上海市松江区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份上海市松江区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共30页。试卷主要包含了计算，用配方法解方程，解方程等内容，欢迎下载使用。

上海市松江区区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·上海松江·八年级期末）计算：．
2．（2022·上海松江·八年级期末）用配方法解方程：．
3．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长．

4．（2022·上海松江·八年级期末）小王上午8时自驾小汽车从家里出发，到“番茄农庄”游玩，小汽车离家的距离s（千米）与对应的时刻t（时）的关系可以用图中的折线表示，根据图像提供的有关信息，解答下列问题：

(1)“番茄农庄”离小王家________千米；
(2)小王在“番茄农庄”游玩了_______小时；
(3)在去“番茄农庄”的过程中，小汽车的平均速度是______千米/小时；
(4)小王回到家的时刻是______时_____分．
5．（2022·上海松江·八年级期末）已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．
(1)求关于的函数解析式；
(2)当时，求y的值．
6．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．

(1)求证：CE=CDBE；
(2)如果CE=3BE，求的值．
7．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图像与一个反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
8．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点 A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF．

(1)如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；
(2)如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)当BE=BF时，求线段CD的长．
9．（2020·上海松江·八年级期末）计算：．
10．（2020·上海松江·八年级期末）解方程：．
11．（2020·上海松江·八年级期末）如图，在中，，，AC的垂直平分线交BC于点D，， 于点E，求BE的长．

12．（2020·上海松江·八年级期末）已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，；当时，．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当时，求y的值．
13．（2020·上海松江·八年级期末）如图，已知四边形ABCD中，，点E是AC中点，点F是BD中点．

（1）求证：；
（2）过点D作于H点，如果BD平分，求证：．
14．（2020·上海松江·八年级期末）如图，点A，B在反比例函数的图像上，A点坐标，B点坐标．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点B作轴，垂足为点C，联结AC，当时，求点B的坐标．
15．（2020·上海松江·八年级期末）已知：如图，在中，，，，AD平分，交BC边于点D．点E是边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作，垂足为点G，与射线AC交于点F．

（1）当点F在边AC上时，
①求证：；
②设，，求y与x之间的函数解析式并写出定义域．
（2）当是等腰三角形时，求BE的长．
16．（2020·上海松江·八年级期末）计算：
17．（2020·上海松江·八年级期末）解方程：
18．（2020·上海松江·八年级期末）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为，求的值及这个方程的根．
19．（2020·上海松江·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数．

20．（2020·上海松江·八年级期末）已知：，并且与（x-1）成正比例，与x成反比例．当时，；当时，．
（1）求y关于x的函数解析式；     
（2）求当x=8时的函数值．
21．（2020·上海松江·八年级期末）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠CAD=∠CBD．
（1）求证：CD平分∠ACB;
（2）点E是AD延长线上一点，CE=CA，CF∥BD交AE于点F，若∠CAD=15°，
求证：EF=BD．

22．（2020·上海松江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点A（2，m）．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点B在轴的上，且OA=BA，反比例函数图像上有一点C，且∠ABC=90°，求点C坐标．

23．（2020·上海松江·八年级期末）已知：如图1，在中，，∠ABC=30°，，点、E分别是边、AC上动点，点不与点、重合，DE∥BC．
（1）如图1，当AE=1时，求长；
（2）如图2，把沿着直线翻折得到，设
①当点F落在斜边上时，求的值；
② 如图3，当点F落在外部时，EF、DF分别与相交于点H、G，如果△ABC和△DEF重叠部分的面积为，求与的函数关系式及定义域．（直接写出答案）


参考答案：
1．
【分析】先化简括号内的二次根式，同步计算后面的分母化，再计算二次根式的除法运算，最后合并同类二次根式即可.
【详解】解：




【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则与混合运算的运算顺序”是解本题的关键.
2．x1＝+3，x2＝﹣3．
【分析】根据配方法，两边配上一次项系数一半的平方即可得到，然后利用直接开平方法求解．
【详解】解：x2-2x＝4，
x2-2x+5＝4+5，即（x-）2＝9，
∴x-＝±3，
∴x1＝+3，x2＝﹣3．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法与步骤是解题关键．
3．AB＝．
【分析】连接BE，证明∠DAC＝∠C＝30°，根据含30°角的直角三角形的边角关系求出AC，AF，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：过点A作AF⊥BC于F，
∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，AD=CD=6，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴DE=，
∴CE＝AE＝=，
∴AC＝2EC＝，
∴AF=，
∵∠B＝45°，AF⊥BC，
∴∠BAF=180°-∠B-∠AFB=180°-45°-90°=45°，
∴∠BAF=∠B，
∴BF=AF=
∴AB＝×．

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理的应用，含30°角的直角三角形的边的关系，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
4．(1)90；
(2)4；
(3)45；
(4)16，15．

【分析】（1）根据小汽车从出到目的地行驶的距离即可求解；
（2）根据图像时间变化而位置没变的时间即可求解；
（3）用小汽车行驶的路程除以这段所用时间求解即可；
（4）先求出小汽车返回时速度（90-70）÷千米/时，再利用“番茄农庄”离小王家90千米÷速度40千米/时即可．
(1)
解：小王上午8时自驾小汽车从家里出发，10时到“番茄农庄”游玩，共行驶90千米，
∴“番茄农庄”离小王家90千米，
故答案为：90；
(2)
解：∵根据图像10时至14时，距离没有变化，一直在“番茄农庄”
∴小王在“番茄农庄”游玩了4小时；
故答案为：4
(3)
解：在去“番茄农庄”的过程中，一共行驶90千米，花费时间为10-8=2小时，
小汽车的平均速度是90÷2=45千米/小时；
故答案为45；
(4)
14时开始回家，14时30分，行驶了90-70=20千米，
返回时小汽车速度为20÷千米/时，
∴返回时所用时间为：90÷40=时，
∴小王回到家的时刻是14+时=16时15分，
故答案为16，15．
【点睛】本题考查从函数图像获取信息与处理信息，掌握横纵坐标表示的意义，折点的意义是解题关键．
5．(1)
(2)

【分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的定义设，，根据可表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出与的值即可得答案；
（2）将x=-2代入计算即可求出y值．
(1)
∵与成正比例，与成反比例，
∴设，，
∵，
∴，
∵当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴关于的函数解析式为．
(2)
∵，
∴时，=．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握正比例函数和反比例函数的定义是解本题的关键．
6．(1)证明见详解；
(2)=．

【分析】（1）过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，先根据AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，得出AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，再证Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），得出BE=DF，然后证明Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）即可；
（2）先求出BC= 4BE， CD= 2BE,，然后S△ABC=，S△ADC=即可．
(1)
证明：过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，
∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴CE=CF，
∴CE=CF=CD+DF=CD+BE；

(2)
解：BC=BE+EC=BE+3BE=4BE，
∴S△ABC=，
∴CD=CF-FD=CE-BE=3BE-BE=2BE，
∴S△ADC=，
∴=．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形面积，线段和差倍分，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形面积，线段和差倍分是解题关键．
7．(1)
(2)或
(3)的坐标为：或或或

【分析】（1）先求解的坐标，再代入反比例函数解析式，从而可得答案；
（2）分两种情况讨论：如图，作的角平分线交于 过作于 而轴，则 如图，作的角平分线交于 过作于 交轴于 则再利用角平分线的性质与全等三角形的性质，勾股定理可得答案；
（3）画出图形，分4种情况讨论，当时， 当时， 当时， 当时，再结合等腰三角形的性质与勾股定理可得答案.
(1)
解： AB⊥x轴，AB=3，

则
设反比例函数为

所以反比例函数为
(2)
解：存在，或；理由如下：
如图，作的角平分线交于 过作于
而轴，则

则
而



如图，作的角平分线交于 过作于 交轴于
则 而



而

设

解得：

综上：或
(3)
解：如图， 为等腰三角形，

当时，
当时，
当时，
当时，设

解得：
综上：的坐标为：或或或
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简与二次根式的除法运算，熟练的运用以上知识解题是关键.
8．(1)证明见解析
(2)
(3)

【分析】（1）先证明 再证明是等边三角形，结合垂直平分线的性质求解 再求解 即可得到结论；
（2）如图，当过点，是的垂直平分线，求解 如图，当过点 则 所以分别在AB、BC上时，则 如图，过作于 再利用勾股定理与线段的和差写函数关系式，整理后可得答案；
（3）先画出符合题意的图形，再证明 设 则 由 再列方程解方程即可.
（1）
解： ∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，




是的垂直平分线，



是等边三角形，

而


（2）
解：如图，当过点，是的垂直平分线，
则

如图，当过点

则
所以分别在AB、BC上时，则
如图，过作于



同理：



整理得：
（3）
解：当
同理可得：






设
则



【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，全等三角形的判定与性质，熟练的掌握以上知识是解本题的关键.
9．
【分析】通过二次根式的分母有理化，二次根式的除法法则以及合并同类二次根式，即可求解．
【详解】
=
=
=
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的分母有理化，二次根式的除法法则以及合并同类二次根式，是解题的关键．
10．x1=1，x2=5
【分析】先去分母，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】，
，
，
，
∴x1=1，x2=5
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．
11．
【分析】连接AD，根据中垂线的性质得DA=，进而得∠ADE=45°，设BE=x，则AB=2x，结合勾股定理，即可求解．
【详解】连接AD，
∵AC的垂直平分线交BC于点D，
∴DA=，
∴∠DAC=，
∴∠ADE=45°，
∵ 于点E，
∴∆ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DA÷=÷=3，
在直角∆ABE中，，
∴∠BAE=30°，
∴设BE=x，则AB=2x，
∴AE==，
∴=3，解得：x=，
∴BE=．

【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
12．（1）；（2）9
【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的定义，利用待定系数法，即可求解；
（2）把，代入所求的函数解析式，即可求解．
【详解】（1）∵与成正比例，与x成反比例，
∴设=m，=（m，k≠0，m，k为常数），
∴= m+2∙，
∵当时，；当时，，
∴，解得，
∴；
（2）当时，．
【点睛】本题主要考查函数的待定系数法，熟练掌握正比例函数与反比例函数的模型，是解题的关键．
13．（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形“三线合一”，即可得到结论；
（2）先证明DH∥BE，再证明BE垂直平分AC，即可得到结论．
【详解】（1），点E是AC中点，
∴DE=,BE=，
∴DE=BE，
∵点F是BD中点，
∴；
（2）∵BD平分，
∴∠HDB=∠EDB，
∵DE=BE，
∴∠EDB=∠∠EBD，
∴∠HDB=∠EBD，
∴DH∥BE，
∵，
∴BE⊥AC，
∵点E是AC中点，
∴BE垂直平分AC，
∴．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质定理以及中垂线的性质定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形“三线合一”是解题的关键．
14．（1）；（2）
【分析】（1）把A点坐标代入函数解析式即可求出反比例函数解析式；
（2）△ABC中，BC=m，根据三角形的面积即可求得m的值，代入反比例函数解析式即可求得B点坐标．
【详解】解：（1）把点A(1，6)代入反比例函数中得：
，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）∵，
∴，
∵反比例函数的图像经过点;
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴B点坐标为．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，在坐标系中，求线段的长度可以转化为求点的坐标．
15．（1）①见详解；②；（2）BE=8或12-4．
【分析】（1）①先证明∆AGF≅∆AGE，从而得AD垂直平分FE，根据中垂线的性质，即可得到结论；②分两种情况：（a）当点F在线段AC上时，（b）当点F在AC的延长线上时，分别求出y与x之间的函数解析式，即可；
（2）分三种情况：①当∠AFD是顶角，即FA=FD时，②当∠FAD是顶角，即FA=DA时，③当∠ADF是顶角，即DF=DA时，分别求解，即可．
【详解】（1）①∵，，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分，
∴∠FAG=∠EAG，
∵，
∴∠AGF=∠AGE=90°，
又∵AG=AG，
∴∆AGF≅∆AGE，
∴FG=EG，
∴AD垂直平分FE，
∴DE=DF；
②∵在中，，，，
∴AB=2AC=12，
（a）当点F在线段AC上时，如图，

∵，，
∴AE=12-x，
∵∆AGF≅∆AGE，
∴AF=AE=12-x，
∴y=6-(12-x)=x-6，
∵0＜AF≤6，
∴0＜12-x≤6，
∴6≤x＜12；
（b）当点F在AC的延长线上时，如图，
∵，，
∴AF=AE=12-x，
∴y=12-x-6=6-x，
∵6＜AF，
∴6＜12-x，
∴0＜x＜6；

综上所述：y与x之间的函数解析式为：；
（2）①当是等腰三角形时，∠AFD是顶角，即FA=FD时，如图

∵，
∴AF=FD=6-y，
∵∠FAG=∠EAG=∠BAC=30°，
∴∠FDG=∠FAG=30°，
∵∠C=90°，∠ADC=90°-30°=60°，
∴∠CDF=30°，
∴DF=2CF，
∴6-y=2y，解得：y=2，
∴AF=6-2=4，
∴AE=AF=4，
∴BE=12-4=8；
②当是等腰三角形时，∠FAD是顶角，即FA=DA时，如图，

∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=6，
∴AD=2CD=2×（6÷）=4，
∴AE=AF=4，
∴BE=12-4；
③当是等腰三角形时，∠ADF是顶角，即DF=DA时，如图，

∵DC⊥AF，
∴CF=CA=6，
∴AF=12，
∴AE=AF=12，此时，点E与点B重合，舍去，
综上所述：BE=8或12-4．
【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的定义，中垂线的性质以及函数解析式，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质以及分类讨论思想，是解题的关键．
16．4
【分析】先进行分母有理化，计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减.
【详解】解：原式

.
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握分母有理化和二次根式运算法则是解题关键.
17．x1＝，x2＝2．
【分析】将方程整理成一般形式，然后用因式分解法求解即可．
【详解】解：方程两边同乘6，得：2（x2-1）+3x＝6x，整理得：2x2-3x-2=0
因式分解得（2x+1）（x-2）=0，
∴2x+1=0或x-2=0，
解得：x1＝，x2＝2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
18．m＝－2；，.
【分析】根据根的判别式△＝b2−4ac＝9，求得m的值；进而得到原方程，再解方程求出方程的根即可．
【详解】解：由题意得：（2m-1）2−4×m2＝9，
解得m＝－2，
当m＝－2时，原方程为：，
解得：，.
【点睛】本题考查根的判别式以及解一元二次方程，熟知根的判别式△＝b2−4ac是解题关键．
19．135°.
【详解】解：连接AC，
∵AB＝BC＝2，且∠ABC＝90°，
∴AC＝，且∠CAB＝45°，
又∵AD＝1，CD＝3，
∴AD2＋AC2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
∴∠A＝∠CAD＋∠CAB＝135°．

20．（1）；（2）.
【分析】（1）可设，，把已知条件代入则可求得y与x的函数解析式．
（2）将x=8代入即可得到答案.
【详解】（1）设，
∴
把x=2时，y=5；x=-2时，y=-9分别代入得
     
解得
∴
（2）当时，
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式、待定系数法求一次函数解析式.
21．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC＝∠ABC，进而得到∠BAD=∠ABD，由等角对等边可得DA=DB，利用SSS证明△DAC≌△DBC，得到∠DCA＝∠DCB即可得出结论；
（2）根据△DAC≌△DBC，CE=CA可得∠DBC＝∠E＝15°，CE=CA=CB，然后根据三角形外角的性质求出∠BDF＝60°，利用平行线的性质得出∠CFD＝60°，可得∠CFE＝120°，再根据三角形内角和定理求出∠CDB＝120°，利用AAS证明△BDC≌△EFC即可得出结论.
【详解】证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠ABD，
∴DA=DB，
又∵AC=BC，CD=CD，
∴△DAC≌△DBC，
∴∠DCA＝∠DCB，即CD平分∠ACB；
（2）∵△DAC≌△DBC，CE=CA，∠CAD=15°，
∴∠DBC＝15°，∠E＝15°，CE=CA=CB，
∴∠BAD=∠ABD＝45°－15°＝30°，
∴∠BDF＝30°＋30°＝60°，
∵CF∥BD，
∴∠CFD＝∠BDF＝60°，
∴∠CFE＝120°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝45°，
∴∠CDB＝180°－15°－45°＝120°，
在△BDC和△EFC中，，
∴△BDC≌△EFC（AAS），
∴EF=BD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（1）反比例函数的解析式为：；（2）点C坐标为（4，）.
【分析】（1）将点A坐标代入正比例函数解析式求出m，可得点A的完整坐标，再将点A代入反比例函数的解析式求出k即可；
（2）过点A作AD垂直OB于D，根据等腰三角形三线合一可得OD=BD，求出B点坐标，利用两点间距离公式表示出AB、BC和AC，根据∠ABC=90°利用勾股定理列出方程，解方程即可解决问题.
【详解】解：（1）将点A（2，m）代入，得：，
∴A（2，），
将点A（2，）代入得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）过点A作AD垂直OB于D，
∵OA=BA，
∴OD=BD，
∵A（2，），
∴OD=2，
∴OB=4，即B（4，0），
设点C坐标为（a，），
则，，，
∵∠ABC=90°，
∴，即，
整理得：，
解得：a=4或-3，
经检验，a=4或-3均是分式方程的解，
∵x＞0，
∴a=4，
∴点C坐标为（4，）.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、两点间距离公式、勾股定理以及解分式方程和一元二次方程等知识，灵活运用相关知识进行推理计算是解答本题的关键.
23．（1）BD=；（2）①x=2；②.
【分析】（1）根据DE∥BC，可得∠ADE=30°，然后分别利用三角函数求出AB和AD即可；
（2）①设，则AE=EF=4－x，然后证明△CEF是等边三角形即可解决问题；
②由①可知CE=x，AE=EF=4－x，△CEF是等边三角形，然后分别求出HF、FG和AD，利用三角形面积公式计算出和，进而得到，然后根据列式整理，并求出定义域即可.
【详解】解：（1）∵，∠ABC=30°，，AE=1，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=30°，
∴，
∴BD=AB－AD=；
（2）①设，则AE=4－x，
∴EF=4－x，
∵∠ADE=∠B =30°，
∴∠AED=∠C =60°，
∴∠CEF=180°－60°－60°=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴CE=EF，即x=4-x，
∴x=2；
②由①可知CE=x，AE=EF=4－x，△CEF是等边三角形，
∴HF=EF－EH=4－x－x=4－2x，∠FHG=∠CHE=60°，
∵∠F=∠A=90°，
∴FG=HF=，
∴，
∵AE= 4－x，∠ADE=30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵当x=2时，点F落在斜边上，
∴定义域为：，
即.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、直角三角形的性质、解直角三角形、折叠的性质、等边三角形的判定和性质等知识，准确识别图形，求出△CEF是等边三角形是解题的关键.