专题16 运用同构求值-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题16 运用同构求值

【方法点拨】

含有指对运算的方程称之为超越方程，遇到相关的求值问题,可考虑”同构”,其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数利用函数的单调性，最终利用两方程“同解”来求解.

【典型题示例】

例1   (2022·新高考I·22改编)已知函数和，存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标分别为，则           ．

【答案】2

【分析】由“等高”得，即，这样就建立间的等量关系，为达到“减元”之目的，需在纷杂的关系中，梳理出、两组关系，发现“指对同现”想“同构”，从而得到，，代入求解即得解.

【解析】令得

所以函数在上为减函数，在上为增函数，且.

令得

所以函数在上为减函数，在上为增函数，且.

故函数和有相同的最小值1

如下图所示，当直线过函数和的交点时，满足题意，

此时，故

由，

得

即

一方面，而

所以

又因为，，且在上为减函数

所以，所以

另一方面，由，同理可得

所以

再由和得

据果移项得，所以

综上，.

例2    (2022·四川·成都·二检)已知函数的零点为，则      .

【答案】1

【分析】“据果变形”， 由题意得 ，所以，观察期结构特征，对右侧实施变形，设即可.

【解析】由题意得:

∴

设在上单增

故有，即

∴.

例3      (2022·江苏七市三模)已知函数的零点为，的零点为，则

A． B． 

C． D．

【答案】BCD

【解析】，则，

显然单增，故等价于，则，故A错误；

因为单增，且，故，则

故，则B正确；

，则C正确；

D.，因为，故，

则，而，则，故D正确.

例4  已知实数，满足，，则______.

【答案】

【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解.

【解析一】实数，满足，，

，，则，

，

所以在单调递增，而，

.

【解析二】对两边取自然对数得：，

对两边取自然对数得：    （※）

为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：

设，则

所以在单调递增，的解只有一个.

∴， ∴

点评:两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解.

例5    已知实数a，b满足，，则a＋3b＝       ．

【答案】16

【解析】令，则 ，代入可化为，即

设，则，在上单增

故只有一个零点

所以，即，

所以.

例6    已知实数满足，，则            （     ）

A.112           B.28             C.7           D.4

【答案】，，即，

设，则，且易知其为定义在（0，+∞）上的单增函数

故，即，选B.

例6    已知实数满足，，则（     ）

A.0           B.2            C.4           D.6

【答案】B

【解析】

设，则，

则，且，

故为定义在R上的单增函数，且

所以，即，选B.

【巩固训练】

1.已知、分别是方程、的根，则＋的值是          .

2.已知实数x、y满足，则的值是          .

3.方程的根是          .

4.已知实数a，b(0，2)，且满足，则a＋b的值为_______．

5.设方程的根为，方程的根为，则=           .

6.已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是          .

7. 若满足2x+=5， 满足2x+2(x－1)=5， +＝  (     )

A.      B.3        C.     D.4

【答案或提示】

1.【答案】－1

【提示】设，则，单增.

由，得

代入得，即，得＋＝－1.

2.【答案】2020

【提示】两边取自然对数得

设，则易得其为上的单增奇函数

所以，

故.

3.【答案】

【分析】利用“同构”构造函数，再利用函数的单调性.

【解析】原方程可化为

设，易得其为上的单增奇函数

所以，即为所求.

4.【答案】2

【分析】将化为：，设，则在上递增，由，得a＋b的值.

【解析】由，化简为：，即，

设，则在上递增，因为a，b(0，2)，所以2-b(0，2)，

且，所以，即.

5.【答案】4

6.【答案】2

【解析】由题意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2，

设f (x)＝x3－3x2＋5x－3，则f (a)＝－2，f (b)＝2.

因为f (x)图象的对称中心为(1,0)，所以a＋b＝2.

点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数f (x)y＝ax3＋bx2＋cx＋d其对称中心为(x0，f (x0))，其中f ″(x0)＝0.

7. 【答案】C