初中数学北师大版九年级下册第三章 圆综合与测试单元测试同步测试题

第三章 圆  单元测试卷

一、选择题(每小题3分，共24分)

1．已知⊙O中最长的弦为8 cm，则⊙O的半径为(　　)

A. 2 cm   B. 4 cm

C. 8 cm   D. 16 cm

2．如图，数轴上有A，B，C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外，⊙O内，⊙O上，则原点O的位置应该在(　　)

A．点A与点B之间靠近A点

B．点A与点B之间靠近B点

C．点B与点C之间靠近B点

D．点B与点C之间靠近C点

(第2题)　　  　  (第3题)

3．如图，已知⊙O的半径等于2 cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且＝＝，则四边形ABCD的周长等于(　　)

A．8 cm　 B．10 cm　 C．12 cm D.16 cm

4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD.若∠C＝50°，则∠AOD的度数为(　　)

(第4题)

A．40°   B．50° 

C．80°   D．100°

5．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直径，若AD＝3，则BC等于(　　)

A．2   B．3 

C．3   D．4

(第5题)　　　　 (第6题)

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD.若＝，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是(　　)

A．125°   B．140°   C．135° D.130°

7．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是(　　)

A．3≤OM≤5   B．4≤OM≤5

C．3<OM<5   D．4<OM<5

(第7题)　　　　 (第8题)

8．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C.有下列结论：

①PA＝PB；②AC＝BC；③OC＝CD；

④PA·AC＝PC·AO.

其中正确的有(　　)

A．①③④   B．②③④ 

C．①②③   D．①②④

二、填空题(每小题3分，共15分)

9．如图，在⊙O中，＝，∠AOB与∠COD的关系是________.

(第9题)　　　　 (第10题)

10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为______．

11．如图，小明从点A出发沿直线前进10 m到达点B，向左转45°后又沿直线前进10 m到达点C，再向左转45°后沿直线前进10 m到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为________m.

(第11题)　 　　 (第12题)

12．在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为________步．

13．如图，AB是⊙O的弦，AB＝5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若M，N分别是AB，AC的中点，则MN的最大值是________．

(第13题)

三、解答题(共13小题，共81分)

14．(5分)如图， 已知△ABC，求作其外接圆．(不写作法，保留作图痕迹)

(第14题)

15．(5分)如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD.求证：BE＝DE.

(第15题)

16．(5分)如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．

(第16题)

17．(5分)某居民小区圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；

(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4 cm，求这个圆形截面的半径．

(第17题)

18．(5分)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别与PA，PB相交于D，E两点，若PA＝5 cm，求△PDE的周长．

(第18题)

19．(5分)如图，已知半径为r的圆内接正六边形ABCDEF，求这个正六边形的周长和面积．

(第19题)

20．(5分)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，AC＝3.

(1)求tan A的值；

(2)若D为的中点，连接CD，BD，求弦CD的长．

(第20题)

21．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O交AC于点D，E为BC的中点，连接DE.

(1)求证：DE是半圆O的切线；

(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．

(第21题)

22．(7分)如图，在直角坐标系中，点O′的坐标为(－2，0)，⊙O′与x轴相交于原点O和点A，B，C两点的坐标分别为(0，b)，(1，0)．

(1)当b＝3时，求经过B，C两点的直线对应的函数表达式．

(2)当点B在y轴上运动时，直线BC与⊙O′有哪几种位置关系？并求出每种位置关系时b的取值范围．

(第22题)

23．(7分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB.

(1)求∠ACB的度数；

(2)若DE＝2，求⊙O的半径．

(第23题)

24．(8分)如图，AB为半圆形的直径，且AB＝6，将半圆形绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，求图中阴影部分的面积．

(第24题)

25．(8分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，∠BAC＝∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC.

(1)求证：EF是⊙O的切线；

(2)若DE＝1，BC＝2，求的长l.

(第25题)

26．(10分)阅读材料：如图①，△ABC的周长为l，内切圆的半径为r(圆心为O)，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．

∵S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA，S△OAB＝AB·r，S△OBC＝BC·r，S△OCA＝CA·r.

∴S△ABC＝AB·r＋BC·r＋CA·r＝l·r，

∴r＝(可作为求三角形内切圆半径的公式)

根据上述阅读材料，解答下列各题：

(1)理解与运用：利用上述推导的公式计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆的半径；

(2)类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆，如图②)且四边形ABCD的面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导求四边形的内切圆的半径R的公式；

(3)拓展与延伸：若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，…，an，合理猜想求其内切圆半径r′的公式(不需说明理由)．

(第26题)

答案

一、1.B　2.C　3.B　4.C　5.C　6.D　7.B　8.D

二、9.∠AOB＝∠COD　10.65°　11.80　12.6　13.

三、14.解：如图，⊙O即为所求．

(第14题)

15．证明：∵AB＝CD，∴＝，∴－＝－，即＝，∴∠B＝∠D，∴BE＝DE.

16．解：如图，连接OD，

(第16题)

∵AB＝2OD，AB＝2DE，∴OD＝DE，

∴∠E＝∠EOD＝18°.

∴∠ODC＝∠E＋∠EOD＝36°.

∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝36°.

∴∠AOC＝∠E＋∠OCD＝18°＋36°＝54°.

17．解：(1)如图，在上任取一点P，连接AP，BP，作AP，BP的垂直平分线，交点为O，连接OA，以OA长为半径作圆，所作圆即为所求．

(第17题)

(2)如图，过点O作OC⊥AB于点E，交于点C.

∴AE＝AB＝8 cm.

由题意知CE＝4 cm，设⊙O的半径为x cm，则OE＝(x－4)cm.

在Rt△AOE中，由勾股定理得

OE2＋AE2＝OA2，即(x－4)2＋82＝x2，

解得x＝10，即这个圆形截面的半径为10 cm.

18．解：∵PA与PB分别切⊙O于A，B两点，DE切⊙O于C，

∴PA＝PB＝5 cm，DA＝DC，EC＝EB，

∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DC＋EC＝PD＋DA＋PE＋EB＝PA＋PB＝10 cm.

19．解：过点O作OG⊥AB于G，连接OB.

∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，

∴∠AOB＝60°.

又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．

∴AB＝OA＝OB＝r.

∴正六边形ABCDEF的周长为6r.

∵△OAB是等边三角形，OG⊥AB，∴∠AOG＝30°.

∴OG＝OA·cos∠AOG＝r.

∴S△OAB＝AB·OG＝×r×r＝.

∴正六边形ABCDEF的面积＝6S△OAB＝.

20．解：(1)∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴BC＝＝＝4，

∴tan A＝＝.

(2)如图，连接AD，过点B作BE⊥CD于点E.

(第20题)

∵D为的中点，AB为⊙O的直径，

∴DA＝DB＝AB＝，∠ACD＝∠BCD＝45°，

∴BE＝CE＝BC＝2.

在Rt△BDE中，DE＝＝＝，

∴CD＝CE＋DE＝2＋＝.

21．(1)证明：连接OD，OE，BD.

∵AB为半圆O的直径，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°.

在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE＝BE.

在△OBE和△ODE中，

∴△OBE≌△ODE(SSS)．

∴∠ODE＝∠OBE＝90°.

∴DE为半圆O的切线．

(2)解：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴BC＝AC.

∵BC＝2BE＝2DE＝4，∴AC＝8.

易知∠C＝60°，DE＝EC，

∴△DEC为等边三角形．∴DC＝DE＝2.

∴AD＝AC－DC＝8－2＝6.

22．解：(1)设经过B，C两点的直线对应的函数表达式为y＝mx＋n(m≠0且m，n为常数)．

分别将点B(0，3)，C(1，0)的坐标代入y＝mx＋n，得解得

∴经过B，C两点的直线对应的函数表达式为y＝－3x＋3.

(2)直线BC与⊙O′有3种位置关系：相切、相交、相离．当BC切⊙O′于第二象限时，记切点为D，易得DC＝.

∵BO＝BD＝b，∴BC＝－b.

在Rt△OBC中，易得12＋b2＝(－b)2，解得b＝ .

同理当BC切⊙O′于第三象限时，可求得b＝－ .

故当b＞ 或b＜－ 时，直线BC与⊙O′相离；

当b＝ 或－ 时，直线BC与⊙O′相切；

当－ ＜b＜ 时，直线BC与⊙O′相交．

23．解：(1)连接OA，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E.

∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB，

∴∠OAB＝∠ABE＝∠E.

∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°.

∵∠OAB＋∠ABE＋∠E＋∠OAE＝180°，

∴∠OAB＝∠ABE＝∠E＝30°，

∴∠AOB＝180°－∠OAB－∠ABO＝120°，

∴∠ACB＝∠AOB＝60°.

(2)设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r＋2，

∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，

∴2OA＝OE，即2r＝r＋2，∴r＝2，

故⊙O的半径为2.

24．解：根据题意可知，将以AB为直径的半圆形绕点A顺时针旋转60°，恰好与以AC为直径的半圆形重合，则图中阴影部分的面积恰好为扇形BAC的面积，所以阴影部分的面积为＝6π.

25．(1)证明：连接OC.

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.

又∵∠OAC＝∠DAC，

∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC.

∴∠OCF＝∠AEC＝90°，∴EF是⊙O的切线．

(2)解：连接OD，DC.

∵∠DAC＝∠DOC，∠OAC＝∠BOC，∠DAC＝∠OAC，

∴∠DOC＝∠BOC，∴CD＝CB＝2.

∵ED＝1，∴sin∠ECD＝＝，

∴∠ECD＝30°，∴∠OCD＝60°.

又∵OC＝OD，∴△DOC是等边三角形，

∴∠BOC＝∠COD＝60°，OC＝2，

∴l＝＝π.

26．解：(1)∵52＋122＝132，

∴边长分别为5，12，13的三角形是直角三角形，

∴S＝×5×12＝30，

∴r＝＝＝2，

即边长分别为5，12，13的三角形内切圆的半径为2.

(2)如图，连接OA，OB，OC，OD.

(第26题)

∵S四边形ABCD＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCD＋S△AOD，S△OAB＝AB·R，S△OBC＝BC·R，

S△OCD＝CD·R，S△AOD＝AD·R，

∴S四边形ABCD＝AB·R＋BC·R＋CD·R＋AD·R＝(a＋b＋c＋d)·R＝S.

∴R＝.

(3)若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，…，an，则其内切圆半径r′＝.