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专题11 导数中的同构问题-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）
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专题11 导数中的同构问题 【考点预测】知识点一、常见的同构函数图像知识点二：同构式的基本概念与导数压轴题1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式。<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围.（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解3、常见的指数放缩：4、常见的对数放缩：5、常见三角函数的放缩：6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：（1） 且时，有（2） 当 且时，有再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）（3）（4）（5）（6）再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：（7）；（8）；【题型归纳目录】题型一：不等式同构题型二：同构变形题型三：零点同构题型四：利用同构解决不等式恒成立问题题型五：利用同构求最值题型六：利用同构证明不等式【典例例题】题型一：不等式同构例1．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））已知，且，，，则（ ）A． B．C． D．例2．（2022·河南焦作·三模（理））设，，，则（ ）A． B．C． D．例3．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）A． B．C． D．题型二：同构变形例4．（2022·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．题型三：零点同构例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3例6．（2021·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（，，）可化为同构方程，则________，________． 例7．（2021·安徽安庆·高三阶段练习（理））在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.（1）求的值；（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.例8．（2022·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．题型四：利用同构解决不等式恒成立问题例9．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ）A． B． C． D．例10．（2022·河南·高三期末（理））若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是______．例11．（2022·全国·高三专题练习）已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________.例12．（2022·全国·高三专题练习）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．例13．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.例14．（2022·全国·高三专题练习）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）A． B． C． D．例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．例16．（2022·河南·高三阶段练习（文））若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．例17．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，对，恒有，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．例18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）A． B． C． D．例19．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知，若时，恒成立，则的最小值为（ ）A． B． C． D．例20．（2022·安徽合肥·高三期末（理））若不等式对恒成立（为自然对数的底数），则实数a的最大值为（ ）A． B． C． D．例21.（2022·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）A． B． C． D．题型五：利用同构求最值例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，则的最小值为（ ）．A． B． C． D．例23．（2022·全国·高三专题练习（理））设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（ ）．A．7 B．9 C．11 D．12题型六：利用同构证明不等式例24．（2022·福建南平·三模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求证：函数有两个零点，且.例25．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数.(1)求的单调区间；(2)证明：当时，.例26．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．例27．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数，.(1)求函数的极值；(2)当x>0时，证明：例28．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数．(1)讨论f(x)的单调性．(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有． 函数表达式图像函数表达式图像函数极值点函数极值点函数极值点函数极值点过定点函数极值点函数极值点函数极值点函数极值点
专题11 导数中的同构问题 【考点预测】知识点一、常见的同构函数图像知识点二：同构式的基本概念与导数压轴题1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式。<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围.（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解3、常见的指数放缩：4、常见的对数放缩：5、常见三角函数的放缩：6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：（1） 且时，有（2） 当 且时，有再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）（3）（4）（5）（6）再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：（7）；（8）；【题型归纳目录】题型一：不等式同构题型二：同构变形题型三：零点同构题型四：利用同构解决不等式恒成立问题题型五：利用同构求最值题型六：利用同构证明不等式【典例例题】题型一：不等式同构例1．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））已知，且，，，则（ ）A． B．C． D．例2．（2022·河南焦作·三模（理））设，，，则（ ）A． B．C． D．例3．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）A． B．C． D．题型二：同构变形例4．（2022·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．题型三：零点同构例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3例6．（2021·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（，，）可化为同构方程，则________，________． 例7．（2021·安徽安庆·高三阶段练习（理））在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.（1）求的值；（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.例8．（2022·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．题型四：利用同构解决不等式恒成立问题例9．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ）A． B． C． D．例10．（2022·河南·高三期末（理））若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是______．例11．（2022·全国·高三专题练习）已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________.例12．（2022·全国·高三专题练习）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．例13．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.例14．（2022·全国·高三专题练习）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）A． B． C． D．例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．例16．（2022·河南·高三阶段练习（文））若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．例17．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，对，恒有，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．例18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）A． B． C． D．例19．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知，若时，恒成立，则的最小值为（ ）A． B． C． D．例20．（2022·安徽合肥·高三期末（理））若不等式对恒成立（为自然对数的底数），则实数a的最大值为（ ）A． B． C． D．例21.（2022·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）A． B． C． D．题型五：利用同构求最值例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，则的最小值为（ ）．A． B． C． D．例23．（2022·全国·高三专题练习（理））设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（ ）．A．7 B．9 C．11 D．12题型六：利用同构证明不等式例24．（2022·福建南平·三模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求证：函数有两个零点，且.例25．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数.(1)求的单调区间；(2)证明：当时，.例26．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．例27．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数，.(1)求函数的极值；(2)当x>0时，证明：例28．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数．(1)讨论f(x)的单调性．(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有． 函数表达式图像函数表达式图像函数极值点函数极值点函数极值点函数极值点过定点函数极值点函数极值点函数极值点函数极值点
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