专题14 导数的概念与运算-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题14 导数的概念与运算
【考点预测】
知识点一：导数的概念和几何性质
1.概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或．
知识点诠释：
① 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有
多近，即可以小于给定的任意小的正数；
② 当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即．
2.几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3.物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
知识点二：导数的运算
1.求导的基本公式
基本初等函数
导函数
（为常数）















2.导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3.复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为 ：
【方法技巧与总结】
1.在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2.过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．

【题型归纳目录】
题型一：导数的定义
题型二：求函数的导数
题型三：导数的几何意义
1.在点P处切线
2.过点P的切线
3.公切线
4.已知切线求参数问题
5.切线的条数问题
6.切线平行、垂直、重合问题
7.最值问题
【典例例题】
题型一：导数的定义
例1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（       ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.
【详解】
如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率，
表示切线斜率，
又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率，
结合图象，可得，即.
故选：C.

例2．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））设函数满足，则（       ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的导数的定义求解.
【详解】
解：因为，
，
，
所以，
故选：A
例3．（2022·新疆昌吉·二模（理））若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为，已知二元函数，则下列选项中错误的是（       ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件求出、，然后可逐一判断ABC，，然后利用导数求出右边的最小值即可.
【详解】
因为（，），
所以，则，
又，所以，
因为，
所以当时，取得最小值，且最小值为，
，
令（），，
当时，，当时，，
故，
从而当时，取得最小值，且最小值为.
故选：B.
例4．（2022·贵州黔东南·一模（文））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，，则当时，该质点的瞬时速度为（       ）
A．米/秒 B．3米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出导数，再代入计算即可.
【详解】
，当时，，故当时，该质点的瞬时速度为3米/秒.
故选：B.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（       ）
A． B． C．10 D．20
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的定义可得，再用求导公式可得，代入即可得解.
【详解】
因为，所以，
所以.
故选：D
例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数（是的导函数），则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对函数进行求导，求出，再令代入解析式，即可得到答案；
【详解】
，，
，，
故选：D.
例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（       ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先对进行求导，然后把代入，可列出关于的等式，即可解出，从而得出的解析式，即可求出.
【详解】
解：因为，
所以，
把代入，
得，解得：，
所以，所以.
故选：C.
【方法技巧与总结】
对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.
题型二：求函数的导数
例8．（2022·天津·耀华中学高二期中）求下列各函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
根据导数求导法则及基本初等函数的导数求解即可.
(1)
，
.
(2)
，
.
(3)
，
.
例9．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（理））求下列函数的导数：
(1)；
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
利用导数四则运算法则和复合函数求导法则计算即可得到结果.
(1)

(2)

(3)

例10．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高二期中）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
利用导数公式和运算法则求解.
(1)
因为，
所以；
(2)
因为，
所以；
(3)
因为，
所以；
(4)
因为
所以
【方法技巧与总结】
对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.
题型三：导数的几何意义
1.在点P处切线
例11．（2022·河北·模拟预测）曲线在处的切线斜率为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
即求曲线在(0,f(0))处的导数.
【详解】
，.
故选：B.
例12．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线在点处的切线方程为，则的值为（       ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
依据题意列出关于的方程组，即可求得的值
【详解】
由切点在曲线上，得①；
由切点在切线上，得②；
对曲线求导得，∴，即③，
联立①②③，解之得
故选：A.
例13．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）曲线在处的切线的倾斜角为，则（       ）
A．- B． C．1 D．-1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义求得切线的斜率，求得其倾斜角，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
则，即曲线在处的切线的斜率为，即，
因为，所以，所以.
故选：A.
例14．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知，则曲线在点处的切线的斜率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义，写出切线方程的公式，直接计算求解即可
【详解】
对，
求导可得，，得到，所以，
，所以，，

故选D
例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求导数得出，结合奇函数定义得函数解析式，然后计算即可．
【详解】
是奇函数，
恒成立，所以，
，，
所以，，即，
．
故选：A．
例16．（2022·广西广西·模拟预测（理））曲线在点处的切线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义得到切线的斜率，利用点斜式求出切线方程.
【详解】
∵
∴，所以，
又当时，，
所以在点处的切线方程为：，即.
故选：A.
例17．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线在处的切线方程为（       ）
A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0
C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0
【答案】B
【解析】
【分析】
将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可.
【详解】
解：因为，所以，所以．
又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．
故选：B.
2.过点P的切线
例18．（2022·四川·广安二中二模（文））函数过点的切线方程为（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
设切点，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过代入求参数m，即可得切线方程.
【详解】
由题设，若切点为，则，
所以切线方程为，又切线过，
则，可得或，
当时，切线为；当时，切线为，整理得.
故选：C
例19．（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点代入方程，解出切点坐标即可完成求解.
【详解】
因为函数，所以，
设切点为，则切线方程为：，
将点代入得，
即，解得或，
所以切点横坐标之和为
故选：D.
例20．（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线过点的切线方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程.
【详解】
由题意可得点不在曲线上，
设切点为，因为，
所以所求切线的斜率，
所以.
因为点是切点，所以，
所以，即.
设，明显在上单调递增，且，
所以有唯一解，则所求切线的斜率，
故所求切线方程为.
故选：B.
例21．（2022·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（       ）
A．e B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出切点，利用导数得到切线的斜率，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，解出即可.
【详解】
解：设切点，
由，得，所以，
∴曲线在点处的切线方程为，
又过（0，0），∴，解得，
∴切点，纵坐标为1．
故选：B．
例22．（2022·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导分析的图象可得，再设切点坐标为，由题可得有三根，再构造函数求导分析图象单调性与最值即可
【详解】
由，，故当时，，单调递减，且；当时，，单调递增，结合图象易得，过点至多有3条直线与函数的图像相切，故.

此时，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得，存在三条切线即函数有三个不同的根，又，易得在上，，单调递增；在和上，，单调递减，画出图象可得当，即时符合题意

故选：B
【点睛】
本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定根的个数与参数取值范围的问题，属于难题
3.公切线
例23．（2022·全国·高三专题练习）若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成关于一个变量的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解.
【详解】
设公切线与函数切于点，
，切线的斜率为，
则切线方程为，即
设公切线与函数切于点，
，切线的斜率为，
则切线方程为，即
所以有
因为，所以，可得，，即，
由可得：，
所以，
令，则，，
设，则，
所以在上为减函数，
则，所以，
所以实数的取值范围是，
故选：B．
【点睛】
方法点睛：求曲线过点的切线的方程的一般步骤是：
（1）设切点
（2）求出在处的导数，即在点处的切线斜率；
（3）构建关系解得；
（4）由点斜式求得切线方程.
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得与的关系式，再根据二次函数性质可求出b的取值范围．
【详解】
，，设斜率为的切线在，上的切点横坐标分别为，，
由题知，∴，，
两点处的切线方程分别为和，
故，即.
故选：D.
例25．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a的取值范围.
【详解】
设
切线：，即
切线：，即，
令

在上单调递增，在上单调递减，
所以
故选：A．
例26．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（       ）
A． B．1 C．e D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出切点，求出，，根据斜率列出方程，得到，，构造，利用函数单调性和图象特征，求出，从而求出答案.
【详解】
设直线与曲线相切于点，
直线与曲线相切于点，
则，且，所以，
，且，所以，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且，，所以当时，，
因为，，即，
所以，
所以，故
故选：B
【点睛】
对于不知道切点的切线方程问题，要设出切点，再根据斜率列出方程，进行求解.
例27．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数，，若直线与函数，的图象都相切，则的最小值为（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义分别得到、，再运用基本不等式即可求解.
【详解】
设直线与函数，的图象相切的切点分别为，.
由，有，解得，.
又由，有，解得，，可得，当且仅当，时取“=”.
故选：B
例28．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（       ）
A．0 B．1 C．e D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设切点分别为，，分别求出切线方程，再令切线方程相等；
【详解】
设l与的切点为，则由，有.
同理，设l与的切点为，由，有.
故 解得 或 则或.
因，所以l为时不成立.故，
故选：D.
例29．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.
【详解】
设公切线与曲线和的交点分别为，，其中，
对于有，则上的切线方程为，即，
对于有，则上的切线方程为，即，
所以，有，即，
令，，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，故，即.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相关参数方程，进而构造函数研究单调性求参数范围.
例30．（2022·全国·高三专题练习）若仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，则实数（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出函数上切点处的切线方程和上切点处的切线方程，消去，得，该问题转化为有唯一的值时，求值，即可通过导数研究函数的单调性即可得到答案.
【详解】
设直线与的切点为，
由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，
即为，
设直线与的切点为，
由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，
即为，
∵仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，
∴ ，∴即，
令，则，
当时，即，当时，即，
即在上单调递增，在上单调递减，则在处取得最大值，，图像为

∵切线只有一条，即的值唯一，∴只有，
故选：.
4.已知切线求参数问题
例31．（2022·湖南·模拟预测）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.
【详解】
因为，所以，
因为曲线在M处的切线的倾斜角，
所以对于任意的恒成立，
即对任意恒成立，
即，又，当且仅当，
即时，等号成立，故，
所以a的取值范围是．
故选：D．
例32．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知曲线在点处的切线方程为，则（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，依题意可得，即可求出，再将切点代入切线方程，即可求出；
【详解】
解：，，
∴，∴．将代入得，∴．
故选：C．
例33．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数在点处的切线方程为，则（       ）
A．或1 B．或 C．或2 D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数为奇函数可得，根据切线的斜率为0建立方程求出即可得解.
【详解】
由可得，
因为，所以，解得.
所以，故切线斜率，
又，所以，解得或，
所以或.
故选：D
例34．（2022·云南昆明·模拟预测（文））若函数的图象在处的切线方程为，则（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义可求出结果.
【详解】
的定义域为，
，
由题意可得，即，解得，
故选：A
例35．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l的斜率为2，l与曲线：和圆：均相切，则（       ）
A．－4 B．－1 C．1 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
设曲线的切点，利用曲线的几何意义可得切点坐标，进而求得切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径即可求得值.
【详解】
设直线l：与曲线相切，切点为，因为的导数为，由，解得，所以切点为，代入得，所以切线方程为.将化为标准方程为，因为l与圆相切，所以，解得.
故选：D
5.切线的条数问题
例36．（2022·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设切点坐标为，由切点坐标求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.
【详解】

设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，
设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，
当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，所以，结合图像知，即.
故选：D.
例37．（2022·河南洛阳·三模（理））若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知，设出切点，然后写出切线方程，把点P带入切线方程中，然后对式子进行整理，分别设出两个函数，与，借助导数研究函数的单调性和极值，然后作图，看两个函数图象的交点情况即可完成求解.
【详解】
由已知，曲线，即令，则，
设切点为，切线方程的斜率为，
所以切线方程为：，将点代入方程得：，整理得，
设函数，过点可作出曲线的三条切线，
可知两个函数图像与有三个不同的交点，
又因为，由，可得或，
所以函数在，上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值为，函数的极小值为，
如图所示，


当时，两个函数图像有三个不同的交点.
故选：C.
例38．（2022·河南洛阳·三模（文））若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（       ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【解析】
【分析】
设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点在切线上，即可代入切线方程，解得，即可得解；
【详解】
解：设切点为，由，所以，所以，
所以切线方程为，即，因为切线过点，
所以，
解得或，
所以过点作曲线的切线可以作2条，
故选：C
例39．（2022·河北·高三阶段练习）若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题为过点的切线，切点为，可得切线方程，
代入点P坐标整理为，即与有三个交点．
【详解】
由，则，设切点为，则切线斜率
则在点的切线方程为，
代入点P坐标得
整理为，即这个方程有三个不等式实根，
令，则 ，
令则
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
故得，即，
故选：D．
例40．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点可以作三条直线与曲线C：相切，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出导函数,利用导数的几何意义列出方程，即可求解.
【详解】
设切点为,过点P的切线方程为,代入点P坐标，化简为，即这个方程有三个不等根即可.
令,求导得：.
令，解得：，所以在上递增；令，解得：或，所以在和上递增.
要使方程有三个不等根即可.
只需,即.
故选：D
例41．（2022·广东深圳·二模）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设切点为，切线方程为，求出函数的导函数，即可得到，整理得，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依题意有三个零点，即可得到不等式组，从而得解；
【详解】
解：设切点为，切线方程为，由，所以，所以，
则，所以，
令，则，
因为，所以当或时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时取得极大值，当时取得极小值，即，，
依题意有三个零点，所以且，即；
故选：B
6.切线平行、垂直、重合问题
例42．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由得，然后求得，由求得，设，由得及，再由得，解得后可得．
【详解】
设，

，
设，则，即……①
又，即
……②
由①②可得，
.
故选：B.
例43．（2022·山西太原·二模（理））已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件用换元法令，利用导数及三角函数的差的正弦公式即可得出导函数的范围，根据已知条件得出，再利用辅助角公式及三角函数的性质即可求解.
【详解】
由，令，
由，
得
，所以
由题意可知，存在，使得，
只需要，即，所以，，

所以的最大值为.
故选: D.
【点睛】
解决此题的关键是用换元思想，再利用存在两条互想垂直的直线进而得出，再利用三角函数的性质即可求解.
例44．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（       ）
A． B．1
C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
求出导函数，由切线垂直斜率乘积为得的关系，计算，用基本不等式求最小值得结论．
【详解】
因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，
所以f′(x)＝2x＋2，
所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，
因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，
所以f′(x1)f′(x2)＝－1．
所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，
所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，
所以x2－x1＝ [－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，
即x1＝－，x2＝－时等号成立．
所以x2－x1的最小值为1．
故选：B．
例45．（2022·全国·高三专题练习）若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：
①，使得；②当时，取得最小值；
③的最小值为2；④最小值小于．
其中正确的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用导数求得两条切线方程，令,可知，故存在零点，①正确；，通过求导讨论单调性可知有最小值，进而可以判断最小值范围，可以判断②正确，③错误，④正确.
【详解】
解：由直线与两曲线分别交于两点可知：
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，可知切线：.
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率.
令，则，令，，
由零点存在定理，使，即，使，即，故①正确.
，令，由同理可知有，使，令，在处取最小值，即当时，取得最小值，故②正确.
是对勾函数，在上是减函数，，故③错误，④正确.
故选：C
例46．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据导数的几何意义写出函数在点、处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出，判断单调性，可得出的取值范围．
【详解】
解：当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，，，为该函数图象上的两点，且，
当，或时，，故，
当时，函数在点，处的切线方程为：
；
当时，函数在点，处的切线方程为．
两直线重合的充要条件是①，②，
由①及得，由①②令，则，
且，记
导数为，且在恒成立，
则函数在为减函数，
，
∴实数的取值范围是．
故选：B
例47．（2022·全国·高三专题练习（文））若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据直线垂直得出切线的斜率，解方程即可得切点坐标，求出切线方程.
【详解】
，
∴，
设切点坐标为，则切线的斜率，
解得，所以，
故切线的方程为，即．
故选：A
7.最值问题
例48．（2022·全国·高三专题练习）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】
设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为，

由，则，
令，
解得或（舍去），
故点P的坐标为，
故点P到直线的最小值为：.
故选：A.
例49．（2022·山东省淄博第一中学高三开学考试）动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
当点处的切线和直线平行时，的值最小，结合导数和解析式求得点，再由点到直线距离公式即可求解.
【详解】
设点是直线上任意一点﹐点是曲线上任意一点，当点处的切线和直线平行时，这两条平行线间的距离的值最小﹐
因为直线的斜率等于，
曲线的导数，令，
可得或(舍去)，故此时点的坐标为，，
故选：A.
例50．（2022·江苏·高三专题练习）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（）
A． B． C． D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，结合目标式有，构造并研究单调性，进而求值域即可.
【详解】
函数的导数为，则，
∴切点为，代入，得，
、为正实数，即，
∴，令且，则，即为增函数，
．
故选：C．
例51.（2022·全国·高三专题练习）曲线上的点到直线的最短距离是（       ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知曲线上的点到直线的最短距离即与平行的切线的切点到直线的距离，因此根据导数的几何意义先求出切点即可求出结果.
【详解】
，所以，设曲线在处的切线与直线平行，则，所以，切点，曲线上的点到直线的最短距离即为切点P到直线的距离，
故选：A．
例52．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数在处的切线为l，第一象限内的点在切线l上，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出x=1处的导数值，根据点斜式直线方程写出l的方程，从而得出a，b之间的关系，运用基本不等式即可求解.
【详解】
函数，
，
，，
由点斜式直线方程得：切线l的方程为， ，
由于点P在直线l上，则且，即，
则
，当且仅当，即时取等号；
故选：C.
例53．（2022·山东聊城·二模）实数，，，满足：，，则的最小值为（       ）
A．0 B． C． D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
由题设，将问题转化为求上的点与上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义求上与平行的切线方程，应用点线距离公式求目标式的最值即可.
【详解】
由，则，又，
的最小值转化为：
上的点与上的点的距离的平方的最小值，
由，得：，
与平行的直线的斜率为1，
∴，解得或（舍，可得切点为，
切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，
的最小值为：.
故选：D.
例54．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（理））已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由于为函数图象上任意一点，关于直线的对称点为在的图象上，所以函数的图象与的图象关于直线对称，从而将问题转化为这两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，然后利用导求出与直线平行，且与曲线相切的直线，从而可求得答案
【详解】
设为函数图象上任意一点，则，关于直线的对称点为，
设，，则，，所以，
所以，即函数的图象与的图象关于直线对称，
所以这两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍.
函数在点处的切线斜率为，令得,，，
所以点P到直线距离的最小值为，
所以这两点之间距离的最小值为.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的几何意义的应用，考查函数图象的对称问题，考查数学转化思想和计算能力，解题的关键是得到函数的图象与的图象关于直线对称，从而将问题转化为这两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，属于较难题
例55．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知直线是曲线的切线，则的最小值为（       ）
A． B．0 C． D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
对曲线求导，求出其在处的切线方程，从而得到了切线中的关系，然后将所求进行构造，与已知条件建立联系，再用均值不等式求解最小值即可.
【详解】
设直线与曲线相切于点，
当时，直线不是曲线的切线，故，
由得，所以切线方程为，即，
所以，所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A
【方法技巧与总结】
函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知在点处的切线方程为.（2）若求曲线过点的切线方程，应先设切点坐标为，由过点，求得的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.

【过关测试】
一、单选题
1．（2022·河南·高三阶段练习（理））若曲线在点（1，f（1））处的切线方程为，则a＝（       ）
A．1 B． C．2 D．e
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义求解.
【详解】
解：因为曲线，
所以，
又因为曲线在点（1，f（1））处的切线方程为，
所以，
故选：A
2．（2022·云南曲靖·二模（文））设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导函数与函数的单调性及导数的几何意义判断即可；
【详解】
解：因为对任意，，恒成立，
所以在上单调递增，且在上单调递减，即的图象增长得越来越慢，从图象上来看函数是上凸递增的，所以，
又，表示点与点的连线的斜率，
由图可知

即，
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（       ）
A．2 B．-1 C．1 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数的定义及几何意义进行求解.
【详解】
由导数的几何意义，点处的切线斜率为，
因为时，，
所以，
所以在点处的切线斜率为，
故选：D.
4．（2022·河南·模拟预测（文））已知，则曲线在点处的切线方程为(       )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求f(x)的导数和在x=3时的导数值，结合导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程．
【详解】
∵，
∴，
，
∴，
∴y=f(x)在处的切线方程为：，
即．
故选：A．
5．（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（       ）
A．5米/秒 B．8米/秒
C．14米/秒 D．16米/秒
【答案】C
【解析】
【分析】
求导得到，即得解.
【详解】
解：由题得，
当时，，
故当时，该质点的瞬时速度为14米/秒．
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（       ）
A．0 B． C．3 D．或3
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得在处的切线方程，然后与联立，由求解.
【详解】
因为，
所以，
则，
所以
所以函数在处的切线方程为，
由得，
由，解得或，
故选：D
7．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将问题转化为直线与曲线上的点的距离最小值，利用导数的几何意义求上斜率为1的切线上切点坐标，再应用点线距离公式求最小距离，即可得m的范围.
【详解】
设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离，
将直线平移到与面线相切时，切点Q到直线的距离最小．
而，令，则，可得，
此时，Q到直线的距离，故，
所以．
故选：B
【点睛】
关键点点睛：将题设不等式关系转化为求直线与曲线上点的最小距离且，结合导数的几何意义、点线距离公式求m的范围.
8．（2022·辽宁沈阳·二模）若直线与直线是曲线的两条切线，也是曲线的两条切线，则的值为（       ）
A． B．0 C．-1 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用和互为反函数推得两条公切线和也互为反函数，结合导数的几何意义表示出，，进而化简可得，代入化简可得答案.
【详解】
由和互为反函数可知，
两条公切线和也互为反函数，
即满足，，即，，
设直线与和分别切于点和，
可得切线方程为和，
整理得：和，则，，
由，得，且，
则，所以，
所以
,
故选：C
【点睛】
本题考查了反函数的相关知识以及导数的几何意义的应用，解答时要注意利用导数的几何意义写出切线方程并进行系数的比较，从而得出参数之间的关系式.
二、多选题
9．（2022·辽宁丹东·模拟预测）若过点可以作出曲线的切线l，且l最多有n条，，则（       ）
A． B．当时，a值唯一
C．当时， D．na的值可以取到﹣4
【答案】ABD
【解析】
【分析】
设切线的切点为，得到，令，画出函数的图象分析得解.
【详解】
解：由题得，
设切线的切点为，所以切线的斜率，
所以切线方程为，
因为，所以，
化简得，
令，所以，
令令或，
所以函数在单调递增，在，单调递减，
，当时，，当时，，
函数的图象如图所示，

过点可以作出曲线的切线l，所以,所以选项A正确；
当时，与图象有两个交点，，取值唯一，所以选项B正确；
当时，或，所以选项C不正确；
由于时，，所以的值可以取到﹣4，所以选项D正确.
故选：ABD
10．（2022·浙江·高三专题练习）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（       ）

A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强
【答案】ABC
【解析】
【分析】
结合甲乙企业污水排放量与时间关系图象，利用曲线在区间的变化率判断企业的治污能力，进而判断各选项的正误即可．
【详解】
由题图可知甲企业的污水排放量在时刻高于乙企业，
而在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，
故在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确；
由题图知在时刻，甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业的，故B正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，故C正确；
由题意可知，甲企业在，，这三段时间中，在时的污水治理能力明显低于时的，故D错误．
故选：ABC．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（     ）
A．曲线的切线斜率可以是1
B．曲线的切线斜率可以是
C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条
【答案】AC
【解析】
【分析】
由函数，求导得到，再逐项判断.
【详解】
因为函数，所以
A.令，得 ，所以曲线的切线斜率可以是1，故正确；
B.令无解，所以曲线的切线斜率不可以是，故错误；
C. 因为在曲线上，所以点是切点，则，
所以切线方程为，即，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故正确；
D.设切点，则切线方程为，因为点在切线上，所以，解得，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故错误；
故选：AC
12．（2022·全国·高三专题练习）过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线､，切点为､（､不重合），设直线､分别与轴交于点､，则下列结论正确的是（       ）
A．､两点的横坐标之积为定值 B．直线的斜率为定值；
C．线段的长度为定值 D．三角形面积的取值范围为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
A.由条件可知两条直线的斜率存在时，斜率之积为-1，讨论的位置，即可判断；
B.由两点的坐标，表示直线的斜率，即可判断；
C.分别求切线方程，并表示点的坐标，即可求线段的长度；
D.根据切线方程，求交点的横坐标，因为为定值，即转化为求点的横坐标的取值范围.
【详解】
因为，
所以，当时，；当时，，
不妨设点，的横坐标分别为，且，
若时，直线，的斜率分别为，，此时，不合题意；
若时，则直线，的斜率分别为，，此时，不合题意.
所以或，则，，
由题意可得，可得，
若，则；若，则，不合题意，所以，选项A对；
对于选项B，易知点，，
所以，直线的斜率为，选项B对；
对于选项C，直线的方程为，令可得，即点，
直线的方程为，令可得，即点，
所以，，选项C对；
对于选项D，联立可得，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则当时，，
所以，，选项D错.
故选：ABC.
三、填空题
13．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数则曲线在点处的切线方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义可求切线的斜率，将代入函数可求切点坐标，利用直线方程点斜式求解即可.
【详解】
解：因为，又，
切线方程为：，即；
故答案为：.
14．（2022·全国·模拟预测（文））若直线与曲线和都相切，则的斜率为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设出的切点坐标，求导，利用导数几何意义表达出切线斜率，写出切线方程，根据圆心到半径距离为半径列出方程，求出，从而求出斜率.
【详解】
设的切点为，，故，
则切线方程为：，即
圆心到圆的距离为，即，
解得：或（舍去）
所以，则的斜率为
故答案为：
15．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数，则__________.
【答案】-2
【解析】
【分析】
利用复合函数求导法则求导，求出函数，再求函数值作答.
【详解】
由函数求导得：，当时，，解得，
因此，，所以.
故答案为：-2
16．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知，且，，那么___________.
【答案】
【解析】
【分析】
在题中等式两边同乘可得，可得出，由可求得的值，进而可求得的值.
【详解】
因为，
所以，，
即，所以，，
因为，则，
所以，，解得，所以，，
因此，.
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习（文））下列函数的导函数
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】
【分析】
直接根据求导公式及导数的运算法则即可求出（1）（3）（4）的导数；利用二倍角公式化简（2）中的函数解析式，再利用求导公式及导数的运算法则进行求导.
【详解】
（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以；
（4）因为，所以.
18．（2022·辽宁·沈阳二中二模）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.

(1)若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小；
(2)求正弦曲线（）曲率的平方的最大值.
【答案】(1)；
(2)1.
【解析】
【分析】
（1）对、求导，应用曲率公式求出处的曲率，，即可比较大小；
（2）由题设求出的曲率平方，利用导数求的最大值即可.
(1)
由，，则，
由，，则，
所以；
(2)
由，，则，
，令，则，故，
设，则，在时，递减，
所以，最大值为1.
19．（2022·全国·高三专题练习）设函数.
(1)若在点处的切线为，求a，b的值；
(2)求的单调区间.
【答案】(1)，；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率.
(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案.
(1)
的定义域为，，
因为在点处的切线为，
所以，所以；所以
把点代入得：.
即a，b的值为：，.
(2)
由（1）知：.
①当时，在上恒成立，所以在单调递减；
②当时，令，解得：，
列表得：
x




-
0
+

单调递减
极小值
单调递增

所以，时，的递减区间为，单增区间为.
综上所述：当时，在单调递减；
当时，的递减区间为，单增区间为.
【点睛】
导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率这三个方程，可解切线相关问题.
20．（2022·浙江·高三专题练习）函数， 直线l是在处的切线.
(1)确定的单调性；
(2)求直线l的方程及直线l与的图象的交点.
【答案】(1)在和内单调递增，在内单调递减
(2)，交点坐标为、
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，分别解和即可求出结果；
（2）结合导数的几何意义即可求出切线的方程，然后与函数方程联立即可求出交点坐标.
(1)
（1）
令或，，
所以在和内单调递增，在内单调递减.
(2)
因为，则，
而，则，
所以，即，
所以直线的方程为.
联立得或，
故直线l与的图象的交点坐标为、.
21．（2022·北京东城·三模）已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)设函数，若有两个实数根（），将表示为的函数，并求的最小值.
【答案】(1)
(2)，最小值为
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）由题知，进而得，再构造函数，结合导数求函数的最小值即可.
(1)
解：（1）因为，所以.
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
所以
(2)
解：
由有两个实数根分别为，所以.
由有.
令，则.
当时，，所以在区间上单调递减，
当时，，所以在区间上单调递增.
对任意有.
即当时，的最小值为.
22．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知，函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在，使得切线和的斜率互为倒数．
【答案】(1)时， 在递增；时，的增区间是，减区间是．
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在上导数符号的变化，即可得出函数的单调区间；
（2）根据导数的几何意义求出过原点的切线方程的斜率，由斜率之间的关系可得，再通过构造函数判断其有解即可.
(1)
的定义域是，，
时，恒成立，在递增，
时，时，，时，，
的增区间是，减区间是．
综上：时，在递增；
时，的增区间是，减区间是．
(2)
证明：，，
设的切线方程是，则，显然，，切点为，
于是，解得，所以的斜率为e，于是的斜率为，
设的切点坐标为，由，，
又，所以，整理得，
设，，
当时，，在上递增，而，所以，
时，，在上递减，又，
所以存在，使得，
因此关于的方程有正数解．
所以存在，使得切线和的斜率互为倒数．
【点睛】
本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数的几何意义及构造函数解决方程有解的问题.