北师大版八年级上册3 勾股定理的应用综合训练题

1.3 勾股定理的应用

勾股定理的应用：1、几何体表面上两点之间的最短距离：长方体、圆柱体；2、利用勾股定理解决实际问题.

解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：

1．审题——分析实际问题；

2．建模——建立相应的数学模型；

3．求解——运用勾股定理计算；

4．检验——是否符合实际问题的真实性．

培优第一阶——基础过关练

1．如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ）

A．10cm B．12cm C．19cm D．20cm

【答案】A

【解析】

【分析】

首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程．

【详解】

解：将此圆柱展成平面图得：

∵圆柱的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），

∴AC=8cm，BC==4π=6(cm)

∴AB==10（cm）．

答：它需要爬行的最短路程为10cm．

故选A．

【点睛】

本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键．

2．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意结合勾股定理列出方程即可．

【详解】

解：设折断处离地面x尺，

根据题意可得：x2+32=（10-x）2，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．

3．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，画出图形，设旗杆的高为： ，则绳子AC的长为 ，再由勾股定理，即可求解．

【详解】

解：根据题意，画出图形，BC=5m，如下图：

设旗杆的高为： ，则绳子AC的长为 ，

在 中，由勾股定理得： ，即

，

解得： ，

即旗杆的高为12m．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，能够正确根据题意画出图形，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键．

4．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长至少要_______米

【答案】17

【解析】

【分析】

地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，根据题中已知条件，利用勾股定理求出水平距离即可．

【详解】

解：根据勾股定理得楼梯水平长度为＝米，则红地毯至少要米，

故答案为：．

【点睛】

本题考查勾股定理的实际应用，读懂题意，明白地毯长度的构成：水平宽度+垂直高度，准确使用勾股定理求解是解决问题的关键．

5．我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈＝10尺）．意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的正方形，中间有芦苇，把高出水面1尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，问：芦苇长多少尺？答：芦苇长____________尺．

【答案】13

【解析】

【分析】

设水深OB=x尺，则芦苇长OA'=（x+1）尺，根据勾股定理列方程求解即可．

【详解】

解：根据题意，设水深OB=x尺，则芦苇长OA'=（x+1）尺，

根据题意列方程得：x2+52=（x+1）2，

解得：x=12

∴OA'=13尺．

故答案为：13．

【点睛】

此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，根据勾股定理列方程求解．

6．如图，长方体鱼缸长宽高分别为120cm，50cm，40cm，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿10cm，壁虎爬行最短路程是______cm．

【答案】130

【解析】

【分析】

根据题意，要爬行到内侧点E处，可作出点E关于A’D’的对称点E’，连接AE’，利用勾股定理求解即为爬行的最短路程．

【详解】

解：作点E关于A’D’的对称点E’，连接AE’，

根据题意可得：，，

∴，

在中，

，

∴爬行的最短路程为130cm，

故答案为：130．

【点睛】

题目主要考查轴对称的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形是解题关键

．

7．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为___m．

【答案】

【解析】

【分析】

由勾股定理即可完成．

【详解】

在Rt△ABC       中，∠CAB=90゜，AC=20m，BC=60m，由勾股定理得：

(m)

即A、B两点间的距离为m．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查勾股定理在实际测量中的应用，关键是掌握勾股定理．

8．如图，将一根长为24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为16cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的（h的长度）最短长度为_____cm．

【答案】4

【解析】

【分析】

先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．

【详解】

解：设筷子露在杯子外面的长度为BC，

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时BC最小，

如图所示：

此时，AB==20（cm），

故BC=24-20=4（cm）．

故筷子露在杯子外面的最短长度为4cm．

故答案为：4．

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．

9．一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙．

（1）这架云梯的顶端距地面有多高?

（2）如果云梯的顶端下滑了，那么它的底部在水平方向也滑动了吗?

【答案】（1）；（2）不是．

【解析】

【分析】

（1）如图（见解析），在中，利用勾股定理求出的长即可得；

（2）如图（见解析），先根据线段的和差可得的长，再在中，利用勾股定理可得的长，然后利用线段的和差可得的长，由此即可得出结论．

【详解】

解：（1）如图，由题意得：，

则由勾股定理得：，

答：这架云梯的顶端距地面；

（2）如图，由题意得：，

则，

由勾股定理得：，

则，

答：云梯的底部在水平方向不是滑动了．

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．

10．在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点，已知该路段限速60km/h，请判断李叔叔是否超速，说明理由．

【答案】李叔叔不超速，理由见解析

【解析】

【分析】

先根据勾股定理计算BC的长，可计算李叔叔行驶的速度，统一单位后与60km/h作比较可得结论．

【详解】

解：李叔叔不超速，理由如下：

如图，

Rt△ABC中，AC=7，AB=25，

由勾股定理得：BC==24，

v=24÷1.5=16（m/s）=57.6（km/h），

∵57.6＜60，

∴李叔叔不超速．

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是把速度的单位统一．

11．有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．

(1)海港C会受台风影响吗？为什么？

(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？

【答案】(1)海港C会受到台风影响，理由见解析

(2)台风影响该海港持续的时间有7h

【解析】

【分析】

（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；

（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．

(1)解：海港C受台风影响．

理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，

∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴AC×BC=CD×AB，

∴300×400=500×CD，

∴CD==240（km），

∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，

∴海港C受到台风影响；

(2)解：当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，

∵ED==70（km），

∴EF=140km，

∵台风的速度为20km/h，

∴140÷20=7（小时），

即台风影响该海港持续的时间为7 h．

【点睛】

本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．

培优第二阶——拓展培优练

12．将一根长25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（        ）

A．0≤h≤13 B．12≤h≤13 C．11≤h≤12 D．13≤h≤25

【答案】B

【解析】

【分析】

根据杯子内筷子长度的取值范围得出杯子外面筷子长度的取值范围，即可得出答案．

【详解】

解：∵将一根长为25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，

∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度，

∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时长度为12cm，

最长时等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度是：，

∴h的取值范围是：25−13⩽h⩽25−12，

即12⩽h⩽13，

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．

13．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的是样子离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜塞在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全道的宽BE为__________m．

【答案】2.7

【解析】

【分析】

先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论．

【详解】

在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AE=0.7米，DE=2.4米，

∴AD2=0.72+2.42=6.25．

在Rt△A′BD中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，AB2+BC2=AC2，

∴AB2+1.52=6.25，

∴AB2=4．

∵AB＞0，

∴AB=2米．

∴BE=AE+AB=0.7+2=2.7米．

故答案为 2.7．

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

14．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm

【答案】16

【解析】

【分析】

将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可．

【详解】

如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形，

∴，，，，

此时最小，

∵点是中点，

∴cm，

∴cm，cm，

在中，cm，

∴cm，

故答案为：16．

【点睛】

本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算．

15．太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作：

①测得的长为15米（注：）；

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；

③牵线放风筝的小明身高1.7米．

(1)求风筝的高度．

(2)过点D作，垂足为H，求的长度．

【答案】(1)风筝的高度为21.7米

(2)的长度为9米

【解析】

【分析】

（1）在中由勾股定理求得CD的长，再加上DE即可；

（2）利用等积法求出DH的长，再在在中由勾股定理即可求得BH的长．

(1)

在中，由勾股定理，得：

（米），

所以（米），

答：风筝的高度为21.7米．

(2)

由等积法知：，

解得：（米）．

在中，（米），

答：的长度为9米．

【点睛】

本题考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理是关键，注意计算准确．

16．伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个景点 、其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（、、三点在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．

(1)判断的形状，并说明理由；

(2)求原路线的长．

【答案】(1)是直角三角形，理由见解析

(2)原来的路线的长为千米

【解析】

【分析】

（1）是直角三角形，理由见解析

（2）根据勾股定理解答即可

(1)

是直角三角形，

理由是：在中，

∵，

∴

∴是直角三角形且；

(2)

设千米，则 千米，

在中，由已知得，

由勾股定理得：，

∴

解这个方程，得，

答：原来的路线的长为千米．

【点睛】

本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键

培优第三阶——中考沙场点兵

17．（2020·四川巴中·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　）

A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺

【答案】B

【解析】

【分析】

竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．

【详解】

解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，

根据勾股定理得：，

解得：．

所以，原处还有4.55尺高的竹子．

故选：B．

【点睛】

此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．

18．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是___________尺．

【答案】12

【解析】

【分析】

我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．

【详解】

解：依题意画出图形，

设芦苇长尺，

则水深尺，

∵尺，

∴尺，

在中，

，

解得，

即芦苇长13尺，水深为12尺，

故答案为：12．

【点评】

此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合．

19．（2020·四川·中考真题）如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．

【答案】4.5

【解析】

【分析】

过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等角对等边得出AD＝BD＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可．

【详解】

解：

如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，

∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，

∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，

∴∠ABD＝∠BAD，

∴BD＝AD＝12海里，

∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，

∴CD＝AD＝6海里，

由勾股定理得：AC＝＝6（海里），

如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，

在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．

解得x＝4.5．

渔船还需航行 4.5海里就开始有触礁的危险．

故答案是：4.5．

【点睛】

本题主要考查方位角及勾股定理，关键是根据题意得到角的度数，然后利用特殊角的关系及勾股定理进行求解即可．