人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体巩固练习

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9.2.3 总体集中趋势的估计  (精讲）一、必备知识知识点1：总体集中趋势的估计（1）平均数①定义：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据，，的平均数为. ②特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平，任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时的可靠性降低.（2）众数①定义：一组数据中出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数。②特征：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势.（3）中位数①定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数.②特征：一组数据的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.知识点2：三种数字特征的优缺点名  称优  点缺  点平均数与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响对极端值不敏感众  数体现了样本数据的最大集中点众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感知识点3：在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.(3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据.二、重点题型题型1:总体集中趋势在具体数据中的估计1．（2022·全国·高一课时练习）某公司的33名职工的季度奖金（单位：元）如下表所示：人数11215320季度奖金5500500035003000250020001500（1）求该公司职工季度奖金的平均数、中位数、众数（精确到整数）；（2）假设将表中的5000元提升到20000元，5500元提升到30000元，求新的平均数，中位数、众数（精确到整数）；（3）你认为哪个统计量更能反映该公司员工的季度奖金情况，结合此问题谈一谈你的看法.    2．（2022·全国·高一单元测试）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效．随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6  1.2  2.7  1.5  2.8  1.8  2.2  2.3  3.2  3.52.5  2.6  1.2  2.7  1.5  2.9  3.0  3.1  2.3  2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2  1.7  1.9  0.8  0.9  2.4  1.2  2.6  1.3  1.41.6  0.5  1.8  0.6  2.1  1.1  2.5  1.2  2.7  0.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（2）根据两组数据，除了平均数还有哪个数字特征能评价哪种药的疗效更好？     3．（2022·贵州·金沙县第五中学高二阶段练习）某工厂生产销售了双皮鞋，其中各种尺码的销售量如下表所示：鞋的尺码销售量(双)（1）计算双鞋尺码的平均数、中位数、众数；（2）从实际出发，问题（1）中的三种统计特征量对指导生产有无意义？      4．（2022·陕西省黄陵县中学高一阶段练习）某地区全体九年级的3000名学生参加了一次科学测试，为了估计学生的成绩，从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人，90分30人，80分18人，70分24人，60分12人，50分4人.请根据以上数据估计该地区3000名学生的平均分､合格率(60或60分以上均属合格).      题型2：总体集中趋势在频率分布直方图中的估计1．（2022·四川成都·高二期末（理））为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了名学生的得分（得分均为整数，满分为分）进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（1）求图中的值，估计此次竞赛活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖．       2．（2022·河南·淅川县第一高级中学高一阶段练习）为了了解高二学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3；第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少，样本容量是多少；（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高二学生的达标率是多少；（3）在这次测试中，估计学生跳绳次数的众数和中位数､平均数各是多少.（结果均保留整数.）    3．（2022·全国·高一课时练习）2022年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业。在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．（1）求出直方图中的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到）；（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个．          4．（2022·江西·兴国县将军中学高二阶段练习（文））某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求理科综合分数的平均数和中位数；    题型3：用分类讨论思想求平均数1．（2022·全国·高一课时练习）一组数0，1，1，1，7，8，9，12，，其中，已知它们的众数加上平均数等于中位数，则__________.2．（2016·河南南阳·高一阶段练习）已知一组数据为10，10，，8，其中位数与平均数相等，则这组数据的中位数为_______．3．（2022·山西·）一组数据共有7个整数，，2，2，2，10，5，4，且，若这组数据的平均数、中位数、众数中最大与最小数之和是该三数中间数字的两倍，则第三四分位数是______.4．（2022·全国·高一课时练习）已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则所有可能的取值为__________．