然后解方程即可．
解：作DE⊥AB于E，如图，

∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC，
设DE=DC=x，
S△ABD=DE•AB=AC•BD，
即10x=8（6-x），解得x=，
即点D到AB边的距离为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由已知能够注意到D到AB的距离即为DE长是解决的关键．
27．
【分析】
由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA上的高相等，利用面积公式即可求解．
解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，

∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF．
∵AB＝10，BC＝15，CA＝20，　
∴＝(•AB•OE)：(•BC•OF)：(•CA•OD)＝＝．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理和三角形面积的计算方法是解题的关键．
28．32
【分析】
过点D作DQ⊥AC，由作法可知CP是角平分线，根据角平分线的性质知DB=DQ=3，再由三角形的面积公式计算即可．
解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，

由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=4，
∴DB=DQ=4，
∵AC=16，
∴S△ACD=•AC•DQ=，
故答案为32．
【点拨】本题主要考查作图-基本作图，三角形面积，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．
29．2
【分析】
根据尺规作图可知，点C在∠AOB角平分线上，所以C点的横坐标和纵坐标相等，即可以求出a的值．
解：根据题目尺规作图可知，交点C是∠AOB角平分线上的一点，
∵点C在第一象限，
∴点C的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标，即3a=-a+8，
得a=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了角平分线尺规作图，角平分线的性质，以及平面直角坐标系的知识，结合直角坐标系的知识列方程求解是解答本题的关键．
30．28
【分析】
证明∠ABE＝∠AEB，即可解决问题．
解：由作图可知：∠ABE＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠A＝124°，
∴∠AEB＝（180°−124°）＝28°，
故答案为：28．
【点拨】本题考查作图−复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
31．(1)证明见分析(2)2cm
【分析】
（1）由角平分线的性质可知，证明，进而结论得证；
（2）由，可得，证明，则，根据，计算求解即可．
(1)证明：∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
(2)解：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为2cm．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于找出三角形全等的条件．
32．(1)见分析(2)见分析
【分析】
（1）根据SAS证明结论即可；
（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题．
(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
(2)证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．

由△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，
∵，
∴AM＝AN，
∴点A在∠BFE平分线上，
∴FA平分∠BFE．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明．
33．（1）见分析； （2）
【分析】
（1）根据角平分线的性质直接可得；
（2）根据已知条件证明，，再根据全等三角形的面积相等，即可求得.
解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF；
（2）在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了角平分线的性质＼全等三角形的判断和性质；解决本题的关键是掌握好全等三角形的判定和性质．
34．(1)见分析；(2)25°，25°；(3)55°
【分析】
（1）由余角的性质可得∠B＝∠ACD，由角平分线的性质和外角的性质可得结论；
（2）由三角形内角和定理可求∠GAF＝130°，由角平分线的性质可求∠GAF＝65°，由余角的性质可求解；
（3）由平角的性质和角平分线的性质可求∠EAN＝90°，由外角的性质可求解．
(1)证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
(2)解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠GAB＝∠B+∠ACB＝40°+90°＝130°，
∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF130°＝65°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠GAF＝90°﹣65°＝25°，
又∵∠CAE＝∠GAF＝65°，∠ACB＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝90°﹣65°＝25°；
(3)证明：∵C、A、G三点共线，AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，
又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
∴∠CFE＝90°﹣∠M＝90°﹣35°＝55°．
【点拨】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
35．(1)BC＝DC(2)成立，理由见分析
【分析】
（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DC=BC；
（2）过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，根据同角的补角相等求出∠ABC=∠CDF，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CF，然后利用“角角边”证明△BCE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等可得DC=BC．
解：(1)∵AC平分∠MAN，∠ABC=∠ADC=90°，
∴DC=BC；
(2)（1）中的结论仍然成立．
理由如下：如图，过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，

∵∠ABC+∠ADC=180°，
∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠CDF，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴DC=BC．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于（2）作辅助线构造出全等三角形．