专题08 递推函数-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

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类比于数列的递推关系,我们把具有f(x＋1)＝2f(x)等形式的函数称为递推函数.诸如函数f(x＋1)＝2f(x)，意即变量的值增加1，其对应的函数值是原来函数值的2倍，类似函数的周期性，但有一个倍数关系．依然可以考虑利用周期性的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可．f(x)＝f(x－1)+1等以此类推.
【典型题示例】
例1 设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq \f(8,9)，则m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(9,4))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(8,3)))
【答案】 B
【分析】作出图示，求出函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项．
【解析一】∵时，，
∴当时，，故，
同理，当时，，∴，···，
当时，，
∴
所以，当，
当时，，令，
解之得：
为使对任意，都有，则m的取值范围是.
故选B.
【解析二】 当－1f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(…，,\f(1,2)x＋1x，－1例2 已知函数f(x)是定义在[1，＋∞)上的函数，且f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－|2x－3|，1≤x<2，,\f(1,2)f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))， x≥2，))则函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________．
【答案】11
【解析一】由题意得当1≤x<2时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－2，1≤x≤\f(3,2)，,4－2x， \f(3,2)当eq \f(x,2n－1)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))时，则x∈[2n－1,3·2n－2]，所以f(x)＝eq \f(1,2n－1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)x))＝eq \f(1,2n－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2·\f(1,2n－1)x－2))，所以2xf(x)－3＝2x·eq \f(1,2n－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2·\f(1,2n－1)x－2))－3＝0，整理得x2－2·2n－2x－3·22n－4＝0.解得x＝3·2n－2或x＝－2n－2.由于x∈[2n－1,3·2n－2]，所以x＝3·2n－2；
当eq \f(x,2n－1)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))时，则x∈(3·2n－2,2n)，所以f(x)＝eq \f(1,2n－1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)x))＝eq \f(1,2n－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－2·\f(1,2n－1)x))，所以 2xf(x)－3＝2x·eq \f(1,2n－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(2x,2n－1)))－3＝0，整理得x2－4·2n－2x＋3·22n－4＝0.解得x＝3·2n－2或x＝2n－2.由于x∈(3·2n－2,2n)，所以无解．
综上所述，x＝3·2n－2.由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.
【解法二】由题意得当x∈[2n－1,2n)时，因为f(x)＝eq \f(1,2n－1)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)x))，所以f(x)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)·2n－1))＝eq \f(1,2n－1).令g(x)＝eq \f(3,2x).当x＝eq \f(3,2)·2n－1时，g(x)＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)·2n－1))＝eq \f(1,2n－1)，
所以当x∈[2n－1,2n)时，x＝eq \f(3,2)·2n－1为y＝2xf(x)－3的一个零点．
下面证明：当x∈[2n－1,2n)时，y＝2xf(x)－3只有一个零点．
当x∈[2n－1,3·2n－2]时，y＝f(x)单调递增，y＝g(x)单调递减，f(3·2n－2)＝g(3·2n－2)，所以x∈[2n－1,3·2n－2]时，有一零点x＝3·2n－2；当x∈(3·2n－2,2n)时，y＝f(x)＝eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2n－2)－3))，k1＝f′(x)＝－eq \f(1,22n－3)，g(x)＝eq \f(3,2x)，k2＝g′(x)＝－eq \f(3,2x2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3·22n－3)，－\f(3,22n＋1)))，所以k1【解法三】分别作出函数y＝f(x)与y＝eq \f(3,2x)的图像，如图，交点在x1＝eq \f(3,2)，x2＝3，x3＝6，…，xn＝3·2n－2处取得．由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.
例3 已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是( )
A． B． C．D．
【答案】B
【解析】函数，函数有4个零点，即有四个不同交点.画出函数图像如下图所示：
由图可知，当时，设对应二次函数顶点为，则，，
当时，设对应二次函数的顶点为，则，.所以.当直线与时的函数图像相切时与函数图像有三个交点，此时，化简可得.，解得 （舍）；当直线与时的函数图像相切时与函数图像有五个交点，此时，化简可得.，解得 （舍）；故当有四个不同交点时.故选：B.
【巩固训练】
1. 已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x－1，x≤0，,fx－1，x＞0，))若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为________．
2. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－[x]，x≥0，,f（x＋1），x＜0，))其中[x]表示不超过x的最大整数.若直线y＝k(x＋1)(k＞0)与函数y＝f(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是________.
3.已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为 。
4.已知函数,则方程根的个数为 .
5.已知函数的定义域为R，且，当x[0，π)时，．若存在(，m]，使得，则m的取值范围为 ．
6.已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2|x－1|－1，0＜x≤2，,\f(1,2)f（x－2），x＞2，)) 那么函数g(x)＝xf(x)－1在[－7，＋∞)上的所有零点之和为________.
7.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）
A． 4 B．6 C．8 D．10
8. 已知函数，给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．；
B．方程有四个实根；
C．当时，；
D．若函数在上有8个零点，则的取值范围为.
9. 定义在R上的函数，恒有，当时，，若，恒有，则的取值集合为________．
10.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11.定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案或提示】
1.【答案】(－∞，1)
【解析】x≤0时，f(x)＝2－x－1，
0＜x≤1时，－1＜x－1≤0，
f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.
故x＞0时，f(x)是周期函数，
如图所示．
若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，
故a＜1，即a的取值范围是(－∞，1)．
2.【答案】eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,3)))
【解析】 根据[x]表示的意义可知，当0≤x＜1时，f(x)＝x，当1≤x＜2时，f(x)＝x－1，当2≤x＜3时，f(x)＝x－2，以此类推，当k≤x＜k＋1时，f(x)＝x－k，k∈Z，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1，作出函数f(x)的图象如图，直线y＝k(x＋1)过点(－1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,3))).
3.【答案】10000
【提示】当时，，，此时的两根之和是1
当时，，，此时的两根之和是3
当时，，，
此时的两根之和是5
以此类推，当时， 的两根之和是199
所以方程的所有解的和为1+3+5+···+199=10000.
4.【答案】6
【提示】转化为两函数、交点个数.
5.【答案】[，)
【解析】根据题意作出函数图像，如下：

故m≥．
6.【答案】8
【提示】转化为两函数、在[－7，＋∞)上的所有交点横坐标和的问题，两函数均为奇函数，故在[－7，7]上横坐标和为0，只需考虑x∈(－7，＋∞)即可，利用递推关系作出图象.
7.【答案】D
【分析】由为偶函数可得：只需作出正半轴的图像，再利用对称性作另一半图像即可，当时，可以利用利用图像变换作出图像，时，，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出，，……的图像，的零点个数即为根的个数，即与的交点个数，观察图像在时，有5个交点，根据对称性可得时，也有5个交点.共计10个交点
8.【答案】BC
【提示】利用如下图.
9.【答案】
10.【答案】C
【分析】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.
【解析】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，
如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；
当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，
则，解得.故选：C.
11.【答案】D
【分析】计算，画出图像，计算，解得，得到答案.
【解析】根据题设可知，当时，，故，
同理可得：在区间上，，
所以当时，.
作函数的图象，如图所示.
在上，由，得.
由图象可知当时，.
故选：.