专题06 超越不等式（方程）-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题06 超越不等式（方程）

【方法点拨】

含有指对运算的方程(或不等式)称之为超越方程(或超越不等式),实现解这类方程、不等式，一般是先猜根，再构造函数，利用函数的单调性来解决.

【典型题示例】

例1   （2022·新高考I·22改编）已知函数和有相同最小值，则实数        .

【答案】   

【分析】利用导数知识易得，，，根据最小值相等得，即，猜根易得可求是其中一个根，构造函数，研究函数的单调性，说明根的唯一性从而得解.

【解析】的定义域为，而，

若，则，此时无最小值，故.

的定义域为，而.

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，

故.

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，

故.

因为和有相同的最小值，

故，整理得到，其中，

设，则，

故为上的减函数，而，

故的唯一解为，故的解为.

综上，.

例2      (2022·四川·成都·二检)已知函数的零点为，则      .

【答案】1

【分析】

【解析】由题意得:

∴

设在上单增

故有，即

∴.

例3      (多选题)(2022·江苏七市三模)已知函数的零点为，的零点为，则

A． B． 

C． D．

【答案】BCD

【解析】，则，

显然单增，故等价于，则，故A错误；

因为单增，且，故，则

故，则B正确；

，则C正确；

D.，因为，故，

则，而，则，故D正确.

例4   已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】考虑从“形”的角度切入，与已知圆同心且与相切的圆的半径与已知圆的半径之差即为所求

如下图

设该圆与相切的切点为

则由导数的几何意义、圆的切线性质得

即，此为超越方程，应先猜根，易知为其中一个根

设，则，单调递减

故为其唯一的一个根，此时切点为

所以的长度的最小值为，故选A.

例5    已知函数(aR)，其中e为自然对数的底数，若函数的定义域为R，且，则a的取值范围是            ．

【答案】(2，4)

【解析】由函数f(x)的定义域为R，得x2－ax＋a≠0恒成立，

所以a2－4a＜0，解得0＜a＜4．

方法1（讨论单调性）

由f(x)＝，得f'(x)＝．

 ①当a＝2时，f(2)＝f(a)，不符题意．

 ②当0＜a＜2时，

因为当a＜x＜2时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(a，2)上单调递减，

    所以f(a)＞f(2)，不符题意．

  ③当2＜a＜4时，

因为当2＜x＜a时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(2，a)上单调递减，

    所以f(a)＜f(2)，满足题意．

  综上，a的取值范围为(2，4)．

       方法2（转化为解超越不等式，先猜根再使用单调性）

由f(2)＞f(a)，得＞．

 因为0＜a＜4，所以不等式可化为e2＞(4－a)．

 设函数g(x)＝(4－x)－e2， 0＜x＜4．

因为g'(x)＝ex·≤0恒成立，所以g(x)在(0，4)上单调递减．

又因为g(2)＝0，所以g(x)＜0的解集为(2，4)．

所以，a的取值范围为(2，4)．

例6   已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范围为       ．

【答案】

【解析】易得f(1)＝f(e)=0

∵

∴当时，，在单减；当时，，在单增

∴的解集是

令，得，故f(ex)＜0的x的取值范围为．

例7  若存在正数，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为      .

【答案】

【分析】对进行“完全分参”，两边同时除以、移项得，令，问题转化为存在正数，使得成立，再设，只需的值域.

【解析】对两边同时除以、移项得，

令，问题转化为存在正数，使得成立，

设，只需的值域.

猜根，往与的方向猜，可得

再设，则

故在区间单减

所以在区间只有一个零点为

且当时，

故有当，，单增；当，，单减

故当时，取得极大值也就是最大值为，无最小值

故即为所求.

【巩固训练】

1.已知函数，则不等式的解集是（    ）．

A.  B.

C.  D.

2. 关于的不等式的解集为___________.

3. 方程的根是___________.

4.已知、分别是方程、的根，则＋的值是          .

5.已知实数x、y满足，则的值是          .

6.不等式的解集是        .

7.方程的根是          .

8. 已知函数，则的解集为_________．

【答案或提示】

1. 【答案】D

【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.

【解析】因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，

不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.

2.【答案】

【提示】设，则，，单增.

3. 【答案】

【解析】设，则，所以单调递增，

因为，所以.

4.【答案】－1

【提示】设，则，单增.

由，得

代入得，即，得＋＝－1.

5.【答案】2020

【提示】两边取自然对数得

设，则易得其为上的单增奇函数

所以，

故.

6.【答案】

【解法一】显然是方程一个根

令，则

故在单增，且

所以不等式的解集是.

【解法二】变形为

设，

而在单减，在单增，且图象均过（1,0）

所以不等式的解集是.

7.【答案】

【分析】利用“同构”构造函数，再利用函数的单调性.

【解析】原方程可化为

设，易得其为上的单增奇函数

所以，即为所求.

8.【答案】

【解析】本题可通过猜根秒杀（常规解法：构造函数关系）.