高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程课时练习

第二章 平面解析几何几何

2.5椭圆及其方程

2.5.1 椭圆的标准方程

知识梳理

1.椭圆的定义：

在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

（1）若a＞c，则集合P为椭圆；

（2）若a＝c，则集合P为线段；

（3）若a＜c，则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程：

焦点在轴上:.

焦点轴上:.

有时为了运算方便，可设方程:.

常见考点

考点一 椭圆定义及辨析

典例1．已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（       ）

A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线

变式1-1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝10，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是（       ）

A．椭圆 B．圆 C．不存在 D．线段

变式1-2．已知点，，动点满足，则动点的轨迹是（       ）

A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆

变式1-3．已知动点满足，则动点的轨迹是（     ）

A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．线段

考点二 椭圆上点到焦点的距离及最值

典例2．椭圆上的一点M到其左焦点的距离为2，N是的中点，则等于（       ）

A．1 B．2 C．4 D．8

变式1-1．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，最大值为（       ）

A． B． C．2 D．4

变式1-2．点为椭圆上一点，为焦点，则的最大值为（       ）

A．1 B．3 C．5 D．7

变式1-3．已知点是椭圆：上一点，，分别是圆和圆上的点，那么的最小值为（       ）

A．15 B．16 C．17 D．18

考点三 椭圆上焦点三角形的周长与面积问题

典例3．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（       ）

A． B． C． D．

变式3-1．已知椭圆的两个焦点为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，若的周长为16，则（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

变式3-2．已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（       ）

A． B． C． D．

变式3-3．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（       ）

A．6 B． C．8 D．

考点四 椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值

典例4．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（       ）

A．3 B．5 C． D．13

变式4-1．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（       ）

A． B．13 C．3 D．5

变式4-2．已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（       ）

A． B． C． D．

变式4-3．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（       ）

A．1 B．－1 C． D．

考点五 根据方程表示椭圆求参数的范围

典例5．若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

变式5-1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

变式5-2．已知方程表示的曲线是椭圆，则的取值范围（       ）

A． B． C． D．

变式5-3．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

考点六 求椭圆的标准方程

典例6．若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（       ）

A． B． C． D．

变式6-1．已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（       ）

A． B． C． D．

变式6-2．已知是椭圆两个焦点，P在椭圆上，，且当时，的面积最大，则椭圆的标准方程为（       ）

A．      B．      C．    D．

变式6-3．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（       ）

A． B． C． D．

考点七 定义法求椭圆的轨迹方程

典例7．已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（       ）

A． B． C． D．

变式7-1．已知为圆M上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径MP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为（       ）

A． B． C． D．

变式7-2．已知圆，圆内一定点，动圆过点且与圆内切，设动圆的半径为，则圆心的轨迹方程是（　　）

A． B． C． D．

变式7-3．一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（       ）

A． B． C． D．

巩固练习

练习一 椭圆定义及辨析

1．设为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（       ）

A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段

2．已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（       ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

3．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（       ）

A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段

4．如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（       ）．

A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线

练习二 椭圆上点到焦点的距离及最值

5．已知是椭圆上的一个点，、是椭圆的两个焦点，若，则等于（       ）

A． B． C． D．

6．已知椭圆上的一点到焦点的距离为，点是的中点，为坐标原点，则等于（       ）

A．2 B．4 C．7 D．

7．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（       ）

A．28 B．16 C．12 D．9

8．已知为椭圆上的一个点，点M，N分别为圆和圆上的动点，则的最小值为（       ）

A．6 B．7 C．10 D．13

练习三 椭圆上焦点三角形的周长与面积问题

9．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（            ）

A．10 B．15 C．20 D．25

10．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（       ）

A．2 B．6 C．4 D．12

11．已知点在椭圆上，与分别为左右焦点，若，则的面积为(       )

A． B． C． D．

12．已知､是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（       ）

A． B． C． D．

练习四 椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值

13．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

14．是椭圆的左焦点是椭圆上的动点为定点，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

15．，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

16．已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则的最大值为（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

练习五 根据方程表示椭圆求参数的范围

17．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

18．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（       ）

A．（－3，1） B．（－3，5）

C．（4，5） D．

19．若，则“”是“方程表示椭圆”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

20．“”是“方程表示椭圆”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

练习六 求椭圆的标准方程

21．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（       ）

A．＋y2＝1 B．＋y2＝1

C．＋y2＝1或 D．以上答案都不正确

22．设椭圆的左､右焦点分别为，，上顶点为B.若，则该椭圆的方程为（       ）

A． B． C． D．

23．椭圆两焦点为､，在椭圆上，若面积的最大值为12，则椭圆方程是（       ）

A．      B．      C．        D．

24．.已知点是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，若，求椭圆的方程（       ）

A． B． C． D．

练习七 定义法求椭圆的轨迹方程

25．圆的半径为，圆心为是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（       ）

A． B． C． D．

26．设是圆：上的一动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（       ）

A． B． C． D．

27．已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（       ）

A． B．

C． D．

28．已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程为

A． B． C． D．