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专题03 等式与不等式的性质-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）
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专题03等式与不等式的性质
【考点预测】
1.比较大小基本方法
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
2.不等式的性质
（1）基本性质
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向
可加性
同向同正
可乘性
可乘方性
【方法技巧与总结】
1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.
2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.
【题型归纳目录】
题型一：不等式性质的应用
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
题型四：不等式的综合问题
【典例例题】
题型一：不等式性质的应用
例1．（2022·北京海淀·二模）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
取特殊值即可判断A、C、D选项，因式分解即可判断B选项.
【详解】
对于A，令，显然，错误；
对于B，，
又不能同时成立，故，正确；
对于C，取，则，错误；
对于D，取，则，错误.
故选：B.
例2．（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由不等式的基本性质和特值法即可求解.
【详解】
对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；
对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；
对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.
例3．（2022·山西·模拟预测（文））若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对于A，利用不等式的性质判断，对于B，利用基本不等式判断，对于C，利用指数函数的性质判断，对于D，举例判断
【详解】
∵，∴，∴，故A错误；
∵，∴，∴．
∵，∴，故B正确；
∵，∴．故C错误；
令，此时．故D错误．
故选：B．
（多选题）例4．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用不等式的性质及特殊值法判断即可．
【详解】
解：对于非零实数，满足，则，
即，故A一定成立；
因为，故B一定成立；
又，即，所以，故C一定成立；
对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立．
故选：ABC
（多选题）例5．（2022·重庆八中模拟预测）已知，，且，则下列不等关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断.
【详解】
对于A，由 ， ，当且仅当 时等号成立，
， ， ，
当且仅当 时等号成立，故A正确；
对于B，由，得 ，
由基本不等式得 ，当且仅当a=b=1时成立；故B正确；
对于C，若 满足， ，故C错误；
对于D，∵，∴ ，由B的结论得 ，
，
，故D正确；
故选：ABD.
（多选题）例6．（2022·广东汕头·二模）已知a，b，c满足c
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质求解.
【详解】
解：因为a，b，c满足c
所以ac（a-c）<0 ，c（b-a）<0，，，
故选：BCD
（多选题）例7．（2022·福建三明·模拟预测）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据条件可得，的符号不能确定，然后依次判断即可.
【详解】
因为，，所以，的符号不能确定，
当时，，故A错误，
因为，，所以，故B正确，
因为，所以，故C正确，
因为，所以，所以，所以，故D错误，
故选：BC
【方法技巧与总结】
1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2．充分利用基本初等函数性质进行判断．
3．小题可以用特殊值法做快速判断．
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
例8．（2022·全国·高三专题练习（文））设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性判断，再由作商法判断.
【详解】
因为函数是减函数，所以，所以
，所以，
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查了利用指数函数的单调性比较大小，属于中档题.
例9．（2022·全国·高三专题练习）若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
【答案】＜
【解析】
【分析】
作商法比较大小，结合对数的运算律和性质，即得解
【详解】
易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
故答案为：＜
例10．（2022·全国·高一）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）与作差，判断差的正负即可得出结论；
（2）结合不等式的性质分析即可证出结论.
【详解】
（1）由题意，
，
所以．
（2）证明：因为，所以，即，
而，所以，则．得证．
例11．（2022·湖南·高一课时练习）比较与的大小．
【答案】<
【解析】
【分析】
做差比较大小即可.
【详解】
,
<.
例12．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
利用作差法得出大小关系.
(1)
因为，所以，当且仅当时，取等号.
即
(2)
因为，所以，当且仅当时，取等号.
故.
【方法技巧与总结】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：
若，则；；；
若，则；；.
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
例13．（2022·浙江·模拟预测）若实数x，y满足，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，求出，再根据不等式的性质即可得出答案.
【详解】
解：设，
则，解得，
故，
又因，
所以，
所以.
故选：A.
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求的范围，再根据不等式的性质，求的范围.
【详解】
因为，所以，
由，得.
故选：A.
例15．（2022·全国·高三专题练习）若满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，求得，且，即可求解.
【详解】
由，可得，
又由，可得，
因为，可得，
所以，即的取值范围是.
故选：A.
例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出的范围.
【详解】
因为－3
【答案】
【解析】
【分析】
由结合不等式的性质得出答案.
【详解】
解：，即
故6x＋5y的取值范围为．
故答案为：
例18．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.
【答案】[1,13]
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围.
【详解】
二次函数f(x)对称轴为，
∵f(x)值域为，
∴且，n＞0.
，
∵
====
∴，，
∴∈[1,13].
故答案为：[1,13].
例19．（2022·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式的性质求得的取值范围.
【详解】
由于，且，
所以，，
，
所以.
故答案为：
例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，当时，恒成立，则____________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
可以取特殊值时，恒成立，从而求出a和b﹒
【详解】
当时，恒成立，则对任意恒成立，
则时，恒成立
①
②
③
④
①+②
③+④
，
代入①
代入③
，
，
﹒
证明满足题意：
，则，
1
↗
极大值：1
↘
极小值：
↗
1
由表可知，|f(x)|≤1在[-1，1]上恒成立满足题意﹒
故答案为：-3.
【点睛】
本题考察恒成立问题，根据函数和区间的特殊性，可取特殊值得到关于a和b的不等式组，求出a和b的范围，从而确定a和b的取值﹒
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是___.
【答案】[e，7]
【解析】
【分析】
由题意可求得7；由lnb≥a可得（b），设函数f（x）（x），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值.
【详解】
∵正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，
∴5﹣3a≤4﹣a，
∴a.
∵5﹣3a≤b≤4﹣a，
∴31.
从而7，
∵lnb≥a，∴（b），
设f（x）（x），则f′（x），
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x＝e时，f′（x）＝0，
∴当x＝e时，f（x）取到极小值，也是最小值.
∴f（x）min＝f（e）＝e.
∴e，
∴的取值范围是[e，7].
故答案为：[e，7].
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知均为正实数，且，那么的大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可
【详解】
因为均为正实数，所以由题可得：，即，，，三式相加得：，所以
所以的最大值为4
故答案为：4
【方法技巧与总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.
题型四：不等式的综合问题
例23．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知，且则下列不等式中恒成立的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
①，分析得到所以正确；②，构造函数举反例判断得解；③，构造函数利用函数单调性判断得解；④，转化为判断，再构造函数利用导数判断函数的单调性即得解.
【详解】
解：①，若，所以矛盾，所以所以正确；
②，，设，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，因为，所以不恒成立，如，所以该命题错误；
③，，设在单调递增，因为，所以恒成立，所以该命题正确；
④，，
设，
所以
，
所以函数在单调递增，在单调递减.
取
设，所以在单调递增，
，，
所以存在，
此时，
所以该命题错误.
故选：B
例24．（2022·江西·临川一中高三期中（文））若实数a，b满足，则下列选项中一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由得到或，再利用不等式的性质、函数的单调性进行判定.
【详解】
因为，所以，
显然，所以，
所以或，
即或；
若，则，，，；
若，则，，，；
即一定成立的是选项D.
故选：D.
例25．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若，，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对于A，作商比较，对于B，令判断，对于C，利用在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积判断，对于D，利用放缩法判断
【详解】
解：对于A选项，由于，，故由对数的定义得，，
所以
，所以，故错误；
对于B选项，令，则，此时，故错误；
对于C选项，因为，在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积，
所以，故正确；
对于D选项，由于，故错误．
故选：C
（多选题）例26．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义得，再根据基本不等式与柯西不等式可判断出答案.
【详解】
设切点为，
因为，所以，得，
所以，所以，
对于 A，，所以，当且仅当时，等号成立，故A不正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，时，等号成立，故C正确；
对于D，，
所以 ，当且仅当，又，即时，等号成立.
故选：BCD
（多选题）例27．（2022·辽宁辽阳·二模）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
由不等式的性质与基本不等式对选项逐一判断
【详解】
对于A，，，所以，故A错误，
对于B，，即，，，故B正确，
对于C，，，故C错误，
对于D，，当且仅当时，等号成立，故D正确．
故选：BD
（多选题）例28．（2022·重庆八中模拟预测）已知，，且，则下列不等关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断.
【详解】
对于A，由 ， ，当且仅当 时等号成立，
， ， ，
当且仅当 时等号成立，故A正确；
对于B，由，得 ，
由基本不等式得 ，当且仅当a=b=1时成立；故B正确；
对于C，若 满足， ，故C错误；
对于D，∵，∴ ，由B的结论得 ，
，
，故D正确；
故选：ABD.
例29．（2022·全国·高三专题练习）若，，设，则的最小值为__．
【答案】##
【解析】
【分析】
将化简可得，由此即可求出结果.
【详解】
因为
．
当且仅当，时取等号．
所以的最小值为．
故答案为：．
例30.（2022·四川泸州·三模（理））已知x、，且，给出下列四个结论：
①；②；③；④．
其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．
【答案】①④
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x＝0、y＝3可判断②，取特殊值y＝可判断③．
【详解】
对于①，∵，
∴由得，，
即，解得(当且仅当时取等号)，故①一定成立；
对于②，当3时，成立，但不成立，故②不一定成立；
对于③，当时，由得，
则，即，故③不一定成立；
④将两边平方得，
∴，
由①可知：
，
∴，当且仅当时取等号，因此④一定成立﹒
故答案为：①④﹒
【点睛】
本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于②和③，取特殊值验算即可快速求解﹒
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
平均速度等于总路程除以总时间
【详解】
设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则
，，，
∴，，
故选:D.
2．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用特殊值法，结合已知逐一判断即可.
【详解】
因为，所以，选项A正确；
当时，显然满足，但，选项B不正确；
当时，显然满足，但，选项C不正确；
当时，显然满足，但是，选项D不正确，
故选：A
3．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对于A、B，构造函数，借助函数单调性比大小；
对于C， 没有意义；
对于D，取特值判断.
【详解】
对于A，构造函数，因为单调递增，又，所以，，，故A答案不对；
对于B ，构造函数，因为单调递增，又，所以，，故B答案正确；
对于C，，没有意义，故C答案不对；
对于D，取时，，故D答案不对；
故选：B.
4．（2022·重庆·二模）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，由，因为，可得，当不确定，所以A错误；
对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误；
对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误；
对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确.
故选：D.
5．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A，B，C可以取特殊值验证，对于D，根据题意得，，利用基本不等式求解即可.
【详解】
对于A：当，时不成立，故A错误；
对于B：当，，所以，，即，故C错误；
对于C：当时不成立，故C错误；
对于D：因为，所以，又，
所以（等号成立的条件是），故D正确.
故选：D.
6．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知，，，则以下正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
A：取特例即可判断；
B：求出，，根据幂函数在(0，1)之间的性质即可判断；
C：根据不等关系即可求解判断；
D：构造并判断其范围，表示出，结合C项范围即可判断.
【详解】
A：若，取，则，故A错误；
B：若，则，，∴，故B错误；
C：当时，∵，∴，∴，∴，故C错误；
D：当时，，
，由C知，，
，，故D正确.
故选：D.
7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，，则下列结论正确的有（ ）
① ② ③ ④
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】
【分析】
求出、的值，比较、的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本性质以及基本不等式逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
因为，，则，.
对于①，，则，从而，
，则，则，即，①对；
对于②，，
因为，则，，所以，，②错；
对于③，，
所以，，
所以，，③错；
对于④，构造函数，其中，则.
当时，，则函数在上单调递增，
因为，则，即，可得，所以，，④对.
故选：B.
8．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对选项A，令即可检验；对选项B，令即可检验；对选项C，令即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可.
【详解】
若，则
可得：，故选项A错误；
若，则
可得：，故选项B错误；
若，则
可得：，故选项C错误；
不妨设的首项为，公差为，则有：
则有：，故选项D正确
故选：D
二、多选题
9．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a和b，满足，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
A选项，利用作出判断；B选项，利用基本不等式即函数单调性求解；CD选项，用作差法求解.
【详解】
由于两个不相等的正实数a和b，满足，所以a和b可取一个比1大，一个比1小，即，故，A错误；
由题意得：，所以，B正确；
，其中，但不知道a和b的大小关系，故当时，，当时，，C错误；
，其中，，所以，即，D正确.
故选：BD
10．（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质依次判断选项即可.
【详解】
A：由且，可知a>0，c<0，b的值不确定，
故由，不能推出，故A错误；
B：由，得，故B正确；
C：由于，，得，故C正确；
D：由得.所以，故D正确，
故选：BCD.
11．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
对于A，利用幂函数的性质判断，对于BC，利用对数函数的性质判断，对于D，利用不等式的性质分析判断
【详解】
对于A，因为，所以在上单调递增，因为，所以，所以，所以A错误，
对于B，因为，所以当时，，因为，所以，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以，所以C错误，
对于D，因为，所以，所以，所以D正确，
故选：BD
12．（2022·河北保定·一模）已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
在同一直角坐标系中画出的图象，可判断AB，然后结合不等式的性质可判断CD.
【详解】
函数在同一坐标系中的图象如下：
所以，
所以
所以
所以，
故选：BD
三、填空题
13．（2022·四川泸州·三模（文））已知x，，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）．
【答案】①④
【解析】
【分析】
根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可.
【详解】
①：因为，
所以有，故本结论一定成立；
②：当时，显然成立，但是不成立，故本结论不一定成立；
③：当时，显然成立，但是不成立，故本结论不一定成立；
④：因为，所以，由①可知：
，
所以，因此本结论一定成立，
故答案为：①④
14．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数、满足，，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，利用待定系数法求出的值，然后根据不等式的性质即可求解.
【详解】
解：设，则，解得，
所以，
因为，，
所以，，
所以，
故答案为：.
15．（2022·全国·高三专题练习）如果a>b，给出下列不等式：
①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
【答案】②⑥
【解析】
【分析】
对分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.
【详解】
令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
【点睛】
本小题主要考查实数比较大小，使用的方法较多，一个是特殊值比较法，也就是对问题中的举出一些具体的数值，然后对不等式的正确与否进行判断.第二个是用函数的单调性的方法来比较，即是如果要比较的两个数和某个函数有点接近，如本题中②，用幂函数的单调性来判断.第三个是用差比较法来判断，如本题中的⑥.
16．（2022·全国·高三专题练习）设x，y为实数，满足，，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
利用方程组形式，可得，求得后结合不等式性质即可求得的最小值.
【详解】
设
即
所以，解得
所以
因为，，
所以
由不等式性质可知
即，当且仅当时取等号，解得.
综上可知，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属于中档题.
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知，，．
（1）试比较与的大小，并证明；
（2）分别求，的最小值．
【答案】（1）；证明见解析 ；（2） ，的最小值都是8．
【解析】
【分析】
（1）利用作差比较法，得到，即可求解；
（2）化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
（1）与的大小为，
证明：由，
因为，，所以，，，，
所以，所以.
（2）因为
，
当时取等号，
又由（1），所以，的最小值都是8．
18．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a，b均为正实数.试比较与的大小；
（2）已知a≠1且a∈R，试比较与的大小.
【答案】（1）≥；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）将目标代数式作差得，即可知大小关系；
（2）利用“作差法”有，对a分类讨论即可判断大小.
【详解】
（1）∵a，b均为正实数，
∴，即≥.
（2）由.
①当a=0时，0，则；
②当a<1且a≠0时，0，则；
③当a>1时，0，则.
综上，当a=0时，；当a<1且a≠0时，；当a>1时，.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①；②；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明.
【答案】可组成3个正确命题，证明见解析.
【解析】
【分析】
根据不等式的性质逐个分析每个命题的真假即可.
【详解】
（1）对②变形：，由得②成立，∴①③②.
（2）若，则，∴①②③.
（3）若，则，∴②③①.
综上所述，可组成3个正确命题.
20．（2022·全国·高三专题练习）已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与的取值范围.
【答案】－7＜a－b＜2；＜＜2.
【解析】
利用不等式的基本性质由2＜b＜8，得－8＜－b＜－2，再由 1＜a＜4，利用加法性质求解.
根据2＜b＜8，得＜＜，再由1＜a＜4，利用乘法性质求解.
【详解】
因为1＜a＜4，2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2.
所以1－8＜a－b＜4－2，
即－7＜a－b＜2.
因为2＜b＜8，
所以＜＜，
所以＜＜＝2，
即＜＜2.
【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质，变形转化是关键，属于基础题.
21．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知
(1)证明：；
(2)已知，，求的最小值，以及取得最小值时的，的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为， 或
【解析】
【分析】
（1）利用作差法证明不等式；
（2）令代入（1）中不等式可得最小值及取得最小值是值．
(1)
因为
，
所以，当且仅当时取等号．
(2)
由（1）可得，
所以，即，
当且仅当时取等号．
由，解得或．
综上，的最小值为，此时，的值为或．
22．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数，其图像过点，且与直线有交点.
（1）求证：；
（2）若直线与函数的图像从左到右依次交于 A，B，C，D四点，若线段能构成钝角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）函数的其图象与直线有交点，得到有实根，根据判别式即可求出答案；
（2）点A与点D，点B与点C关于对称轴对称，，据线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，得到的关系，再设是方程的两根和是方程=0的两根，代入计算即可.
【详解】
解：（1）因为，，
所以，
又因为，
所以；
又因为函数的图象与直线有交点，
所以方程有实根，即
.
所以，知或.
综上可得；
（2）因为点A与点D、点B与点C关于对称轴对称，
设，，
因为线段，，能构成钝角三角形，
所以，得.
故，
所以.
设，是方程的两根，
则
设，是方程的两根，
所以
所以
解之得.
专题03等式与不等式的性质
【考点预测】
1.比较大小基本方法
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
2.不等式的性质
（1）基本性质
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向
可加性
同向同正
可乘性
可乘方性
【方法技巧与总结】
1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.
2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.
【题型归纳目录】
题型一：不等式性质的应用
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
题型四：不等式的综合问题
【典例例题】
题型一：不等式性质的应用
例1．（2022·北京海淀·二模）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
取特殊值即可判断A、C、D选项，因式分解即可判断B选项.
【详解】
对于A，令，显然，错误；
对于B，，
又不能同时成立，故，正确；
对于C，取，则，错误；
对于D，取，则，错误.
故选：B.
例2．（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由不等式的基本性质和特值法即可求解.
【详解】
对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；
对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；
对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.
例3．（2022·山西·模拟预测（文））若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对于A，利用不等式的性质判断，对于B，利用基本不等式判断，对于C，利用指数函数的性质判断，对于D，举例判断
【详解】
∵，∴，∴，故A错误；
∵，∴，∴．
∵，∴，故B正确；
∵，∴．故C错误；
令，此时．故D错误．
故选：B．
（多选题）例4．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用不等式的性质及特殊值法判断即可．
【详解】
解：对于非零实数，满足，则，
即，故A一定成立；
因为，故B一定成立；
又，即，所以，故C一定成立；
对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立．
故选：ABC
（多选题）例5．（2022·重庆八中模拟预测）已知，，且，则下列不等关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断.
【详解】
对于A，由 ， ，当且仅当 时等号成立，
， ， ，
当且仅当 时等号成立，故A正确；
对于B，由，得 ，
由基本不等式得 ，当且仅当a=b=1时成立；故B正确；
对于C，若 满足， ，故C错误；
对于D，∵，∴ ，由B的结论得 ，
，
，故D正确；
故选：ABD.
（多选题）例6．（2022·广东汕头·二模）已知a，b，c满足c
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质求解.
【详解】
解：因为a，b，c满足c
所以ac（a-c）<0 ，c（b-a）<0，，，
故选：BCD
（多选题）例7．（2022·福建三明·模拟预测）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据条件可得，的符号不能确定，然后依次判断即可.
【详解】
因为，，所以，的符号不能确定，
当时，，故A错误，
因为，，所以，故B正确，
因为，所以，故C正确，
因为，所以，所以，所以，故D错误，
故选：BC
【方法技巧与总结】
1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2．充分利用基本初等函数性质进行判断．
3．小题可以用特殊值法做快速判断．
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
例8．（2022·全国·高三专题练习（文））设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性判断，再由作商法判断.
【详解】
因为函数是减函数，所以，所以
，所以，
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查了利用指数函数的单调性比较大小，属于中档题.
例9．（2022·全国·高三专题练习）若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
【答案】＜
【解析】
【分析】
作商法比较大小，结合对数的运算律和性质，即得解
【详解】
易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
故答案为：＜
例10．（2022·全国·高一）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）与作差，判断差的正负即可得出结论；
（2）结合不等式的性质分析即可证出结论.
【详解】
（1）由题意，
，
所以．
（2）证明：因为，所以，即，
而，所以，则．得证．
例11．（2022·湖南·高一课时练习）比较与的大小．
【答案】<
【解析】
【分析】
做差比较大小即可.
【详解】
,
<.
例12．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
利用作差法得出大小关系.
(1)
因为，所以，当且仅当时，取等号.
即
(2)
因为，所以，当且仅当时，取等号.
故.
【方法技巧与总结】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：
若，则；；；
若，则；；.
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
例13．（2022·浙江·模拟预测）若实数x，y满足，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，求出，再根据不等式的性质即可得出答案.
【详解】
解：设，
则，解得，
故，
又因，
所以，
所以.
故选：A.
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求的范围，再根据不等式的性质，求的范围.
【详解】
因为，所以，
由，得.
故选：A.
例15．（2022·全国·高三专题练习）若满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，求得，且，即可求解.
【详解】
由，可得，
又由，可得，
因为，可得，
所以，即的取值范围是.
故选：A.
例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出的范围.
【详解】
因为－3
【答案】
【解析】
【分析】
由结合不等式的性质得出答案.
【详解】
解：，即
故6x＋5y的取值范围为．
故答案为：
例18．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.
【答案】[1,13]
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围.
【详解】
二次函数f(x)对称轴为，
∵f(x)值域为，
∴且，n＞0.
，
∵
====
∴，，
∴∈[1,13].
故答案为：[1,13].
例19．（2022·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式的性质求得的取值范围.
【详解】
由于，且，
所以，，
，
所以.
故答案为：
例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，当时，恒成立，则____________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
可以取特殊值时，恒成立，从而求出a和b﹒
【详解】
当时，恒成立，则对任意恒成立，
则时，恒成立
①
②
③
④
①+②
③+④
，
代入①
代入③
，
，
﹒
证明满足题意：
，则，
1
↗
极大值：1
↘
极小值：
↗
1
由表可知，|f(x)|≤1在[-1，1]上恒成立满足题意﹒
故答案为：-3.
【点睛】
本题考察恒成立问题，根据函数和区间的特殊性，可取特殊值得到关于a和b的不等式组，求出a和b的范围，从而确定a和b的取值﹒
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是___.
【答案】[e，7]
【解析】
【分析】
由题意可求得7；由lnb≥a可得（b），设函数f（x）（x），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值.
【详解】
∵正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，
∴5﹣3a≤4﹣a，
∴a.
∵5﹣3a≤b≤4﹣a，
∴31.
从而7，
∵lnb≥a，∴（b），
设f（x）（x），则f′（x），
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x＝e时，f′（x）＝0，
∴当x＝e时，f（x）取到极小值，也是最小值.
∴f（x）min＝f（e）＝e.
∴e，
∴的取值范围是[e，7].
故答案为：[e，7].
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知均为正实数，且，那么的大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可
【详解】
因为均为正实数，所以由题可得：，即，，，三式相加得：，所以
所以的最大值为4
故答案为：4
【方法技巧与总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.
题型四：不等式的综合问题
例23．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知，且则下列不等式中恒成立的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
①，分析得到所以正确；②，构造函数举反例判断得解；③，构造函数利用函数单调性判断得解；④，转化为判断，再构造函数利用导数判断函数的单调性即得解.
【详解】
解：①，若，所以矛盾，所以所以正确；
②，，设，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，因为，所以不恒成立，如，所以该命题错误；
③，，设在单调递增，因为，所以恒成立，所以该命题正确；
④，，
设，
所以
，
所以函数在单调递增，在单调递减.
取
设，所以在单调递增，
，，
所以存在，
此时，
所以该命题错误.
故选：B
例24．（2022·江西·临川一中高三期中（文））若实数a，b满足，则下列选项中一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由得到或，再利用不等式的性质、函数的单调性进行判定.
【详解】
因为，所以，
显然，所以，
所以或，
即或；
若，则，，，；
若，则，，，；
即一定成立的是选项D.
故选：D.
例25．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若，，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对于A，作商比较，对于B，令判断，对于C，利用在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积判断，对于D，利用放缩法判断
【详解】
解：对于A选项，由于，，故由对数的定义得，，
所以
，所以，故错误；
对于B选项，令，则，此时，故错误；
对于C选项，因为，在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积，
所以，故正确；
对于D选项，由于，故错误．
故选：C
（多选题）例26．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义得，再根据基本不等式与柯西不等式可判断出答案.
【详解】
设切点为，
因为，所以，得，
所以，所以，
对于 A，，所以，当且仅当时，等号成立，故A不正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，时，等号成立，故C正确；
对于D，，
所以 ，当且仅当，又，即时，等号成立.
故选：BCD
（多选题）例27．（2022·辽宁辽阳·二模）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
由不等式的性质与基本不等式对选项逐一判断
【详解】
对于A，，，所以，故A错误，
对于B，，即，，，故B正确，
对于C，，，故C错误，
对于D，，当且仅当时，等号成立，故D正确．
故选：BD
（多选题）例28．（2022·重庆八中模拟预测）已知，，且，则下列不等关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断.
【详解】
对于A，由 ， ，当且仅当 时等号成立，
， ， ，
当且仅当 时等号成立，故A正确；
对于B，由，得 ，
由基本不等式得 ，当且仅当a=b=1时成立；故B正确；
对于C，若 满足， ，故C错误；
对于D，∵，∴ ，由B的结论得 ，
，
，故D正确；
故选：ABD.
例29．（2022·全国·高三专题练习）若，，设，则的最小值为__．
【答案】##
【解析】
【分析】
将化简可得，由此即可求出结果.
【详解】
因为
．
当且仅当，时取等号．
所以的最小值为．
故答案为：．
例30.（2022·四川泸州·三模（理））已知x、，且，给出下列四个结论：
①；②；③；④．
其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．
【答案】①④
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x＝0、y＝3可判断②，取特殊值y＝可判断③．
【详解】
对于①，∵，
∴由得，，
即，解得(当且仅当时取等号)，故①一定成立；
对于②，当3时，成立，但不成立，故②不一定成立；
对于③，当时，由得，
则，即，故③不一定成立；
④将两边平方得，
∴，
由①可知：
，
∴，当且仅当时取等号，因此④一定成立﹒
故答案为：①④﹒
【点睛】
本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于②和③，取特殊值验算即可快速求解﹒
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
平均速度等于总路程除以总时间
【详解】
设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则
，，，
∴，，
故选:D.
2．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用特殊值法，结合已知逐一判断即可.
【详解】
因为，所以，选项A正确；
当时，显然满足，但，选项B不正确；
当时，显然满足，但，选项C不正确；
当时，显然满足，但是，选项D不正确，
故选：A
3．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对于A、B，构造函数，借助函数单调性比大小；
对于C， 没有意义；
对于D，取特值判断.
【详解】
对于A，构造函数，因为单调递增，又，所以，，，故A答案不对；
对于B ，构造函数，因为单调递增，又，所以，，故B答案正确；
对于C，，没有意义，故C答案不对；
对于D，取时，，故D答案不对；
故选：B.
4．（2022·重庆·二模）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，由，因为，可得，当不确定，所以A错误；
对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误；
对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误；
对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确.
故选：D.
5．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A，B，C可以取特殊值验证，对于D，根据题意得，，利用基本不等式求解即可.
【详解】
对于A：当，时不成立，故A错误；
对于B：当，，所以，，即，故C错误；
对于C：当时不成立，故C错误；
对于D：因为，所以，又，
所以（等号成立的条件是），故D正确.
故选：D.
6．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知，，，则以下正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
A：取特例即可判断；
B：求出，，根据幂函数在(0，1)之间的性质即可判断；
C：根据不等关系即可求解判断；
D：构造并判断其范围，表示出，结合C项范围即可判断.
【详解】
A：若，取，则，故A错误；
B：若，则，，∴，故B错误；
C：当时，∵，∴，∴，∴，故C错误；
D：当时，，
，由C知，，
，，故D正确.
故选：D.
7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，，则下列结论正确的有（ ）
① ② ③ ④
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】
【分析】
求出、的值，比较、的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本性质以及基本不等式逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
因为，，则，.
对于①，，则，从而，
，则，则，即，①对；
对于②，，
因为，则，，所以，，②错；
对于③，，
所以，，
所以，，③错；
对于④，构造函数，其中，则.
当时，，则函数在上单调递增，
因为，则，即，可得，所以，，④对.
故选：B.
8．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对选项A，令即可检验；对选项B，令即可检验；对选项C，令即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可.
【详解】
若，则
可得：，故选项A错误；
若，则
可得：，故选项B错误；
若，则
可得：，故选项C错误；
不妨设的首项为，公差为，则有：
则有：，故选项D正确
故选：D
二、多选题
9．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a和b，满足，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
A选项，利用作出判断；B选项，利用基本不等式即函数单调性求解；CD选项，用作差法求解.
【详解】
由于两个不相等的正实数a和b，满足，所以a和b可取一个比1大，一个比1小，即，故，A错误；
由题意得：，所以，B正确；
，其中，但不知道a和b的大小关系，故当时，，当时，，C错误；
，其中，，所以，即，D正确.
故选：BD
10．（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质依次判断选项即可.
【详解】
A：由且，可知a>0，c<0，b的值不确定，
故由，不能推出，故A错误；
B：由，得，故B正确；
C：由于，，得，故C正确；
D：由得.所以，故D正确，
故选：BCD.
11．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
对于A，利用幂函数的性质判断，对于BC，利用对数函数的性质判断，对于D，利用不等式的性质分析判断
【详解】
对于A，因为，所以在上单调递增，因为，所以，所以，所以A错误，
对于B，因为，所以当时，，因为，所以，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以，所以C错误，
对于D，因为，所以，所以，所以D正确，
故选：BD
12．（2022·河北保定·一模）已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
在同一直角坐标系中画出的图象，可判断AB，然后结合不等式的性质可判断CD.
【详解】
函数在同一坐标系中的图象如下：
所以，
所以
所以
所以，
故选：BD
三、填空题
13．（2022·四川泸州·三模（文））已知x，，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）．
【答案】①④
【解析】
【分析】
根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可.
【详解】
①：因为，
所以有，故本结论一定成立；
②：当时，显然成立，但是不成立，故本结论不一定成立；
③：当时，显然成立，但是不成立，故本结论不一定成立；
④：因为，所以，由①可知：
，
所以，因此本结论一定成立，
故答案为：①④
14．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数、满足，，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，利用待定系数法求出的值，然后根据不等式的性质即可求解.
【详解】
解：设，则，解得，
所以，
因为，，
所以，，
所以，
故答案为：.
15．（2022·全国·高三专题练习）如果a>b，给出下列不等式：
①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
【答案】②⑥
【解析】
【分析】
对分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.
【详解】
令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
【点睛】
本小题主要考查实数比较大小，使用的方法较多，一个是特殊值比较法，也就是对问题中的举出一些具体的数值，然后对不等式的正确与否进行判断.第二个是用函数的单调性的方法来比较，即是如果要比较的两个数和某个函数有点接近，如本题中②，用幂函数的单调性来判断.第三个是用差比较法来判断，如本题中的⑥.
16．（2022·全国·高三专题练习）设x，y为实数，满足，，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
利用方程组形式，可得，求得后结合不等式性质即可求得的最小值.
【详解】
设
即
所以，解得
所以
因为，，
所以
由不等式性质可知
即，当且仅当时取等号，解得.
综上可知，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属于中档题.
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知，，．
（1）试比较与的大小，并证明；
（2）分别求，的最小值．
【答案】（1）；证明见解析 ；（2） ，的最小值都是8．
【解析】
【分析】
（1）利用作差比较法，得到，即可求解；
（2）化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
（1）与的大小为，
证明：由，
因为，，所以，，，，
所以，所以.
（2）因为
，
当时取等号，
又由（1），所以，的最小值都是8．
18．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a，b均为正实数.试比较与的大小；
（2）已知a≠1且a∈R，试比较与的大小.
【答案】（1）≥；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）将目标代数式作差得，即可知大小关系；
（2）利用“作差法”有，对a分类讨论即可判断大小.
【详解】
（1）∵a，b均为正实数，
∴，即≥.
（2）由.
①当a=0时，0，则；
②当a<1且a≠0时，0，则；
③当a>1时，0，则.
综上，当a=0时，；当a<1且a≠0时，；当a>1时，.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①；②；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明.
【答案】可组成3个正确命题，证明见解析.
【解析】
【分析】
根据不等式的性质逐个分析每个命题的真假即可.
【详解】
（1）对②变形：，由得②成立，∴①③②.
（2）若，则，∴①②③.
（3）若，则，∴②③①.
综上所述，可组成3个正确命题.
20．（2022·全国·高三专题练习）已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与的取值范围.
【答案】－7＜a－b＜2；＜＜2.
【解析】
利用不等式的基本性质由2＜b＜8，得－8＜－b＜－2，再由 1＜a＜4，利用加法性质求解.
根据2＜b＜8，得＜＜，再由1＜a＜4，利用乘法性质求解.
【详解】
因为1＜a＜4，2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2.
所以1－8＜a－b＜4－2，
即－7＜a－b＜2.
因为2＜b＜8，
所以＜＜，
所以＜＜＝2，
即＜＜2.
【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质，变形转化是关键，属于基础题.
21．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知
(1)证明：；
(2)已知，，求的最小值，以及取得最小值时的，的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为， 或
【解析】
【分析】
（1）利用作差法证明不等式；
（2）令代入（1）中不等式可得最小值及取得最小值是值．
(1)
因为
，
所以，当且仅当时取等号．
(2)
由（1）可得，
所以，即，
当且仅当时取等号．
由，解得或．
综上，的最小值为，此时，的值为或．
22．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数，其图像过点，且与直线有交点.
（1）求证：；
（2）若直线与函数的图像从左到右依次交于 A，B，C，D四点，若线段能构成钝角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）函数的其图象与直线有交点，得到有实根，根据判别式即可求出答案；
（2）点A与点D，点B与点C关于对称轴对称，，据线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，得到的关系，再设是方程的两根和是方程=0的两根，代入计算即可.
【详解】
解：（1）因为，，
所以，
又因为，
所以；
又因为函数的图象与直线有交点，
所以方程有实根，即
.
所以，知或.
综上可得；
（2）因为点A与点D、点B与点C关于对称轴对称，
设，，
因为线段，，能构成钝角三角形，
所以，得.
故，
所以.
设，是方程的两根，
则
设，是方程的两根，
所以
所以
解之得.
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