2021学年第九章 统计9.2 用样本估计总体复习练习题

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9.2.4 总体离散程度的估计(精练）A学业基础一、单选题1．（2022·四川宜宾·高二期末（理））某学生2022年共参加10次数学竞赛模拟考试，成绩分别记为，，，…，，为研究该生成绩的起伏变化程度，选用一下哪个数字特征最为合适（    ）A．，，，…，的平均值； B．，，，…，的标准差；C．，，，…，的中位数； D．，，，…，的众数；【答案】B【详解】根据平均数、中位数、众数的概念可知，平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，标准差描述数据的波动大小估计数据的稳定程度.故选：B.2．（2022·江苏无锡·高三期末）某年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是个，全年比赛失球个数的标准差为；乙队每场比赛平均失球数是个，全年比赛失球个数的标准差为，下列说法正确的是（    ）A．甲乙两队相比，乙队很少失球B．甲队比乙队技术水平更稳定C．平均来说，甲队比乙队防守技术好D．乙队有时表现很差，有时表现又非常好【答案】C【详解】解：乙队平均失球大于甲队平均失球，所以选项A错误；乙队失球个数的标准差小于甲队失球个数的标准差，选项B和D错误，甲队每场比赛平均失球数个，小于乙队每场比赛平均失球数个，所以平均来说，甲队比乙队防守技术好.故选：C3．（2022·四川资阳·高二期末（文））甲、乙两名同学8次考试的成绩统计如图所示，记甲、乙两人成绩的平均数分别为，，标准差分别为，，则（    ）A．＞，＜ B．＞，＞C．＜，＜ D．＜，＞【答案】A【详解】由统计图知：甲总成绩比乙总成绩要高，则＞，又甲成绩的分布比乙均匀，故＜.故选：A.4．（2022·湖北·高三阶段练习）已知样本数据的平均数为3，方差为2，由这组数据得到新样本数据，其中，则得到的新样本数据的平均数和方差分别是（    ）A．3，2 B．5，4 C．5，8 D．4，8【答案】C【详解】解：设样本数据的方差为，新样本数据的方差为，因为， 所以新样本数据的平均数，新样本数据的方差为．故选：C．5．（2022·北京石景山·高一期末）下列命题中不正确的是（    ）A．一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数B．数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙D．为调查学生每天平均阅读时间，某中学从在校学生中，利用分层抽样的方法抽取初中生20人，高中生10人．经调查，这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟，这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟，那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟【答案】A【详解】对于A，中位数为和众数相等，故A错误；对于B，将该组数据从小到大排列为，，则该组数据的分位数为5，故B正确；对于C，乙组数据，方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C正确；对于D，被抽中的30名学生每天平均阅读时间为，故D正确；故选：A6．（2022·全国·高一课时练习）中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法.某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x与药物功效y之间满足.检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量的平均值为5，标准差为，则估计这批中医药的药物功效的平均值为（    ）A．18 B．15 C．20 D．10【答案】B【详解】设这6个样本中成分甲的含量分别为，.，，，，，平均值为，则 ，所以，所以，则.故选:B.7．（2022·浙江省开化中学高一期末）为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为，方差为．若，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】设初中部20名党员竞赛成绩分别为，高中部50名党员竞赛成绩的平均分，根据题意得则， ，所以，，由于，所以该学校全体参赛党员竞赛成绩的平均分为，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为.故选：D.8．（2022·全国·高三专题练习）高三（1）班男女同学人数之比为，班级所有同学进行踢毽球（毽子）比赛，比赛规则是：每个同学用脚踢起毽球，落地前用脚接住并踢起，脚接不到毽球比赛结束.记录每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为，方差为，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为，方差为，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】D【详解】解：设男同学为人，女同学为人，则全班的平均数为，设男同学为，，，，女同学为，，，，则，所以男同学的方差①，女同学的方差②；由①可得，即，由②可得，即，所以全班同学的方差为即故选：D二、填空题9．（2022·上海市控江中学高二期末）某学校为了获得该校全体高中学生的体有锻炼情况，按照男、女生的比例分别抽样调查了55名男生和45名女生的每周锻炼时间，通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为8小时，方差为6；女生每周锻炼时间的平均数为6小时，方差为8．根据所有样本的方差来估计该校学生每周锻炼时间的方差为________．【答案】【详解】由题意可得55名男生和45名女生的每周锻炼时间的平均数为小时，因为55名男生每周锻炼时间的方差为6；45名女生每周锻炼时间的方差为8，所以这100名学生每周锻炼时间的方差为，所以该校学生每周锻炼时间的方差约为，故答案为：10．（2022·贵州遵义·高三阶段练习）定义一个同学数学成绩优秀的标准为“连续5次数学考试成绩均不低于120分（满分150分）”.现有甲､乙､丙三位同学连续5次数学考试成绩的数据（数据都是正整数）的描述：①甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128；②乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121；③丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125.则数学成绩一定优秀的同学是___________.【答案】乙【详解】在①中，甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128，可以找到很多反例，如118，119，125，128，150，故甲同学的数学成绩不一定优秀；在②中，乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121，所以前三个数为121，121，127，则后两个数肯定大于127，故乙同学的数学成绩一定优秀；在③中，丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125，最大值与最小值的差为10，若最大值为129，则最小值为119.即119，125，125，127，129，故丙同学的数学成绩不一定优秀.综上，数学成绩一定优秀的同学只有乙.故答案为：乙．11．（2022·江苏·高三专题练习）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标.常用区间，内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.甲､乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感指数，甲得到十位市民的幸福感指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8.方差为2.2，则这20位市民幸福感指数的方差为___________【答案】1.95【详解】设乙得到的十位市民的幸福感指数分别为，，，，甲得到的十位市民的幸福感指数分别为，，，，由平均数为8，知，所以这20位市民的幸福感指数之和为，平均数为.由方差定义，乙所得数据的方差，由于，解得，因为甲得到十位市民的幸福感指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以，所以这20位市民的幸福感指数的方差为.故答案为：1.9512．（2022·山西运城·高一期末）已知样本数据，…，的平均数为5，方差为3，另一组样本数据，…，的平均数为10，方差为4，则样本数据，…，，，…，的方差为___________.【答案】9.6【详解】由题得，，由题得，所以样本数据，…，，，…，的方差为故答案为：9.6三、解答题13．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））随着新冠肺炎疫情的稳定，各地的经济均呈现缓慢的恢复趋势，为了更进一步做好疫情的防控工作，避免疫情的再度爆发，地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将A地区20000个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14000人.口罩使用数量频率0.2m0.3n0.1（1）求，的值；（2）根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；（3）计算地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差.【答案】（1），；（2）频率分布直方图见解析；（3）平均数是7，方差是．（1）由已知，；（2）频率分布直方图如下：（3）由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为，方差为．14．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～350（度）之间，在进行适当分组（每组为左闭右开区间），并列出频率分分布表、画频率分布直方图后，将频率分布直方图的全部6个矩形上方线段的中点自左右的顺序依次相连，再删掉这6个矩形，就得到了如图所示的“频率分布折线图”.（1）请画出频率分布直方图，并求出频率分布折线图的值；（2）请结合频率分布直方图，求月用电量落在区间（度）内的用户的月用电量的平均数；（3）已知在原始数据中，月用电量落在区间（度）内的用户的月用电量的平均数为140（度），方差为1600，所有这100户的月用电量的平均数为188（度），方差为5200，且月用电量落在区间（度）内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，求月用电量在区间（度）内的用户用电量的标准差.（参考数据：，，，，，）【答案】（1）作图见解析，；（2）140（度）；（3）.【详解】（1）频率分布直方图：由频率分布折线图或频率分布直方图得，即；（2）月用电量落在区间（度），（度），（度）内的用户数分别为，，，所平均数（度）；（3）由（2）知，月用电落在区间（度）的户数，月用电量在区间（度）内的户数，设前60户的月用电分别为，平均数为，方差，后60户的月用电量分别为.平均数为，方差为，.全部100户的月用电量分别为，平均数，方差为，即.故有，有，所以：，故.B应考能力15．（2022·四川遂宁·高二期末（文））甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（    ）A．从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定B．从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力C．从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好D．从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好【答案】D【详解】由图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，甲的平均数为，甲的方差为乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙的平均数为，乙的方差为，所以，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定，故A正确；从两人射击命中环数折线统计图走势看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故B正确；甲打靶的成绩为2，4，6， 7，7，8，8，9，9，10，中位数为7.5，乙打靶的成绩为5，6，6，7， 7，7，7，8，8， 9，中位数为7，甲9环及9环以上的次数3次，甲9环及9环以上的次数1次，甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，故从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好，故C正确；甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，甲的中位数7.5大于乙的中位数7，从平均数和中位数相结合看，甲成绩较好，故D错误.故选：D.16．（2022·山东济南·高三期末）酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区（甲、乙、丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”，根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是（    ）A．甲地，均值为4，中位数为5 B．乙地：众数为3，中位数为2C．丙地：均值为7，方差为2 D．丁地：极差为，分位数为8【答案】C【详解】不妨设8天中，每天查获的酒驾人数从小到大分别为，，，，且，其中，选项A：若不达标，则，因为中位数为5，所以，又因为均值为4，故，从而，且，则，，，满足题意，从而甲地有可能不达标；故A错误；选项B：由众数和中位数定义易知，当，，，时，乙地不达标，故B错误；选项C：若不达标，则，由均值为7可知，则其余七个数中至少有一个数不等于7，由方差定义可知，，这与方差为2矛盾，从而丙地一定达标，故C正确；选项D：由极差定义和百分位数定义可知，当，时，丁地不达标，故D错误.故选：C.17．（2022·广西·钦州市第四中学高二期中）下列命题是真命题的是（    ）A．有甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为，则样本容量为B．若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲C．数据，，，，，的平均数､众数､中位数相同D．某单位､､三个部门平均年龄为岁､岁和岁，又，两部门人员平均年龄为岁，､两部门人员平均年龄为岁，则该单位全体人员的平均年龄为岁【答案】D【详解】解：对于选项：如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为，故选项是假命题，对于选项：乙组数据的平均数为，方差为，因为乙组数据的方程比甲组数据的方差小，所以这两组数据中较稳定的是乙，故选项是假命题，对于选项：数据1，2，3，4，4，5的平均数为、众数为4、中位数为，故选项是假命题，对于选项：设，，三个部门的人数为，，，则有：，化简得，，化简得，所以该单位全体人员的平均年龄为岁，故选项是真命题，故选：．18．（2022·福建南平·高一期末）设样本数据、、、的平均数为，标准差为，若数据、、、的平均数比标准差大，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由已知条件可得，，则数据、、、的平均数为，方差为， 由已知可得，所以，，其中，，故选：D.C新素养 新题型19．(多选)（2022·湖北·高二阶段练习）有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，为非零常数，则（    ）A．两组样本数据的众数相同 B．两组样本数据的方差相同C．两组样本数据的平均数相同 D．两组样本数据的极差相同【答案】BD【详解】对A，设样本数据的众数为，则新样本数据的众数为，则A错误；对B，样本数据的方差为，新样本数据的方差为，B正确；对C，原数据的平均数，新数据的平均数，则C错误；对D，不妨设样本数据中分别为最小值和最大值，极差为，则新样本数据中分别最小和最大，则极差，D正确.故选：BD.20．(多选)（2022·全国·模拟预测）已知一组样本数据，，…，的平均数与中位数均为9，方差为4，极差为10，由这组数据得到新样本数据，，…，，则（    ）A．新样本数据的平均数为26B．新样本数据的中位数为26C．新样本数据的方差为35D．新样本数据的极差为30【答案】ABD【详解】若一组样本数据，，…，的平均数，方差分别为，，则样本数据，，…，的平均数，方差分别为，，故本题中新样本数据的平均数为，方差为，A正确，C错误；若原样本数据的中位数为，则新样本数据的中位数为，B正确；若原样本数据的极差为，则新样本数据极差为，D正确.故选：ABD.21．(多选)（2020·江苏省高邮中学高三阶段练习）空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数越小，表明空气质量越好，表1是空气质量指数与空气质量的对应关系，图1是经整理后的某市2019年2月与2020年2月的空气质量指数频率分布直方图表1空气质量指数（AQI）优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下列叙述正确的是（    ）A．该市2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为0.032B．该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年2月份的空气质量C．该市2020年2月份空气质量指数的中位数小于2019年2月份空气质量指数的中位数D．该市2020年2月份空气质量指数的方差大于2019年2月份空气质量指数的方差【答案】BC【详解】解：该市2020年2月份的空气质量为优，即，由频率分布表可知该市2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为：，故A不正确．该市2020年2月份的空气质量指数的平均数为：，该市2019年2月份的空气质量指数的平均数为：，所以该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年2月份的空气质量．故B正确．该市2020年2月份的空气质量指数的中位数为：．该市2019年2月份的空气质量指数的中位数为：．所以该市2020年2月份的空气质量指数的中位数小于该市2019年2月份的空气质量指数的中位数．故C正确．该市2020年2月份的空气质量指数的方差为：，该市2019年2月份的空气质量指数的方差为：所以2020年2月份的空气质量指数方差小于2019年2月份的空气质量指数的方差，故D不正确．故选：BC．22．（2022·北京通州·高一期末）在一次文艺比赛中，12名专业人土和12名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一选手的打分：小组A    42  45  48  46  52  47  49  55  42  51  47  45小组B    55  36  70  66  75  49  46  68  42  62  58  47B小组的第75百分位数是________；从评委打分相似性上看更像专业人士组成的小组是________．【答案】    A    【详解】将小组B的数据进行排序得到：，，故B小组的第75百分位数是.，..，故A小组更像专业人士组成的小组.故答案为：67；A.