专题43 相关点法确定圆的轨迹-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题43 相关点法确定圆的轨迹

【方法点拨】

1.双动点、一显一隐：已知条件中有两个动点，一个动点的轨迹明显易求，另一个隐藏极深难求.

2.建立关联：即建立双动点的关系，最好以向量的形式出现，从而便于使用坐标形式.

3.消显现隐：利用显动点的轨迹方程，通过代入，从而求出隐动点的轨迹方程.

【典型题示例】

例1   在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），B，C是圆O：x2+y2=4上的两动点，且，若圆O上存在一点P使得（），则正数的取值范围是             ．

【答案】[4，6]

【分析】BC是定长弦，动中取静，直接取BC的中点为D，易求出点D的轨迹方程是x2+y2=1，再求另一动点P的轨迹方程，利用m的几何意义求出其取值范围.

【解析】设BC的中点为D，则，故点D的轨迹方程是x2+y2=1

∵D为BC的中点

∴

∴

设，

∴，故有

又∵在圆O上

∴，故有

这里的几何意义是点到点 A（3,4）的距离

又∵点D的轨迹方程是x2+y2=1

∴点到点 A（3,4）距离的最大值是6，最小值是4

∴的取值范围是[4，6].

例2   已知AB是圆O：x2+y2=2的一条弦，且，M是AB的中点，若动点P(t，t＋2)，Q(m，－2)，使得四边形PMOQ为平行四边形，则实数m的最大值是             ．

【答案】－3

【解析】易得点M的轨迹方程是

∵四边形PMOQ为平行四边形

∴

设     ∴，

又∵在圆上

∴，可看作动点与动点距离的平方是

∴实数m的最大值是－3．

例3    在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+(y－1)2=1及点，设点P圆C上的一动点，在△ACP中，若∠ACP的平分线与AP相交于Q(m，n)，则的取值范围是             ．

【答案】

【解析】由角平分线性质定理得     ∴

设     ∴，故有

又∵在圆C上

∴，即

故点Q的轨迹是以为圆心为半径的圆

∵的几何意义是点Q到坐标原点的距离

∴的最大值、最小值分别是、

故的取值范围是．

【巩固训练】

1.若点在圆上运动，点在轴上运动，定点，则的最小值为           .

2.在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x＋4)2＋(y－a)2＝16上两个动点，且AB＝2．若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，使得＋＝，则实数a的值为       ．

3.已知是边长为的等边三角形，点是以为圆心的单位圆上一动点，点满足，则的最小值是             ．

4.在平面直角坐标系中，已知点，、为圆上的两动点，且，若圆上存在点，使得，则的取值范围为________.

5.已知点D为圆O：x2＋y2＝4的弦MN的中点，点A的坐标为(1，0)，且，则的最小值为             ．

6.在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点

，则的取值范围是          ．

7.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则·的最小值是________．

8.在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为       ．

9.已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|＋|的取值范围是       ．

10.设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，则点P的轨迹是       ．

【答案或提示】

1. 【答案】3

【解析】设的中点为，，

则，所以

∵点在圆上            

∴，即

它表示以为圆心，为半径的圆

∴

∵为的中点

∴

故的最小值为3.

2.【答案】2或-18

【解析一】设AB的中点为M(x0，y0)，P(x，y)，

则由AB＝2，得CM＝＝，即点M的轨迹为(x0＋4)2＋(y0－a)2＝5.

又因为＋＝，所以＝，

即(x0－x，y0－y)＝，

从而则动点P的轨迹方程为(x＋2)2＋2＝5，

又因为直线l上存在唯一的一个点P，所以直线l和动点P的轨迹(圆)相切，

则＝，解得a＝2或a＝－18.

【解析二】由题意，圆心C到直线AB的距离d＝＝，

则AB中点M的轨迹方程为(x＋4)2＋(y－a)2＝5.

由＋＝，得2＝，所以∥.

如图，

连结CM并延长交l于点N，则CN＝2CM＝2.

故问题转化为直线l上存在唯一的一个点N，使得CN＝2，所以点C到直线l的距离为＝2，解得a＝2或a＝－18.

3.【答案】 

【解析】以点为坐标原点，为轴正半轴，使得落在第一象限，建立平面直角坐标系

设，

则由得：，故

∵点在单位圆上

∴

即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆

又，所以的最小值是．

4.【答案】

【分析】取中点为，连接，得到，由得到，再由、为圆上的两动点，且，得到

，设，求出点的轨迹，再由点与圆位置关系，求出的取值范围，即可求出结果.

【解析】取中点为，连接，

则，

又圆上存在点，使得，

所以，

因此，即；

因为、为圆上的两动点，且，

所以，设 ，

则，即即为动点的轨迹；

所以表示圆上的点与定点之间的距离，

因此，即.

即.

故答案为：

5.【答案】

【解析】∵

∴，

设，则，即

设（其中）

则

所以（当时，“=”成立）.

6.【答案】

7.【答案】8－8

8.【答案】3

9.【答案】

10.【答案】圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和

【解析】如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为．由于平行四边形的对角线互相平分，

故＝，＝．从而．

N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4．

因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，

但应除去两点和(点P在直线OM上的情况)．