考点6-2 等比数列(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）

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考点6-2  等比数列    1．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（       ）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.2．（2021·全国·高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（       ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴.故选：A.3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））已知等比数列的公比为2，前n项和为，若，则（       ）A． B．4 C． D．6【答案】D【分析】根据等比数列的性质即可求解.【详解】因为，，则，所以．故选:D4.（2019·全国·高考真题（理））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．【答案】.【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以．5．（2023·全国·高三专题练习）在正项等比数列中，，记数列的前项的积为，若，请写出一个满足条件的的值为__________．【答案】4（答案不唯一）【分析】先求出公比，的通项公式，从而得到，得到的值.【详解】因为为正项等比数列且，所以，又因为，所以，又，所以，则，，因为，所以当时满足要求，故答案为：4     6．（2022·江西·高三阶段练习（理））某数学爱好者以函数图像组合如图“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线与构成，若a，，c依次成等比数列，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由“爱心”图经过点,可求出，再由“爱心”图过点与，可求出，再由a，，c，依次成等比数列可得代入即可求出答案.【详解】解：由“爱心”图知经过点，即，．由“爱心”图知必过点与，所以，得，，若a，，c，依次成等比数列，则，从而，所以．故选:A．7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列，的前项和分别为，，，，当时，，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分别求出，，判断出随着增大而增大，随着增大而减小，且，，即可得到实数的取值范围.【详解】由①，可得②，所以②－①得，即.因为，所以，故是首项为，公比为的等比数列，所以，故.当时，，当时，也符合，故.显然随着增大而增大，随着增大而减小，且，，故要使得恒成立，则.故选：B8．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知数列是等差数列，且．若是和的等差中项，则的最小值为（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】易知是正项等比数列，根据，得到，再根据是和的等差中项，得到，然后结合“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】解：因为数列是等差数列，所以是正项等比数列，又，所以 ，解得 或-1（舍），又因为是和的等差中项，所以，则，即．所以，令，则，所以，当且仅当时，即时取等号．故选：A．9.（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列{}各项均为正数，，、为方程(m为常数)的两根，数列{}的前n项和为，且，求数列的前2022项和为_________．【答案】【分析】首先根据条件求得等比数列{}的前n项和为，代入中可看出可以通过裂项相消法求和．【详解】等比数列{}中、为方程的两根，设数列{}的公比为，则，且又，所以，所以∴∴∴数列的前2022项和，故答案为：.10．（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））设为等比数列的前n项和，已知，，若存在，使得成立，则m的最小值为___．【答案】9【分析】先求出首项和公比，从而得到通项公式及求和公式，然后利用基本不等式求出最小值，从而求出m的最小值.【详解】设的公比为q，由可知，所以，由得：，所以，则，所以，，由题意知存在，使得成立，当且仅当，即时取得等号，所以，故m的最小值为9故答案为：9     11．（2021·全国·高三专题练习（理））数列是以为首项，（）为公比的等比数列，数列满足，数列满足，若为等比数列，则A． B．3 C． D．6【答案】B【详解】由题意，，则，得,要使为等比数列，必有，得，故选B.12．（2022·江西省丰城中学模拟预测（理））记数列中不超过正整数n的项的个数为，设数列的前n项的和为，则等于（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由定义判断出当时，，再变形得到，再按照错位相减法求和，即可求解【详解】，当时，，所以，记，，两式相减得，化简得，所以．故选：B.13．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知数列的前项和，等比数列满足，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用，求出，进而求出，故题干条件转化为对于任意的实数恒成立，设，利用一次函数的单调性得到且，求出的取值范围.【详解】因为.当时，，又当时，，所以.设，则，可得，，所以数列.的通项公式为，，因此原不等式转化为，即对于任意的实数恒成立，设，，可得且，即有，解得：实数的取值范围为.故选：D14．（2018·湖南·雅礼中学高三阶段练习（理））等差数列的公差d≠0，a3是a2，a5的等比中项，已知数列a2，a4，，，……，，……为等比数列，数列的前n项和记为Tn，则2Tn＋9=_______【答案】【分析】根据等差数列及等比中项的定义，求得首项；由等比数列前两项求得公比，进而利用等比数列通项公式与等差数列通项公式求得；利用等比数列及等差数列求和公式即可求得Tn，代入即可求得2Tn＋9．【详解】因为数列是等差数列，且a3是a2，a5的等比中项所以 因为公差d≠0，解得公比 所以 由是等差数列可知所以所以所以 所以15．（2021·全国·一模（理））已知数列的奇数项和偶数项为公比为的等比数列，，且.则数列的前项和的最小值为__________．【答案】【分析】先分为奇数和偶数，利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式，再分奇数项和与偶数项和利用分组求和法、等比数列的前项和公式、等差数列的前项和公式求出数列的前项和，再利用函数的单调性进行比较求解.【详解】当为奇数时，设，；当为偶数时，设，；则；设.当为偶数时，.又.当时，因为是关于的增函数，又也是关于的增函数，所以，因为，所以，所以当为偶数时，最小，；当为奇数时，，又.当时，因为是关于的增函数，又也是关于的增函数，所以，因为，所以，所以当为奇数时，最小，.又因为，所以.故答案为：.