专题15 利用结构相同函数解题-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

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1.一个方程中出现两个变量,适当变形后,使得两边结构相同;或不等式两边式子也可适当变形,使其两边结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性把方程或不等式化简.
2. 同构的基本策略是：“左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当”.
【典型题示例】
例1 （2022·江苏苏大考前指导卷）已知，且成立，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用构造函数法，结合导数求得正确答案.
【解析】依题意，，，
构造函数，
所以在区间递减；在区间递增.
若，则，，不符合题意.
若，则，，符合题意，
若，此时对任意，有两个不同的实数根，
则存在，使“且”成立.
对任意，有两个不同的实数根，
则存在，使“且”成立.
综上所述，.
故选：C
例2 （2022·全国高中数学联赛江苏苏州选拔赛·7）若关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为___________.
【答案】
【分析】关于x的不等式恒成立，即关于x的不等式恒成立，则，即，分三种情况讨论，分离参数，构造新的函数，利用导数求出函数的最值，从而可得出答案.
【解析】关于x的不等式恒成立，
即关于x的不等式恒成立，
因为函数为增函数，
所以，所以，
当时，无意义，故；当时，则，则，
令，则，
所以函数在上递减，
当时，，所以，与矛盾，所以舍去，
当时，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
所以，
综上所述，，
所以实数a的最大值为.
故答案为：.
点评：利用同构得出后，由函数图象则易得，故实数a的最大值为.
例3 （2022·江苏南通一模）已知均为锐角，且，则
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，，
令，，，在，
，，，选D.
例4 （2021·江苏新高考适应性考试·8）已知且，且，且， 则（ ）
【答案】D
【解析一】往结构相同方向变形，将已知变形为，，，
设函数，则
所以在上单减，在上单增
所以，，所以.
【解析二】将已知两边取对数：，，，
再往结构相同方向变形：，，
设函数，则
所以在上单减，在上单增
所以，，所以.
例5 已知实数a，b满足，，则a＋3b＝ ．
【答案】16
【解析】令，则 ，代入可化为，即
设，则，在上单增
故只有一个零点
所以，即，
所以.
例6 已知函数，，则t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】这里 可以发现,将移项变形为，易知是奇函数，，故进一步变形为，此时,得到一个“左右形式相当，一边一个变量”的不等式，令，问题转化为，只需研究的单调性，逆用该函数的单调性即可.
【解析】∵
∴可变形为：

∵是奇函数
∴
∴
令，则
∴单增
∴，即，解之得
所以t的取值范围是．
例7 已知实数，满足，，则______.
【答案】
【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解.
【解析一】实数，满足，，
，，则，
，
所以在单调递增，而，
.
【解析二】对两边取自然对数得：，
对两边取自然对数得： （※）
为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：
设，则
所以在单调递增，的解只有一个.
∴， ∴
点评:两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解.
【巩固训练】
1.若，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则（ ）
A．B． C． D．
3.(多选题)已知对任意，恒成立，则
A．B．
C．D．
4.如果，，则的取值范围是_______.
5.不等式的解集是______________.
6.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 ．
7.已知实数a，b(0，2)，且满足，则a＋b的值为_______．
8.设方程的根为，方程的根为，则= .
9.已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是 .
10.不等式的解集是 .
11. 若满足2x+=5， 满足2x+2(x－1)=5， +＝ ( )
A. B.3 C. D.4
12. 已知实数a，b(，)，且满足，则a，b，的大小关系是 ．
13. 已知关于的方程在区间，上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为____________.
14.已知且，，其中e是自然对数的底数，则
A. B. C. D.
15.已知，的根分别为，，则下列关于的式子中等于的是( )
B. C. D.
16.若方程，的根分别为，，则______.
17.（2022·南京零模复习卷·8）已知，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·江苏金陵中学·网课质检卷·7）已知，则与的大小关系是
A． B． C． D．不确定
19.（2022·江苏南京零模·8）已知且，其中e是自然对数的底数，则
A. B. C. D.
【答案与提示】
1. 【答案】B
【解析】∵
∴，故
设，则为增函数，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选B.
2.【答案】A
【分析】将已知按照“左右形式形式相当，一边一个变量”的目的变形，然后逆用函数的单调性.
【解析】由移项变形为
设
易知是定义在R上的增函数，故由，可得，所以 从而，故选A．
3. 【答案】BD
可变形为
设（），则，是奇函数且在单减
所以，故，排除A．
对于B，由权方和不等式有，故B正确．
对于C，当时，，不成立.
对于D，
，所以，故D正确．
4.【答案】
【提示】变形为.
5.【解析】原不等式可化为：
构造函数，则，在上单增
所以，解之得
所以原不等式解集是.
6.【答案】
【分析】本题的实质是含参数（这里当然是sin、cs）的不等式恒成立问题，应抓住已知条件的对称结构，构造函数，利用函数的单调性布列不等式.
【解析】看到想“对称结构”，将它变形为：
，
设，
易知当时，，故在单减，
所以，解之得：
所以的取值范围．
7.【答案】2
【分析】将化为：，设，则在上递增，由，得a＋b的值.
【解析】由，化简为：，即，
设，则在上递增，因为a，b(0，2)，所以2-b(0，2)，
且，所以，即.
8.【答案】4
9.【答案】2
【解析】由题意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2，
设f (x)＝x3－3x2＋5x－3，则f (a)＝－2，f (b)＝2.
因为f (x)图象的对称中心为(1,0)，所以a＋b＝2.
点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数f (x)y＝ax3＋bx2＋cx＋d其对称中心为(x0，f (x0))，其中f ″(x0)＝0.
10.【答案】
【分析】直接解显然是不对路的.观察不等式的特征，发现其含有两个因式，将不等式转化为“一边一个变量”的形式为：，构造函数，题目转化为求解的问题. 因为，易知恒成立，故为上的单调增函数，所以由立得：，解之得.
11. 【答案】C
12.【答案】
【提示】
构造函数，单增.
13.【答案】
【解析】因为方程，所以变形为，
令，则有，
因为在上单调递增，所以即为，
故当时，有两个不相等的实数根，
在中，则有，即，解得，
所以实数的取值范围为．
14.【答案】A
【解析】设，则，
又，所以在上单调递增，
所以，即，
因为，所以在上单调递减，所以.
15.【答案】C
16.【答案】4
【提示】对于方程两边同时除以9得，即①
，即 ②
②为同一方程，故，代入得，故.
17.【答案】B
【解析】考察函数，易得
∴在单增
∵ 且，
∴，故，B正确.
18.【答案】C
【分析】所求即判断、的大小，应考察函数的单调性及、的大小.
【解析】由已知得，，在同一坐标系内作出函数、及图象，由图象不难得出
考察函数，
∴在单增
∴，故，C正确.
19.【答案】A
【解析】设，则，
又，所以在上单调递增，
所以，即，
因为，所以在上单调递减，所以.A．
B．
C．
D．