人教A版 (2019)8.5 空间直线、平面的平行同步训练题

8.5.2 直线与平面平行   (精讲）

一、必备知识分层透析

知识点1：直线与平面平行

(1)直线与平面平行的判定定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行

符号表述：

图形语言

直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题) 即

                           线线平行 线面平行

(2)直线与平面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

符号表述：，，

简记：线线平行 线面平行

注意：①定理中三个条件缺一不可

②简记：线面平行，则线线平行

③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据

④定理的关键：寻找平面与平面的交线

二、重点题型分类研究

题型1:  直线与平面平行的判定定理

1．（2022·四川乐山·高二期末（文））在四棱锥中，平面，底面是边长为2的菱形，分别为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】

（1）证明见解析

（2）

（1）

取的中点，因为为的中点，

所以且，

又因为为的中点，四边形为菱形，

所以且，

所以且，

故四边形BFEG为平行四边形，所以BG//EF，

因为面面，所以面.

（2）

因为底面是边长为2的菱形，，则为正三角形，

所以

因为面，所以为三棱锥的高

所以三棱锥的体积.

2．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期中（理））如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，点E是的中点，.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积；

【答案】

（1）详见解析；

（2）

（1）

如图所示：

连接AC，与BD交于点O，连接OE，

因为四边形是矩形，点E是的中点，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面；

（2）

因为平面，点E是的中点，且，

所以点E到平面DBC的距离为1，

又因为四边形是矩形，，

所以，

所以 .

3．（2022·贵州金沙·高二阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面，，分别为，的中点．

（1）证明：平面．

【答案】

（1）证明见解析

（1）

证明：如图，连接交于点，连接，．

因为四边形是菱形，，分别为，的中点，所以，．

又平面，平面，所以平面，平面．

因为，所以平面平面．

又平面，所以平面．

4．（2022·湖北宜城·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点．

（1）证明：平面．

【答案】

（1）证明见详解

（1）

证明：作中点，连接，因为为的中位线，所以，又因为，，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以平面，平面，所以平面；

题型2 直线与平面平行的性质定理

1．（2022·湖南·周南中学高二开学考试）如图，四棱锥的底面为正方形，直线⊥平面，，为的中点，与交于点．若平面平面．

（1）求证：；

【答案】

（1）证明见解析；

（1）

连接，由、分别为，的中点，

∴，又面，面，

∴面，又面，面面

∴.

2．（2022·四川·仁寿一中高二阶段练习）如图，平面分别平行于、，且、、、分别在、、、上，且，，．

（1）求证：是矩形；

（2）设，，求矩形的面积．

【答案】（1）证明见解析；

【详解】

（1）由平面，且平面 平面，所以，

又由平面，且平面 平面，所以，

所以，同理可得，所以四边形为平行四边形.

由，且，又由，所以，

所以四边形为矩形.

3．（2022·全国·高二课时练习）四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：平面.

【答案】证明见解析

【详解】

证明：因为截面是一个平行四边形，所以.

因为平面，平面，所以平面.

因为平面，平面平面，所以.

因为平面，平面，所以平面.

4．（2022·全国·高三专题练习）在正四棱锥中，分别是的中点，过直线的平面分别与侧棱交于点，求证：

【答案】证明见解析．

【详解】

证明：在中，因为E，F分别是的中点，

所以且，

又因为平面，平面，所以平面，

因为平面平面，

所以，所以．

题型3：直线与平面平行的判定定理与性质定理的综合运用

1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））如图所示，四边形为空间四边形的一个截面，若截面为平行四边形.

（1）求证：平面；

（2）若，，求四边形周长的取值范围.

【答案】

（1）证明见解析

（2）(8，12)

（1）

∵四边形EFGH为平行四边形，

∴EF∥HG.

∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，

∴EF∥平面ABD.

又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，

∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，

∴AB∥平面EFGH.

（2）

设，

∵EF∥AB，FG∥CD，∴，

则＝＝＝1－，∴.

∵四边形EFGH为平行四边形，

∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.

又∵0<x<4，∴8<l<12，

即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12).

2．（2022·全国·高三专题练习）如图，正八面体是由上下两个棱长均相等的正四棱锥拼接而成，各棱长均为，若平面平面，证明：.

【答案】证明见解析．

【详解】

证明：因为正八面体ABCDEF是由上下两个棱长均相等的正四棱锥拼接而成，则四边形ABFD为菱形，则AB∥DF，

又因AB平面CDF，DF平面CDF，则AB∥平面CDF，

又平面ABC平面CDF＝l，AB平面ABC，

由线面平行的性质，可得AB∥l.

3．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面．

求证：（1）；

（2）平面．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】

（1）因为平面平面，

所以平面．

又因为平面平面平面，所以．

（2）如图，取的中点，连接，

则，且，

又因为，且，

所以，且．

所以四边形是平行四边形．

所以．

又因为平面平面，

所以平面．

4．（2022·江苏·无锡市堰桥高级中学高一期中）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，，，分别为，，的中点，平面平面.

（1）求证：平面.

（2）求证：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】

（1）证明：因为M，N分别，的中点，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面，

同理，平面，

又因为，平面，平面，

所以平面平面；

（2）证明：因为，平面，平面，

所以平面，

又平面平面，平面，

所以.