初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程5 一元二次方程的根与系数的关系同步训练题

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一元二次方程的
根与系数
的关系
根与系数的关系
题型1




题型变式
【题型1】根与系数的关系
1．（2022·四川眉山·中考真题）设，是方程的两个实数根，则的值为________．
【答案】10
【解析】
【分析】
由根与系数的关系，得到，，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴；
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握得到，．
【变式1-1】
2．（2022·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
【答案】(1)
(2)2
【解析】
【分析】
（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；
（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得．
(1)
解：关于的一元二次方程有两个不等实数根，
此方程根的判别式，
解得．
(2)
解：由题意得：，
解得或，
由（1）已得：，
则的值为2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．
专项训练
一．选择题
1．（2021·新疆·塔城市第四中学九年级期中）已知关于x的方程有一个根为1，则方程的另一个根为（ ）
A．-1B．1C．2D．-2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系列出关于另一根t的方程，解方程即可．
【详解】
解：设关于x的方程的另一个根为x＝t，
∴1＋t＝3，
解得，t＝2
故选：C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．
2．（2022·广东·模拟预测）设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，将其代入中即可得出答案．
【详解】
解：∵，是方程的两个实数根，
∴，
∴=2022-1=2021．
故选：B．
【点睛】
本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出是解题的关键．
3．（2021·湖南·衡阳市成章实验中学九年级阶段练习）若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则的值为（ ）
A．-13B．12C．14D．15
【答案】B
【解析】
【详解】
解：∵α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，
∴，，
因此可得2α2=5α+1，
代入2α2+3αβ+5β
=5α+1+3αβ+5β
=5（α+β）+3αβ+1
=5×+3×（-）+1
=12；
故选B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是利用一元二次方程的一般式，得到根与系数的关系x1+x2=-，x1·x2=，然后变形代入即可．
4．（2021·四川绵阳·九年级期中）关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由一元二次方程有实数根可知△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】
∵关于x的一元二次方程x2−2x+k+2=0有实数根，
∴△=(−2)2−4(k+2)⩾0，
解得：k⩽−1，
在数轴上表示为：
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程根的情况利用根的判别式列出不等式是解题的关键.
5．（2020·河南·中考真题）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
【详解】
解：根据定义得：

＞
原方程有两个不相等的实数根，
故选
【点睛】
本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2021·山东·夏津县教学工作研究室八年级期末）一元二次方程的两个根为，则的值是（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】D
【解析】
【分析】
利用方程根的定义可求得，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】
为一元二次方程的根，
，
．
根据题意得，，
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·四川·广汉市教学研究教师培训中心一模）设分别为一元二次方程的两个实数根，则____．
【答案】2020
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2＋2m＝2022，m＋n＝−2，将其代入m2＋3m＋n＝m2＋2m＋（m＋n）中即可求出结论．
【详解】
解：∵m，n分别为一元二次方程x2＋2x−2022＝0的两个实数根，
∴m2＋2m＝2022，m＋n＝−2，
∴m2＋3m＋n＝m2＋2m＋（m＋n）＝2022＋（−2）＝2020．
故答案为：2020．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系得出m2＋2m＝2022，m＋n＝−2是解题的关键．
8．（2021·江苏泰州·中考真题）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为 ___．
【答案】2．
【解析】
【分析】
先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】
解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，
∴，
∴x1+x2﹣x1•x2=1-（-1）=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若为一元二次方程的两个根，则有，熟记知识点是解题的关键．
9．（2018·江西·中考真题）一元二次方程的两根为, ,则的值为____________ .
【答案】2
【解析】
【详解】
【分析】根据一元二次方程根的意义可得+2=0，根据一元二次方程根与系数的关系可得=2，把相关数值代入所求的代数式即可得.
【详解】由题意得：+2=0，=2，
∴=-2，=4，
∴=-2+4=2，
故答案为2.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键.
10．（2022·全国·九年级专题练习）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是_____．
【答案】8．
【解析】
【分析】
由根与系数的关系及根的定义可知a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，据此对3a2﹣b进行变形计算可得结果.
【详解】
解：由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，
∴原式＝3（1﹣a）﹣b+
＝3﹣3a﹣b+
＝3﹣2a﹣（a+b）+
＝3﹣2a+1+
＝4﹣2a+
＝4+
＝4+
＝4+4
＝8，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关键.
11．（2020·江苏南通·中考真题）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____．
【答案】2028
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）计算可得．
【详解】
解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028．
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
12．（2020·四川内江·中考真题）已知关于x的一元二次方程有一实数根为，则该方程的另一个实数根为_____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m的一元二次方程，解得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【详解】
解：把x=-1代入得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，
∵(m-1)2≠0，
∴m1．
∴m=4.
∴方程为9x2+12x+3=0.
设另一个根为a,则-a=.
∴a=-.
故答案为: -．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
三、解答题
13．（2022·全国·九年级）解下列方程：
(1)x2+2x﹣8＝0；
(2)（2y+1）2﹣25＝0；
(3)4t2﹣4t﹣3＝0；
(4)2（m+3）＝m2﹣9．
【答案】(1)x1＝﹣4，x2＝2
(2)y1＝2，y2＝﹣3
(3)t1＝，t2＝
(4)m1＝﹣3，m2＝5
【解析】
【分析】
（1）运用因式分解法求解即可；
（2）运用直接开平方法求解即可；
（3）运用配方法求解即可；
（4）先整理，然后再运用因式分解法求解即可．
(1)
解：x2+2x﹣8＝0，
（x+4）（x﹣2）＝0，
则x+4＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2；
(2)
解：（2y+1）2﹣25＝0；
（2y+1）2＝25，
∴2y+1＝±5，
∴y1＝2，y2＝﹣3；
(3)
解：4t2﹣4t﹣3＝0；
4t2﹣4t＝3，
4t2﹣4t+1＝3+1，
（2t﹣1）2＝4，
∴2t﹣1＝±2，
∴t1＝，t2＝；
(4)
解：2（m+3）＝m2﹣9
2（m+3）﹣（m+3）（m﹣3）＝0，
（m+3）（2﹣m+3）＝0，
∴m+3＝0或5﹣m＝0，
∴m1＝﹣3，m2＝5．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，灵活选择合适的解一元二方程的方法成为解答本题的关键．
14．（2018·湖北十堰·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
【答案】（1）k≤；（2）k=﹣1．
【解析】
【详解】
【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得；
（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，
∵x12+x22=11，
∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，
∵k≤，
∴k=4（舍去），
∴k=﹣1．
【点睛】本题考查了根的别式、根与系数的关系，利用完全平方公式将根与系数的关系的代数式变形是解题中一种经常使用的解题方法.
15．（2022·北京十一学校一分校模拟预测）关于x的一元二次方程．
（1）.求证：方程总有两个实数根；
（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）-1.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根；
（2）根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定a的取值范围，即可求出a的最小值．
【详解】
（1）证明：依题意得：


，
，
∴ ．
∴方程总有两个实数根；
（2）由，
可化为：
得 ，
∵ 方程的两个实数根都是正整数，
∴ ．
∴ ．
∴a的最小值为0．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键．
16．（2021·江西九江·九年级期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为，且，求m的值．
【答案】（1）-2；（2）2
【解析】
【分析】
（1）根据判别式即可求出m的取值范围，进而得到答案；
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】
解：（1）根据题意得，解得，
∴m的最小整数值为；
（2）根据题意得，
∵，
∴，
∴，整理得，解得，
∵，
∴m的值为2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键．