专题41 与过定点的直线相关的最值-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题41 与过定点的直线相关的最值

【方法点拨】

1. 选择直线方程的适当形式，若设为截距式，实质是引入了双元；若设为斜截式，则是引入了单元.无论那种形式，都有注意参数的范围.
2. 当求线段被定点分成两条线段之积的最值时，转化为向量的数量积的坐标形式求解较简单，也可引入角为变量，建立关于角的目标函数，利用三角函数的有界性求解.

【典型题示例】

例1    已知直线过定点，且交轴负半轴于点､交轴正半轴于点，点为坐标原点，则取得最小值时直线的方程为              .

【答案】

【解析一】设直线的方程为（其中）

∵直线过点，∴

∵，

∴，

当且仅当，时取等号，所以直线的方程为.

【解析二】设直线的方程为（其中）

令，；令，

∵，

∴当且仅当，即时取等号，所以直线的方程为.

例2     已知直线过定点，且交轴负半轴于点､交轴正半轴于点，则取得最小值时直线的方程为              .

【答案】

【解析一】（截距式+向量+基本不等式中的“1”的代换）

设直线的方程为（其中）

∵直线过点，∴，

∵，，三点共线，

∴，

当且仅当，时取等号，所以直线的方程为．

【解析二】（斜截式+向量+基本不等式）

设直线的方程为（其中）

令，；令，

∴，

∵，，三点共线，

∴，

当且仅当，即时取等号，所以直线的方程为．

【解析三】（作垂线，利用直角三角形边角关系，三角函数有界性）

过点分别向轴、轴作垂线，设（其中）

则，

∴

当且仅当，即时取等号，此时直线的斜率为1

∴直线的方程为．

例3  已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，则直线l的方程是           ．

【答案】x＋2y－4＝0

【解析一】设直线l的方程为y－1＝k(x－2) （其中k＜0）

则可得A，B(0,1－2k)．

∵S△AOB＝·|OA|·|OB|＝··(1－2k)＝≥＝4

当且仅当－＝－4k，即k＝－时，△AOB面积有最小值为4，

此时，直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.

【解析二】设所求直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，则＋＝1.

又∵＋≥2⇒ab≥4，

当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝ab有最小值为4.

此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0.

【解析三】过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别是

设（其中）

则，

∴

当且仅当，即时取等号，此时直线的斜率为

∴直线l的方程是x＋2y－4＝0.

例4    已知直线，且与轴、轴分别交于、两点．若使的面积为的直线共有四条，则正实数的取值范围是　    　．

【答案】

【分析】由于直线过定点（2,3），故直线与第二、四象限围成的的面积可以取任意实数，换言之，当给定一正实数时，直线与第二、四围成的面积为的直线有且仅有两条，故只需考虑与第一象限围成的的面积为的直线有两条即可，由于与第一象限围成的的面积有最小值，根据对称性，大于该最小值的直线有两条，故问题转化为求与第一象限围成的的面积的最小值.

【解析一】∵直线与轴，轴交点的坐标分别是，，．

∴．

当时，，

，当且仅当时取等号．

当时，在时，有两值；

当时，，

．当且仅当时取等号．

当时，仅有一条直线使的面积为；

当时，仅有两条直线使的面积为；

当时，仅有三条直线使的面积为；

当时，仅有四条直线使的面积为．

故答案是：．

【解析二】直线过定点（2,3），

先求直线l与第一象限围成的的面积的最小值，则所求m大于该最小值时，满足题意

∵，，（）

∴

当且仅当，即时取等号

∴当时，仅有四条直线使的面积为．

故答案是：．

【巩固训练】

1. 直线 （ 且不同时为0）经过定点_________．

2.过点P(－2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线共有_________条．

3.已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，则当||·||取得最小值时，直线l的方程为________．

4.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，则S取得最小值时直线l的方程是       ．

5. 一直线过点且与轴、轴的正半轴分别相交于、两点，为坐标原点．则的最大值为 　       　．

6.已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当的面积取最小值时为坐标原点），则的值为　　

A． B． C． D．

7.（多选题）已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　　)

A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直

B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(－1,0)

C．不论a为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称

D．如果l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是

【答案或提示】

1. 【答案】

【解析】直线过定点，则意味着定点坐标使得参数“失去作用”——即无论参数取何值，不会影响表达式的值，能够达到此功效的只有让参数与“0”相乘，所以考虑将已知直线进行变形，将含的项与含的项分别归为一组，可得：，若要让“失去作用”，则，解得，即定点为 .

2.【分析一】直接设点斜式或截距式求出.

【解析一】设过点P(－2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k，则有直线的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为M(0，2k＋3)、N．再由12＝OM·ON＝|2k＋3|×|－2－|，可得|4k＋＋12|＝24，即4k＋＋12＝24，或4k＋＋12＝－24．解得k＝或k＝或k＝，故满足条件的直线有3条．

【分析二】求出与x轴负方向、y轴正方向所围成三角形面积的最小值，若大于12，满足条件的直线有二条；若小于12，满足条件的直线有四条；若大于12，满足条件的直线有三条.

3.【答案】x＋y－3＝0　

【解析】设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，

直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1.

||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5

＝(2a＋b)－5＝＋≥4，

当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.

4.【答案】x－2y＋4＝0

【解析】由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．

依题意得解得k>0.

∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，

“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，

∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

5. 【答案】

【解析】设，，，，

则直线方程的截距式为，

由在直线上可得：，即，

因为，所以，当且仅当，时取等号，

所以

．

故答案为：．

6.【答案】C

【解析】由直线，，

可得，．

当的面积，

令，，

当，即时，取得最小值．

故选C．

7.【答案】　ABD

【解析】　对于A，a×1＋×a＝0恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；

对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，

所以l1恒过定点A(0,1)；

l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，

所以l2恒过定点B(－1,0)，故B正确．

对于C，在l1上任取点，

关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为，

代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不等于0，故C不正确；

对于D，联立解得

即M，

所以|MO|＝＝≤，

所以|MO|的最大值是，故D正确.故选ABD.