专题18 三角恒等变换-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题18 三角恒等变换  【考点预测】知识点一．两角和与差的正余弦与正切①；      ②； ③；          知识点二．二倍角公式①；   ②；     ③； 知识点三：降次（幂）公式知识点四：半角公式知识点五．辅助角公式（其中）．【方法技巧与总结】1．两角和与差正切公式变形；．2．降幂公式与升幂公式；．3．其他常用变式．3. 拆分角问题：①；；②；③；④；⑤．  注意 特殊的角也看成已知角，如．【题型归纳目录】题型一：两角和与差公式的证明题型二：给式求值题型三：给值求值题型四：给值求角题型五：正切恒等式及求非特殊角【典例例题】题型一：两角和与差公式的证明例1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）(1)试证明差角的余弦公式：；(2)利用公式推导：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.  例2．（2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试（文））已知以下四个式子的值都等于同一个常数；；；.（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.   例3．（2022·陕西省商丹高新学校模拟预测（理））如图带有坐标系的单位圆O中，设，，，（1）利用单位圆､向量知识证明：（2）若，，，，求的值     例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，考虑点，，，，从这个图出发.（1）推导公式：；（2）利用（1）的结果证明：，并计算的值.     【方法技巧与总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.题型二：给式求值例5．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，，则（       ）A． B． C． D．例6．（2020·四川·乐山外国语学校高三期中（文））已知，则的值为（       ）A． B． C． D．例7．（2020·全国·高三专题练习）若，则的值为（       ）.A． B． C． D．（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）设，则（       ）A． B． C． D．例9．（2022·全国·模拟预测（文））已知，，，则___________.例10．（2022·上海静安·模拟预测）已知，则的值为_____________．例11．（2022·江苏泰州·模拟预测）若时，取得最大值，则______．【方法技巧与总结】给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.   题型三：给值求值例12．（2022·福建省福州第一中学三模）若，且，则（       ）A． B． C．2 D．2例13．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，则（       ）A． B． C． D．例14．（2022·湖北·模拟预测）已知，且，则（       ）A． B． C． D．例15．（2022·全国·模拟预测）已知，则（       ）A． B． C． D．例16．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知，，则（       ）A． B． C． D．例17．（2022·广东茂名·模拟预测）已知，则（       ）A． B． C． D．（多选题）例18．（2022·江苏·高三专题练习）已知，，，，则（       ）A． B．C． D．【方法技巧与总结】给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.题型四：给值求角例19．（2022·全国·模拟预测）已知，，则______．例20．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知，且，求的值为_____．例21．（2022·河北石家庄·一模）已知角，，则______.例22．（2022·上海市大同中学高三开学考试）若，且，则的值为___________.例23．（2022·全国·高三专题练习）若，，且，，则的值是______．例24．（2022·吉林·延边州教育学院一模（理））若，，且，，则（       ）A． B． C． D．例25．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知、都是锐角，且，，那么、之间的关系是（       ）A． B．C． D．例26．（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知且，则=（     ）A． B．C． D．或【方法技巧与总结】给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.题型五：正切恒等式及求非特殊角例27．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）若角的终边经过点，且，则实数的值为（       ）A． B． C． D．例28．（2021·重庆八中高三阶段练习）（       ）A． B． C． D．例29．（2020·重庆一中高三阶段练习）求值：（       ）A．1 B． C． D．例30．（2022·全国·高三专题练习）___________.例31．（2022·江苏南通·高三期末）若，则α的一个可能角度值为__________.例32．（2022·江苏扬州·模拟预测）___________．例33．（2022·贵州黔东南·一模（文））若，，则___________.例34．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）______．  【方法技巧与总结】正切恒等式：当时，．证明：因为，，所以故．    【过关测试】一、单选题1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知角与角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于x轴对称．若，则（       ）A． B． C． D．2．（2022·全国·模拟预测（理））已知，，则（       ）A．0 B． C． D．13．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知，，则（       ）A． B． C．1 D．2或64．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则（       ）A．－4 B．－2 C．2 D．45．（2022·山东烟台·三模）若，则的值为（       ）A． B． C． D．6．（2022·全国·模拟预测（文））设角，的终边均不在坐标轴上，且，则下列结论正确的是（       ）A． B．C． D．7．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知，则（       ）A． B． C． D．8．（2022·全国·高三专题练习）若，则（       ）A． B．C． D．二、多选题9．（2022·海南海口·二模）已知，，则（       ）A． B． C． D．10．（2022·河北邯郸·二模）下列各式的值为的是（       ）.A．sin B．sincosC． D．11．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知，，，且，则（       ）A．若，则B．若，则C．，可能是方程的两根D．12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，其中为锐角，则以下命题正确的是（　　）A． B．C． D．三、填空题13．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．14．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知，则________.15．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知 ，则_____________ .16．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）__________.四、解答题17．（2022·江苏南京·模拟预测）已知，．(1)求的值；(2)若，，求的值．  18．（2022·江西·高一期中）已知角为锐角，，且满足，(1)证明：；(2)求.  19．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）（1）已知，求的值；（2）已知，，且，，求．  20．（2022·江西·高一阶段练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．已知角α是第一象限角，且          ．(1)求的值；(2)求的值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．   21．（2022·北京市第九中学高一期中）已知，，，求(1)求的值；(2)求的值；(3)若，求的值.     22．（2019·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））求的值；已知，，，求的值．     23．（2020·全国·高三专题练习）在中，满足 ．（1）求； （2）设，求的值.