高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.5 空间中的距离课后作业题

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第一章 空间向量与立体几何
1.2空间向量在立体几何中的应用
1.2.5 空间中的距离
知识梳理
1.空间中两点之间的距离:
（1）空间中两点之间的距离指的人是这两个点连线的线段长.
（2）设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则d=||=|AB·AB　=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2　
2.点到直线的距离
n0是直线l的单位方向向量，A∈l，则点P到直线l的距离d=|AP|2-|AP·n0|2　.

3.点到平面的距离
一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d=|BA·n||n|.
（1）如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为
（2）如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量)，A和B分别是平面α与平面β内的点，则平面α与平面β之间的距离为d=|BA·n||n|.
4.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离d=|BA·n||n|.



常见考点
考点一 点到线距离的向量求法
典例1．已知点，，，则点A到直线BC的距离是（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
计算可得，故，再根据向量的模长公式求出|AB|即可得解.
【详解】
由已知得，，
所以，
所以，
所以点A到直线BC的距离是.
故选：B
变式1-1．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为(       )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量投影和勾股定理即可计算.
【详解】
∵，
∴
又，
∴在方向上的投影，
∴P到l距离.
故选：C.
变式1-2．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可
【详解】
建立空间直角坐标系，如图，

则，，，所以，，
所以在上的投影为，
所以点到直线的距离.
故选：C.
【点睛】
此题考查空间中点到线的距离，考查空间向量的应用，属于基础题
变式1-3．如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可.
【详解】
由题意知，，
取AC的中点O，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
所以在上的投影的长度为，
故点C到直线的距离为：.
故选：D


考点二 异面直线距离的向量求法
典例2．长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积求得结论．
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
，，
设与的公垂线的一个方向向量为，
则，取，得，，即，
又，
所以异面直线与之间的距离为．
故选：D．

变式2-1．如图正四棱柱中，，.动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线、的公垂线的长度，即为所求.
【详解】
由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度.
如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则点、、、，
所以，，，，
设向量满足，，
由题意可得，解得，取，则，，
可得，
因此，.
故选：.
变式2-2．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
在上任取点，作，设， ，根据得出和的关系，从而可得关于(或的函数关系，再求出此函数的最小值即可.
【详解】

设为直线上任意一点， 过作，垂足为，可知此时到直线距离最短
设，，
则，
，
，，
即，
，即，
，
，
，
当时，取得最小值，
故直线与之间的距离是.
故选：B.
变式2-3．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，求解直线与的公垂线的方向向量，利用异面直线距离的向量公式，即得解
【详解】

如图所示，以为原点，所在直线为轴如图建立空间直角坐标系
则

设直线与的公垂线的方向向量为
则
不妨令
又
则异面直线与之间的距离
故选：D

考点三 点到面距离的向量求法
典例3．已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点到平面的距离的向量公式直接计算即可.
【详解】

则点到平面的距离为
故选：D
变式3-1．在空间直角坐标系中，平面的法向量为， 已知，则P到平面的距离等于 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据点面距的向量公式计算．
【详解】

所求距离为．
故选：C．
变式3-2．在正三棱柱中，若，点是的中点，则点到平面的距离是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由点到平面的距离为即可求解．
【详解】
解：以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

正三棱柱中，若，点是的中点，
，，，，
∴DB=(23,2,-2)，DC1=(0,4,2)，DA1=(0,0,2)，
设平面的法向量为，
，，
，取，则，
点到平面的距离．
故选：A．
变式3-3．已知边长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则点B到平面AEF的距离为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
以DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求出平面AEF的法向量，进而可求出点B到平面AEF的距离.
【详解】
以DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，.
设平面的法向量为，
，
则，即
令，则，得.
又，所以点B到平面AEF的距离为
故选：C

考点四 线到面与面到面距离的向量求法
典例4．正三棱柱的所有棱长都为2.则到平面的距离是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法求得到平面的距离.
【详解】
设分别是的中点，连接，
根据正三棱柱的几何性质可知两两相互垂直，
建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
由于平面平面，
所以平面.
所以到平面的距离即到平面的距离，
即.
故选：B

变式4-1．已知正方体的棱长为a，则平面与平面的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，用空间向量求解
【详解】
由正方体的性质，∥,∥，，，
易得平面平面，
则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．
以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，，．
连接，由，，且，可知平面，
得平面的一个法向量为，
则两平面间的距离．
故选：D
变式4-2．已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求得平面ABC的一个法向量，由求解.
【详解】
因为点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），
所以，
设平面ABC的一个法向量为，
则，即，
令，得，则，
所以，
故选：C
变式4-3．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，，且两平面的一个法向量两平面间的距离，故选B.



巩固练习
练习一 点到线距离的向量求法
1．已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.
【详解】
，0，，，1，，，
，，，
在上的投影为，
则点到直线的距离为.
故选：D．
2．已知点P(5，3，6)，直线l过点A(2，3，1)，且一个方向向量为，则点P到直线l的距离为(       )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量和直线l的方向向量的关系即可求出点P到直线l的距离.
【详解】
由题意，，，
，，
，
到直线的距离为.
故选：B.
3．如图，在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（       ）

A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
取的中点,连接,,可证得的长即为点到直线的距离，在直角三角形中，由勾股定理求得；也可以用向量法，直接求得.
【详解】
解法一：（几何法）

解：如图，取的中点,连接,
因为平面，平面
所以,又因为，
所以平面,平面
所以
因为是的中点,
所以,又，
所以平面,又平面
所以,即为点到直线的距离.
在等腰直角三角形中，,
在直角三角形中，
故点到直线的距离为.
故选：A.
解法二：（向量法）

解：如图，以为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴的非负半轴，建立空间直角坐标系.则,,,，
故,
所以
故
即点到直线的距离为.
故选：A.
4．如图，在棱长为1的正方体中，点B到直线的距离为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
以为坐标原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，取，， 利用向量法，根据公式即可求出答案.
【详解】
以为坐标原点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，．
取，，则，，
则点B到直线AC1的距离为．

故选：A．

练习二 异面直线距离的向量求法
5．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和的公垂线的方向向量，求出，再由可求出.
【详解】
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
则，，
设和的公垂线的方向向量，
则，即，令，则，
，
.
故选：D.

【点睛】
本题考查异面直线距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解.
6．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用坐标法，利用异面直线距离的向量公式即求.
【详解】
建立如图所示的直角坐标系，则
，，，，．

，．
令向量，且，则，
，，
，．
异面直线和之间的距离为：

．
故选：C.
7．如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是______．

【答案】#
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，直接利用异面直线之间的距离公式求解即可.
【详解】
以为坐标原点，分别以，,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,,,,
∴,,
设是，的公垂线方向上的单位向量，
则，即①，
，即②，
易知③，
联立解得，，或，，；
不妨取，
又∵,
则异面直线与的距离，
故答案为：.

8．如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为______.

【答案】
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，表示出，求出同时垂直于的，再通过公式求距离即可.
【详解】

以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知，
，设同时垂直于，由，令，得，
又，则异面直线，EN间的距离为.
故答案为：.

练习三 点到面距离的向量求法
9．已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为（       ）
A． B． C．4 D．10
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量的坐标运算得，再由平面的距离即可求解.
【详解】
由题意，得，又知平面的一个法向量，
则到平面的距离，
故选：C.
10．在四棱锥中，，，，则四棱锥的高为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求底面ABCD的法向量，然后由点到平面的向量公式直接求解.
【详解】
设平面ABCD的法向量为，则∴取，得，四棱锥的高即为点S到平面ABCD的距离，为．
故选：B
11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】
如图，

以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而.
设平面的法向量为，则，即，得，
令，则，所以点E到平面的距离为．
故选：C
12．已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，按照距离的向量求法求解即可.
【详解】

如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，易知，
设平面的法向量，则，令，解得，
故点到平面的距离为.
故选：A.

练习四 线到面与面到面距离的向量求法
13．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（       ）

A．5 B．8 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面A1BCD1的法向量为＝(a，b，c)，先根据，即求出法向量，然后由向量法求点到面的距离公式可得点B1到平面A1BCD1的距离，又B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离即为点B1到平面A1BCD1的距离.
【详解】
解：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面A1BCD1的法向量为＝(a，b，c)，
则C(0，12，0)，D1(0，0，5),,，
由，得，
所以a＝0，b＝c，取＝(0，5，12)，
又＝(0，0，－5)，
所以点B1到平面A1BCD1的距离为，
因为B1C1∥BC，BC平面A1BCD1，B1C1平面A1BCD1，
所以B1C1∥平面A1BCD1，
所以B1C1到平面A1BCD1的距离即为点B1到平面A1BCD1的距离，
所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为，
故选：C.
14．在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立如图所示的直角坐标系，求得和平面的一个法向量，
利用向量的距离公式，即可求解．
【详解】
建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，
即，解得，故，
显然平面平面，
所以平面与平面之间的距离．

【点睛】
本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知得，，，设向量与向量、都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平面平行和距离公式计算可得选项.
【详解】
解：由已知得，，，设向量与向量、都垂直，则
，即，取，，
又平面平面，则平面与平面间的距离为，
故选：A.
16．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为_____. 

【答案】
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，计算平面AMN的一个法向量，然后使用等价转化的思想，面面距转为点面距，最后计算即可.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，

则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，
F(2，4，4)，N(4，2，4).
∴=(2，2，0)，=(2，2，0)，=(2，0，4)，=(2，0，4)，
∴，
∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M.
∴平面AMN∥平面EFBD.
设=(x，y，z)是平面AMN的一个法向量，
则解得
取z=1，则x=2，y=-2，得=(2，2，1).
平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离.
∵=(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=.
故答案为：
【点睛】
本题考查面面距，使用数形结合，形象直观，并采用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题.