专题25 圆中的范围与最值问题-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题
【方法技巧与总结】
解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1）数形结合
（2）多与圆心联系
（3）参数方程
（4）代数角度转化成函数值域问题
【题型归纳目录】
题型一：斜率型
题型二：直线型
题型三：距离型
题型四：周长面积型
题型五：数量积型
题型六：坐标与角度型
题型七：长度型
题型八：方程中的参数
【典例例题】
题型一：斜率型
例1．（2022·福建南平·三模）已知为圆：上任意一点，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】
由于，故表示和连线的斜率，设，如图所示，当与圆相切时，取得最大值，
设此时，即，又圆心，半径为1，故，解得，
故的最大值为．
故答案为：．
例2．（多选题）（2022·山东泰安·三模）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为0
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】ABD
【解析】由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下，
因为表示点与坐标原点连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或，
，，，A，B正确；
表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，
所以最大值为，又，
所以的最大值为，C错，
因为可化为，
故可设，，
所以，
所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，
故选：ABD．
例3．（2022·全国·高三专题练习（理））在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
不妨设正三角形的边长为，则，，，
设，则，，
，，
，即；
点轨迹为：，
；
当时，，；
当时，令，则表示与连线的斜率，
设直线与圆相切，
则圆心到直线距离，解得：或，
，
则当时，取得最小值，；
综上所述：最小值为．
故选：D．
例4．（2022·河南·模拟预测（文））已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数．
当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，
设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得 故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为，
故选：C
题型二：直线型
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．6D．5
【答案】A
【解析】由，令，则，
所以当时，的最大值为．
故选：A
例6．（2022·全国·高三开学考试（文））已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】因为圆：经过点，
．又，所以，
可看成是直线在轴上的截距．如图所示，
当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得，
所以的最大值为，最小值为，故的最大值与最小值之和为．
故选：C．
例7．（2022·全国·高三专题练习）点是圆上的动点，则的最大值是________．
【答案】
【解析】由，则，当且仅当时等号成立，
∴的最大值是．
故答案为：．
题型三：距离型
例8．（2022·上海虹口·二模）设，，三条直线：，：，：，则与的交点到的距离的最大值为_________．
【答案】【解析】因为，所以，
而直线：即过定点，
：即过定点，
所以与的交点在以为直径的圆上，
圆方程为，即，
所以到的距离的最大值为．
故答案为：．
例9．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为______．
【答案】【解析】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，
则，设，由，
所以，两边平方并整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
所以，
则有，
所以的最大值为．
故答案为：．
例10．（2022·全国·高三专题练习）若A，B是：上两个动点，且，A，B到直线l：的距离分别为，，则的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】圆的圆心为，半径为．
，
，
由于，所以．
设是的中点，则，
设，则，即的轨迹为单位圆．
原点到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离．
所以，
所以的最大值是．
故选：D
例11．（2022·陕西安康·二模（文））已知直线与圆交于两点，且，则的最大值为___________．
【答案】【解析】的几何意义为点到直线的距离之和，其最大值是的中点到直线的距离的2倍．
由题可知，为等边三角形，则，
∴AB中点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
故点到直线的最大距离为，
∴的最大值为，
∴的最大值为＝．
故答案为：．
例12．（2022·全国·高三专题练习）已知实数满足：，，，则的最大值为______．
【答案】
【解析】的值转化为单位圆上的两点到直线的距离之和，
由得：，
所以三角形是等腰直角三角形，设是的中点，
则，且，
则在以点为圆心，半径为的圆上，
，两点到直线的距离之和为的中点到直线的距离的两倍．
到直线的距离为，
所以到直线的距离的最大值为，
所以的最大值为．
故答案为：．
例13．（2022·河北石家庄·模拟预测）若点P在曲线上运动，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】A
【解析】由曲线方程为知曲线关于轴成轴对称，关于原点成中心对称图形，在第一象限内，方程化为，即，在第一象限内，曲线是为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点），实际上整个曲线就是这段圆弧及其关于坐标轴．原点对称的图形加上原点，
点到直线的距离为，
所以所求最大值为．
故选：A．
例14．（2022·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得 ，
故 由得，
由得，设 ，则 ，
即，即点C轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为 ，则，
整理得 ，代入到中，
得： ，即C轨迹的圆心在圆上，
故点（1，1）与该圆上的点的连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，最大值为 ，
故选：B
例15．（2022·浙江·高三专题练习）已知点，圆上的两个不同的点、满足，则的最大值为（ ）
A．12B．18C．60D．
【答案】C
【解析】因，则点A，P，B共线，即过点P的直线AB与圆交于不同的两点A，B，
表示点、到直线的距离和的5倍，
设弦AB中点，则有
于是得：，
圆的圆心，显然点P在此圆内，即过点P的任意直线与圆都相交，
当点M与点P，Q都不重合时，由圆的性质知，，有，
当点M与点P，Q之一重合时，也成立，于是得，
又，从而得，即点M的轨迹是以原点为圆心的单位圆，
圆的圆心到直线的距离，
则圆上的点到直线的距离的最大值为，
所以的最大值为60．
故选：C
例16．（2022·江西·宁冈中学高三开学考试（理））已知点在圆上，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】可看作圆上的点到定点的距离，根据圆的几何性质，其最大值为到圆心的距离与圆的半径之和，即．
故选：D．
例17．（2022·河北衡水·二模）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，点满足，则点到点的距离的最大值为（ ）
A．3B．C．5D．4
【答案】D
【解析】由题意可知点在以线段为直径的圆上，
设的中点坐标为，有，可得，
由，，
有．
当且仅当，，三点共线时取等号．
故选：D
例18．（2022·全国·高三专题练习）若x、a、b为任意实数，若，则最小值为（ ）
A．B．9C．D．
【答案】C
【解析】由可得在以为圆心，1为半径的圆上，
表示点与点的距离的平方，
即表示圆上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的平方．
设为y＝lnx上一点，且在处的y＝lnx的切线与和连线垂直，可得，
即有，
由在时递增，且，可得m＝1，即切点为，
圆心与切点的距离为，
由此可得的最小值为．
故选：C．
例19．（2022·辽宁·东北育才学校二模）已知平面向量，，，满足，，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
所以对任意都恒成立，
所以．
不妨设又．
当，设，
所以，
所以，
所以，
所以对应的点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
所以可以看成是到的距离，
所以的最小值为．
当时，同理可得的最小值为1．
故选：A
例20．（2022·河南河南·三模（理））已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设线段的中点为，
圆的圆心为，半径为．
到直线的距离为，
所以，故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，设点的轨迹为圆，
圆上的点到直线的最短距离为．
所以．
故选：A
例21．（2022·全国·高三专题练习）若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则（|PA|2＋|PB|2）的最大值为（ ）
A．3＋B．7＋4
C．8＋4D．16＋8
【答案】C
【解析】以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
不妨令A（－1，0），则B（1，0），设P（x，y）．
由＝，则，化简得：（x－2）2＋y2＝3为P的轨迹方程．
∴，
其中x2＋y2可以看作圆（x－2）2＋y2＝3上的点（x，y）到点（0，0）的距离的平方，
∴x2＋y2的最大值为（2＋）2＝7＋4，
∴x2＋y2＋1的最大值为8＋4，即的最大值为8＋4．
故选：C．
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，如图所示，
显然当P运动到坐标原点时，有最小值，
最小值为原点到直线的距离，
即，
故选：D
例23．（2022·全国·高三专题练习）若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．6C．9D．12
【答案】C
【解析】
易得圆圆心为半径为2，圆圆心为半径为1，设圆圆心半径为1，与关于直线对称，
则，解得，如图所示，要使最小，
则．
故选：C．
例24．（2022·全国·模拟预测（理））过圆C： 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】B
【解析】∵过圆C： 外一点向圆C引两条切线，
切点分别为A，B，由PA⊥PB可知，四边形CAPB为边长为1的正方形，所以，
所以点的轨迹E是以C（1，0）为圆心，为半径的圆，
圆心到直线的距离，
所以点P到直线的最短距离为，
故选：B
题型四：周长面积型
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知点A（2，0），B（0，﹣1），点是圆x2+（y﹣1）2＝1上任意一点，则 面积最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知，
要使的面积最大，只要点P到直线的距离最大．
由于AB的方程为1，即x﹣2y﹣2＝0，
圆心（0，1）到直线AB的距离为d，
故P到直线AB的距离最大值为1，
所以面积的最大值为，
故选：D．
例26．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（ ）
A．8B．C．D．
【答案】A
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，
所以有，，
因此有，
要想四边形周长最小，只需最小，即当时，
此时，此时，
即最小值为，
故选：A
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】圆的圆心，半径，点C到直线l的距离，
依题意，，四边形周长，
当且仅当时取“=”，此时直线，由得点，
四边形的外接圆圆心为线段中点，半径，方程为．
故选：D
例28．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，圆C与圆外切，且与直线相切，则圆C的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可知，到直线的距离为，又因为圆C与圆外切，所以圆C的直径的最小值为，
所以圆C的面积的最小值为．
故选：A．
例29．（2022·北京昌平·二模）已知直线与圆相交于两点，当变化时，△的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为直线直线恒过点在圆内，所以直线与圆相交，
圆的圆心，所以△的面积的最大值为：
．
故选：C．
例30．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为（ ）
A．B．
C．5D．10
【答案】C
【解析】由直线的方程是得直线过定点，同理直线方程为，即，所以定点，
又，所以，即在以为直径的圆上，
，由圆的性质知点到的距离最大值等于圆半径，即，
所以面积的最大值为．
故选：C．
题型五：数量积型
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则的最大值是________．
【答案】8
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，易知圆半径为，圆方程为，
设，则，
，
设，则，代入圆方程并整理得，此方程有实数解，
所以，，所以的最大值是2，
所以的最大值是8．
故答案为：8．
例32．（2022·辽宁大连·二模）已知，，点P在曲线上，则的最小值为___________．
【答案】【解析】设，由题意，点在，
即点在以为圆心，半径为的下半圆上，
，
其中表示为点到点的距离的平方，
当点到点的距离最小时，取最小值，
点到点的最小距离为，
所以的最小值为．
故答案为：
例33．（2022·全国·高三专题练习）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为______．
【答案】【解析】因为，又，所以，所以，
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系：
则，，设，则，
，，
所以，
设，即，
依题意直线与圆有交点，
所以，得，
所以的最小值为．
故答案为：
例34．（多选题）（2022·福建龙岩·模拟预测）已知圆，直线，点，则（ ）
A．当时，直线l与圆相切
B．若直线l平分圆的周长，则
C．若直线l上存在点A，使得，则a的最大值为
D．当时，N为直线l上的一个动点，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】当时，直线的方程为，即，点到直线的距离为，直线l与圆不相切，故A错误；
若直线l平分圆的周长，则在直线上，即，解得，故B正确；
，在圆上，若直线l上存在点A，使得，则在以为直径的圆上，又的中点为，，
以为直径的圆的方程为，
则有的中点到直线的距离，解得，则a的最大值为，故C正确；
当时，直线的方程为，N为直线l上的一个动点，所以设，
则，，
，对称轴为，
当时，取得最小值，为，故D正确．
故选：BCD．
例35．（多选题）（2022·湖北武汉·模拟预测）已知圆M：，直线l：，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．的最小值为4
C．的取值范围为
D．当最小时，其余弦值为
【答案】ABC
【解析】A．直线，即，直线恒过点，故A正确；
B．当定点是弦的中点时，此时最短，圆心和定点的距离时，此时，故B正确；
C．当最小时，最小，此时，此时，当是直径时，此时最大，，此时，所以的取值范围为，故C正确；
D．根据C可知当最小时，其余弦值为，故D错误．
故选：ABC
例36．（多选题）（2022·湖北·模拟预测）若动直线与圆相交于两点，则（ ）
A．的最小值为
B．的最大值为
C．为坐标原点）的最大值为78
D．的最大值为18
【答案】ABD
【解析】由，可得，
故直线恒过定点，又圆，圆心为，半径为3，
由圆的性质可得当⊥时，取得最小，
此时，，故A正确；
∵，
∴，故B正确；
由，可得，
设，则，
∴
，
∴，
要使最大，则最大，
要求的最大值，不妨令，（当时不合题意）
则，
当且仅当，即取等号，
故，故C错误；
由题可知，
∴，故D正确．
故选：ABD．
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（ ）
A．48B．49C．50D．42
【答案】A
【解析】由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上，
直线方程为，令，解得：，；
以为直径的圆的圆心为，且．
连接，
在以为直径的圆上，，，
；
为双曲线上一点，且，，；
故选：A
例38．（2022·全国·高三专题练习）已知点M为椭圆上任意一点，A，B是圆上两点，且，则的最大值与最小值的和是（ ）
A．20B．C．40D．
【答案】C
【解析】设圆的圆心为，易知是圆的一条直径，
因此
，
因为点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，所以，
所以，即，
所以的最小值为，最大值为，
又因为，所以的最大值与最小值的和是．
故选：C．
例39．（2022·河南开封·二模（文））骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，达到最大值时点P到地面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以为原点建立如图所示平面直角坐标系，
，
以为圆心，半径为的圆的方程为，
设，
，
由于，所以当时，取得最大值，
此时点的坐标为，
点到地面的距离为．
故选：B
题型六：坐标与角度型
例40．（2022·全国·高三专题练习）已知，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】点在圆上，，
则，
如图，当与圆相切时，取得最小值，所以，此时点．
故选：C
例41．（2022·福建泉州·模拟预测）若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】可化为，
故圆N的圆心为，半径为，
由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，
所以且，故，
当的坐标为时，，
在△NAB中，，
又，在上单调递减，
故为锐角，且当时，最大，
又在上单调递增，
所以当最大时，取得最大值，且最大值为，
故选：D
例42．（2022·全国·高三专题练习）已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是_________．
【答案】【解析】由题，令，则，
因为，令，根据几何性质，点B在以为圆心，1为半径的圆上，
，又因为，利用数量积公式展开可得，
所以点C的轨迹为以或为圆心，半径为1的圆，
所以C的横坐标的最大值为，
，即为在上的投影，最大值为．
故答案为：．
例43．（2022·全国·高三专题练习（理））已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】因为两点，点满足，故点的轨迹是以为直径的圆（不包含），
故其轨迹方程为，
又圆上存在点，故两圆有交点，
又，则，
解得，则的最大值为．
故选：C．
例44．（多选题）（2022·河北·高三阶段练习）已知圆上两点A、B满足，点满足：，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，过M点的圆C的最短弦长是
C．线段的中点纵坐标最小值是
D．过M点作图C的切线且切点为A，B，则的取值范围是
【答案】CD
【解析】圆的圆心，半径，令圆心到直线距离为，
对于A，令直线，即，显然有，
线段的垂直平分线平行于轴，此时点不存在，即不存在，A不正确；
对于B，当 时，点在圆内，而圆的直径长为2，则过 点的圆的最短弦长小于2，而，B不正确；
对于C，令线段的中点，则，
则，即，解得，当且仅当时取等号，
所以，C正确；
对于D，依题意及切线长定理得：，
解得或，
所以的取值范围是，D正确．
故选：CD．
例45．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】直线恒过定点，直线恒过定点，
而，即直线与直线垂直，当P与N不重合时，，，
当P与N重合时，，令点，则，，
于是得，显然点P与M不重合，因此，点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆（除点M外），如图，
观察图形知，射线AP绕点A旋转，当旋转到与圆O：相切时，最大，最大，
因，为切线，点为切点，，，则，
所以最大值为，．
故选：B
例46．（2022·北京·北大附中高三开学考试）已知圆C：和两点，，且圆C上有且只有一个点P满足，则r的最大值为（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】C
【解析】由题设，以为直径的圆：与圆C相切，且在圆外，
当两圆外切时，，则；
当两圆内切时，，则．
所以r的最大值为．
故选：C．
例47．（2022·全国·二模（理））动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】设动圆圆心，半径为1，动圆M经过坐标原点，可得，即，
，当且仅当时取等号，即，
则圆心M的横纵坐标之和的最大值为
故选：C
例48．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知为坐标原点，点，，以为邻边作平行四边形，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】已知圆：，是圆上两动点，所以，
所以为等边三角形，
又，
取的中点，则，
所以，所以点的轨迹方程为：，
当与相切时，最大，此时，则．
故选：C．
例49．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知，过点作圆（为参数，且）的两条切线分别切圆于点、，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】圆心，半径为，圆心在直线上运动，
设，则，由圆的几何性质可知，
所以，，
当直线与直线垂直时，取最小值，则取最小值，
且，则，则，
由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，且，
故函数在上为减函数，
故当时，取得最大值．
故选：C．
例50．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知x，y满足，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】求，取
设是圆上任一点，过P作的垂线，垂足为T，
则的几何意义为PT的长，表示，
，直线与圆相切时，
令，当与圆相切于第一象限时，取最大值，
此时
∴
故选：D．
例51．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C：x2＋y2＝4，M、N是直线l：y＝x＋4上的两点，若对线段MN上任意一点P，圆C上均存在两点A、B，使得cs∠APB＝，则线段MN长度的最大值为（ ）
A．2B．4C．4D．4
【答案】C
【解析】如图所示：
圆C：x2＋y2＝4的圆心到直线l：y＝x＋4的距离为：
，
所以直线与圆相离，
从直线上的点向圆上的点连线成角，
当且仅当两条线均为切线时，是最大的角，
不妨设切线为PE，PF，
因为cs∠APB＝，
所以，则，
所以，
解得，
所以线段MN长度的最大值为，
故选：C
题型七：长度型
例52．（2022·上海·高三阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为____________
【答案】
【解析】如图，在轴上取点，
，，，，
（当且仅当为与圆交点时取等号），
．
故答案为：．
例53．（2022·全国·高三专题练习）已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设，知：且，即圆的半径为4，
∴圆：，
如上图，坐标系中则，
∴，即△△，故，
∴，在△中，
∴要使最大，共线且最大值为的长度．
∴．
故选：A
例54．（2022·浙江·高三专题练习）已知圆，圆，点、分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为．
，又，，
所以，．
点关于轴的对称点为，
，
所以，，
故选：B．
例55．（2022·广东·汕头市第一中学高三阶段练习）已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得．
因为，所以或．
当时，；当时，．
所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分．当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6；
当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为．故的最大值与最小值的比值是．
故选：A
例56．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知曲线，等边三角形的两个顶点A，B在E上，顶点C在E外，O为坐标原点，则线段长的最大值为（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】D
【解析】设圆心到直线AB的距离为d
则
令，
由可得，所以在上为增函数
由可得，所以在上为减函数
所以
故选：D
例57．（2022·河南新乡·三模（理））已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解析】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当垂直于抛物线的准线时，最小，
此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，
半径为，所以的最小值为．
故选：C
例58．（2022·北京西城·一模）已知点为圆上一点，点，当m变化时，线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由圆，可得圆心，半径为，
则，
当时，取得最小值，最小值为，
所以线段长度的最小值．
故选：C．
例59．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知为抛物线上的动点，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则，
，
，
，
则当时，，即的最小值为．
故选：C．
例60．（2022·全国·模拟预测）已知直线 l 过点，则直线 l 被圆O：截得的弦长的最小值为（ ）
A．3B．6C．D．
【答案】B
【解析】依题意可知在圆内，且，圆O的半径为．
当OA与直线 l 垂直时，所截得的弦长最短，
即弦长的最小值为．
故选：B．
例61．（2022·安徽马鞍山·三模（文））已知为抛物线C：上一动点，过C的焦点F作：的切线，切点为A，则线段FA长度的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知，
由切线长公式得，，
所以．
故选：B．
例62．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆，圆，点分别是圆､圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由圆的方程可知：圆心，，半径，；
设与关于对称，则，
则圆与圆关于对称，
当五点共线时，取得最小值，
．
故选：B．
例63．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆C：，若直线l：ax－y＋1－a＝0与圆C相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【解析】易知直线，过定点，
圆的标准方程是，圆心为，半径为，
而，所以．
故选：B．
例64．（2022·全国·高三专题练习）如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，
由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，则可得|OP|＝
在直角中，，由得，
∴Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，方程为x2+y2＝3；
|MQ|的最小值即为|OM|﹣r＝﹣＝．
故选：A．
例65．（2022·全国·高三专题练习）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】A
【解析】由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以．
故选：A
题型八：方程中的参数
例66．（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解析】
易得圆心，半径为4，如图，连接，则，则四点在以为直径的圆上，
设，则该圆的圆心为，半径为，圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为，
故，整理得，又点在直线上，
故，即点轨迹为，又在圆上，故的最小值为
圆心到直线的距离减去半径1，即．
故选：B．
例67．（2022·河北·模拟预测）如图，在直角梯形中，，点M在以为直径的半圆上，且满足，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【解析】
如图，以为原点建立直角坐标系，设中点为，易得，则中点，，
故以为直径的圆的方程为，过作轴平行线交轴于，交半圆于，则，设，
则，又，
故，则，其中，
显然当时，取最大值．
故选：D．
例68．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，，，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设点，因为，所以，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又直线的方程为：，，圆心到直线的距离，所以到直线的距离最大值为
则面积的最大值为．
故选：．
例69．（2022·全国·模拟预测（文））在中，，，点在内部，，则的最小值为______．
【答案】2
【解析】因为，，所以．
在中，由正弦定理得：（R为的外接圆半径），所以，解得：．
如图所示：设的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系．
设E为AC的中点，所以，．
所以点M的轨迹为：，可写出（为参数）．
因为点在内部，所以（其中满足，）．
所以
因为满足，，所以，
所以当时最小．
故答案为：2