专题13 一次绝对值函数-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

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几个常见的含绝对值的一次函数的图象与性质:
⑴的图象关于直线对称，且函数的最小值为；
⑵的图象关于直线对称，且函数的最小值为；
⑶的图象关于点对称，且函数的值域为．

（） （）
含绝对值的一次函数的求解策略:
（1）根据绝对值的代数意义，利用 “零点分域讨论法”去绝对值，化为分段函数；
（2）有时也可根据绝对值的几何意义，转化为x轴上动点到一些定点距离的和.
3. 一般地，设a1≤a2≤a3≤…≤an(n∈N*)，f(x)=|x－a1|+|x－a2|+|x－a3|+…+|x－an|．
若n为奇数，当x=时，f(x)取最小值；若n为偶数，则x∈时，f(x)取最小值．
即中间值或中间区间上取最值.
【典型题示例】
例1 (2022·浙江·9)已知，若对任意，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】将问题转换为，再结合画图求解．
【解析】由题意有：对任意的，有恒成立．
设，，
由恒成立，即的图像恒在的上方（可重合），如下图所示：
由图可知，，，或，，
故选：D．
例2 若对于任意实数x和任意正实数a、b，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】或
【分析】根据基本不等式易求得，故问题转化为对于任意实数x恒成立，即求m的取值范围，使函数的最小值为，可利用函数的图象或直接使用绝对值的几何意义求解.
【解析】令
则
所以
不等式恒成立，即恒成立
对于多个一次绝对值函数求最值可以分解为：
设，对于3个绝对值相加，取得最小值一定是三个绝对值零点的中间值，
如上述函数，中间零点是，所以上述函数当取得最小值，
所以，解得或.
【巩固训练】
1.设函数的图像关于直线对称，则的值为________.
2.函数的最小值为__________.
3.已知函数有最小值，则实常数的取值范围是 .
4.函数在上有最大值，则实数的取值范围是___
5. 设函数，
且，则满足条件的所有整数的和是__________.
6. 已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|，则当x= 时，f(x)取得最小值．
【答案或提示】
1.【答案】3
【提示】的图象关于直线对称，故，解得.
2.【答案】
【提示】利用绝对值的几何意义，知即x轴上动点到1,2,3，···，19距离之和，当时，此时.
3.【答案】
【提示】直接去绝对值.
4.【答案】
【提示】直接去绝对值.
5.【答案】6
【解析】易得是偶函数，
故或
则或
又，所以也满足题意，故答案为6.
6.【答案】
【解析】f(x)=，
f(x)共表示为5050项的和，其最中间两项均为．
x=，同时使第1项|x-1|与第5050项的和，第2项与第5049项的和，第3项与第5048项的和，…，第2525项与第2526项的和，取得最小值．故所求的x为．