初中数学8下模式1：新人教版导学案（130页）

这是一份初中数学8下模式1：新人教版导学案（130页）

第十六章 二次根式
第1课时 二次根式的定义
学习目标：
了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范围。
理解二次根式的非负性
学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用
学法指导：小组合作交流 一对一检查过关
导：
看书后填空：二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是的形式。（2）被开方数必须是 数。
判断下列格式哪些是二次根式?
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑸ ⑹ ⑺ ⑻
学：
代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0
当x是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？
⑵ ⑶ ⑷ ⑸ （6）
（1）常见的非负数有：
（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0.
已知：，求a,b的值。
巩固练习：
已知求a,b的值
2.已知则的值为
练：
1.下列各式中：① ② ③ ④ ⑤ ⑥其中是二次根式的有 。
2.若有意义，则x的取值范围是 。
3.已知，则
4.函数中，自变量x的取值范围是（）
（A） X>2 (B) X≥2 (C) X>-2 (D) X≥-2
5.若式子有意义，则P（a,b）在第（ ）象限
（A）一 (B)二 (C)三 (D)四
6.若则
7.方程，当y>0时，m的取值范围是
8.已知，求xy的值
展：小组展示成果，提出质疑
评:
1. 组内互助，解决质疑并进行小组评价。

2.知识方法小结：(交流后填空)
（1）二次根式的定义：_________________________
（2）二次根式有意义的条件：_______________________
（3）二次根式的性质: 是 数，即 0
（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思


第2课时 二次根式的性质
学习目标：理解二次根式的性质，并能运用性质
学习重难点：二次根式的性质的理解和综合运用
学法指导： 先自学质疑，再小组互助，最后请求老师帮助
导：
u 看书完成填空：
1.是一个________ 数 2.__________（a≥0）
3.
4.代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把_______和表示数的__________连接起来的式子，叫做代数式。
学：
u 在二次根式的运算时，要熟练地利用公式及进行计算
例1.计算：（1）（2） （3）（4）
例2.实数范围内分解因式：

u 二次根式化简：
例3.化简：（1） （2） （3） （4）
练：
1.计算：（1） （2） （3） （4）
2.实数范围内分解因式：
3.说出下列各式的值：（1） （2） （3）
（4） （5）
4.已知0 A 2X-1 B 1-2X C -1 D 1
5.若，则a的取值范围是（）
A a=0 B a≥0 C a ≤0 D a为任意实数
6.若则a的取值范围是（）
A a≥3 B a≤1 C 1≤a≤3 D a=1或a=3
7. 已知求的值。
8．在△ABC中，a,b,c是三角形的三边长，试化简
展：小组展示成果，提出质疑
评:
知识方法小结：二次根式的性质：
（1） （2） （3）

（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思


第3课时 二次根式的乘法
学习目标：掌握二次根式乘法法则的运用 ,会把二次根号外的因式移到根号内
学习重难点：二次根式的乘法运算和化简及二次根号外的因式移到根号内
学法指导： 利用类比，由一般到特殊，再由特殊到一般的思维方式
导：
u 二次根式乘法法则： （a≥0,b≥0）
例1：计算：（1） （2） （3）
学：
u 利用及进行化简
例2.化简（1） (2) (3)(4)
u 二次根式的被开方数不含开得尽方的因数或因式
例3.计算：（1） （2） （3）
u 运用公式和进行解答，解答时注意符号
例4.把下列各式中根号外的因式移到根号里面
（1） （2） （3）
练：
一、选择题：1.化简二次根式
A B C D
2.下列计算正确的是（）
A B
C D
3.化简得（）
A 22 B ±22 C ±308 D 308
4.如果，则实数m的取值范围是（）
A m≥4 B m≥6 C 4≤m≤6 D m一切实数取
二、填空题
5.计算：
6.已知一个三角形的底边长为cm,底边上的高为cm，则此三角形的面积为：
7.点P（x,y）在第二象限，化简
三、解答题
8.计算：（1） (2)
(3) (4)
展：小组展示成果，提出质疑
评: 1.解决质疑：组内交流后仍不明白，向老师请教。
2．知识方法小结：二次根式乘法法则：________________________
二次根式法则逆用：_________________________
（四）课堂小结
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（五）作业
（六）反思

第4课时 二次根式的除法
学习目标：掌握二次根式除法法则的运用及法则逆用，训练逆向思维能力。
学习重难点：理解和运用和
学法指导：利用类比，由一般到特殊，再由特殊到一般的思维方式

导：
u 二次根式除法法则：
例1．计算：（1） （2）
（3） (4)
学：
u 运用计算或化简
例2.计算：（1） （2）
练：
1. 下列计算正确的是（）
A B
C D
2.等式成立的条件是（）
A x≠3 B x≥0 C x≥0且x≠3 D x>3
3.计算的结果为（）A B C D
4.计算：（1） （2）
5. 在△ABC中，BC边上的高h=cm，它的面积恰好等于边长为cm的正方形面积。则BC的长为
6.计算：
7.计算：（1） （2）
（3） （4）
展：小组展示成果，提出质疑
评:
1.组内交流解决质疑，若仍不懂则向老师请教。
2.知识归纳：
二次根式除法法则及逆用:和
（四）课堂小结
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（五）作业
（六）反思

第5课时 最简二次根式
学习目标：理解最简二次根式的概念，并运用其化简,能检验计算结果是否是最简二次根式
学习重难点：最简二次根式的运用和判断结果是否是最简二次根式。
学法指导：小组合作交流 一对一结对子检查过关。
导：
u 最简二次根式有如下两个特点：
（1）被开方数不含 （2）被开方数中不含开得尽方的 我们把上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
u 二次根式的计算和化简结果，一般都要化成 二次根式。
例1．计算：（1） （2） （3）
学：
u 分式化简：（1）分母有理化之前，要先把分子、分母的二次根式进行化简
（2）分母有理化常有两种方法：一是分子、分母都乘以适当的二次根式，二是根据题目的特点，把分母或分子当地分解因式，再约分。
例2.化去下列各式分母中的二次根式
（1） （2） （3） （4）
例3.如图，在Rt△ABC中,∠C=,AC=2.5cm BC=6cm,求AB长。
练：1.下列各式中，最简二次根式的是（ ）
A B C D
2.将化成最简二次根式为（ ）
A B C D
3.已知a=,b=,则a与b的关系是（ ）
A a=b B ab=1 C a+b=0 D ab=-1
4.下列各式中，变形正确的是（ ）
① ② ③ ④
⑤⑥
A.5个 B 4个 C 3个 D 2个
5．把化成最简二次根式为
6.观察下列各式：，，，…………请将猜想到的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来
7.计算：（1） （2） （3）
8.计算：
9.如图，在Rt△ABC中,∠C=900,∠A=300,AC=2cm,求斜边的长
展：小组展示成果，提出质疑
评: 1.组内交流解决质疑，若仍不懂则向老师请教。
2.知识归纳：分式化简：（1）分母有理化之前，要先把分子、分母的二次根式进行化简
（2）分母有理化常有两种方法：一是分子、分母都乘以适当的二次根式，二是根据题目的特点，把分母或分子当地分解因式，再约分。
补：【拓展】已知,.求的值。
（四）课堂小结
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（五）作业
（六）反思
第6课时 二次根式的加减
学习目标：理解和掌握二次根式加减的方法。先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解
学习重难点：二次根式化简为最简根式；会判定是否是最简二次根式。
学法指导：类比整式加减，注意思维方式的训练。
导：
1.几个根式中，根指数是（ ），并且被开方数（ ）的根式叫做同类二次根式。
2.二次根式加减时，可以先将二次根式化成（ ）再将被开方数相同的二次根式进行（ ）．
3.计算下列各式．
（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3
4.计算下列各式．
（1）2+3 （2）2-3+5
（3）+2+3 （4）3-2+
学：
u 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
例1、(1). +; (2). -
例2、(1) 2+3 （2）（）+（—）；
练：
1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；
④=2，其中错误的有（ ）．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5、在,,,中与是同类二次根式有
6、已知，则x等于 .
7、若的整数部分是a，小数部分是b，则 .
8、已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=__ _______ ．
9、 10、
展：小组展示成果，提出质疑
评: 1.组内交流解决质疑，若仍不懂则向老师请教。
2.知识归纳：
u 同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么它们就叫做同类二次根式。
u 同类二次根式可以像同类项那样进行合并。【本概念了解即可】
二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再合并被开方数相同的根式。有括号时，要先去括号。
（四）课堂小结
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（五）作业
（六）反思

第7课时 二次根式的加减
学习目标：利用二次根式加减法解决一些实际问题. 培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力. 获得把实际问题转化为数学问题的体验。
学习重难点：将实际问题抽象为数学问题和二次根式的混合运算，被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简。
学法指导：利用转化思想，细心计算，注意提升计算能力。
导：
u 将实际问题转化为（ ）。
u 二次根式的混合运算法则：（口答）
u 复习巩固: （1）; （2）
学：
u 数学来源于生活,应用于生活,因此我们应该热爱生活,热爱数学;将实际问题转化为数学问题,只要审清题意弄明白,就一定可以做出来
例3.要焊接一个如图21.3-1所示的钢架,大约需要多少米钢材（精确到0.01m）?【】









u 二次根式仍然满足整式的运算律，故可直接用整式的运算律。
例4、计算:【讲解完成后类比完成书上例题】
（1）（+）× （2）（4-3）÷2
练：1、计算：
（1） （2）
（3） （4）
2.【20分】如图，Rt△AMC中，∠C=90°， ∠AMC=30°，AM∥BN，MN=2 cm，
M
A
N
B
C
BC=1cm，则AC的长度为 (　　　)
A、2cm B、3cm C、3.2cm D、
3.解答题：【每小题40分】
（1）.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，
BC=cm，求AB上的高CD长度.






（2）.

展：小组展示成果，提出质疑
评: 1.组内交流解决质疑，若仍不懂则向老师请教。
2．体会数学中的转化思想：
3．理解二次根式四则运算：
（四）课堂小结
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（五）作业
（六）反思

第8课时 二次根式的加减
学习目标：含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用； 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算
学习重难点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；由整式运算知识迁移到含二次根式的运算。
学法指导：类比整式运算中乘法公式进行二次根式的运算。
导：
u 二次根式的混合运算法则：________________________。
u 二次根式性质和化简的内容：________________________________。
u 计算
（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy
u 计算
（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2
学：
u 整式中的运算规律也适用于二次根式
例1．计算【讲解完成后类比完成书上例题】
（1）（+6）（3-） （2）（+）（-）
u 巩固练习 【师生共同分析思路，学生再思考完成】
1. 2.
3. 4.
练：
1．当x_________ _时，式子有意义．
2. a－的有理化因式是____________．
3. 当1＜x＜4时，|x－4|＋＝________________．
4. 若＋＝0，则(x－1)2＋(y＋3)2＝____________．
5. x，y分别为8－的整数部分和小数部分，则2xy－y2＝____________．
6. 已知＝－x，则……………（　　）
（A）x≤0　　　（B）x≤－3　　　（C）x≥－3　　　（D）－3≤x≤0
7．若x＜y＜0，则＋＝……（　　）
（A）2x　　　（B）2y　　　（C）－2x　　　（D）－2y
8. ．化简a＜0得………………（　　）
（A）　　　（B）－　　　（C）－　　　（D）
9、已知 ,那么 的值是 ( )
A、1 B、-1 C、±1 D、4

10.计算：


11.已知 求① ； ② 的值.
（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思

第9课时 二次根式的复习
学习目标：二次根式的概念及其性质；二次根式的化简及运算；二次根式的相关运用。
学习重难点：二次根式的双重非负性的理解；二次根式的化简。
学法指导：小组合作交流 一对一结对子检查过关。
导：知识点回顾
1、二次根式：（1）定义：（2）两个公式：① ②
2、积、商的算术平方根：
=·（a≥0，b≥0）
3、二次根式的乘除法：
·=（a≥0，b≥0） =（a≥0，b>0）
4、积、商的算术平方根的性质与二次根式的乘除法法则是一个统一的整体，
如：
学：
例1：x是什么实数时，下列各式在实数范围内有意义：
，，，，，
例2：化简：
（1）|4x| （x<0） （2）
（3） （4）
例3、计算
例4、化简：（1） （2）
例5.－－；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．
练：
1.下列式子中，是二次根式的是（ ） A．- B． C． D．x
2.下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3．若0＜x＜1，则－等于……（　　）
（A）　　　（B）－　　　（C）－2x　　　（D）2x
4. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
5．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．
A． B． C．- D．-
6. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A. B. C. 1 D. 3
二．填空题
7. 已知：，则 。
8.三角形的一边长是，这边上的高是，则这个三角形的面积是
9. 计算：的结果为
10. 已知

11. 化简= ②= 【两个题选做一个即可】
12. 已知 ,那么 的值是
三．解答题 [
1.计算：（）－2－|1－|- 科2. 当时，求x2-2x-1的值
（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思

第十七章 勾股定理
第1课时——勾股定理（1）
一、教学目标：
1、能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理；
2、知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示；
3、能运用勾股定理理解用关直角三角形的问题。
二、教学重点：知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示。
教学难点：能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理；
三、学习过程：
（一）导入：勾股定理的探究：
1、 利用几何图形的性质探索勾股定理：
探索一：剪4个与图1完全相同的直角三角形，
再将它们拼成如图2所示的图形。
大正方形的面积可以表示为： ；
又可以表示为 。
∵两种方法都是表示同一个图形的面积
∴ =
即 =
∴（用字母表示）

2、将图2沿中间的正方形的对角线剪开，
得到如图所示的梯形：
直角梯形的面积可以表示为： ；
三个直角三角形的面积和可以表示为： ；
利用“直角梯形的面积”与“三个直角三角形的面积和”的关系，可以得到：
= + +
∴ =
即 =

∴（用字母表示）

3、 利用代数的计算方法探索勾股定理:
探索一：如图一，观察图中用阴影画出的三个正方形（每一个小方格的边长为1）
∵= ，= ；
∴ =
即：（用字母表示）

探索二：利用右图画出一个两条直角边分别为AC=3厘米、BC=4厘米的直角三角形，
（1）用刻度尺量出斜边的长AB= 厘米，
（2）计算： = =
= =
即：（用字母表示）
3、勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为，那么 。
公式变形: c= ， a = , b =
（二）讲授新课：勾股定理的应用：
例1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1） 已知a＝6， b＝8，求c； （2） 已知a＝2， c＝5， 求b．
解：（1）在 中，根据勾股定理，
c = = =
∴c =
（2）在 中，根据勾股定理，
b = = =
∴b=
（三）课堂练习:
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1） 已知 a＝3，b＝4，求c； （2） 已知c＝10， a＝6，求b.
解：(1)在 中，根据勾股定理， （2）在 中，根据勾股定理，
∴c= = = ∴b= = =
∴c = ∴ b=

2.求下列图中直角三角形的未知边。







3、在，∠C＝90°，
（1）若a＝6，b＝8，则c= ； （2）若c＝13，b＝12，则a= ；
（3）若a＝4， c＝6，则b= 。
4、在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为 。
5、在一个直角三角形中，若斜边长为17cm，一条直角边的长为5cm，则另一条直角边的长为 。
6、如果一个直角三角形的两条直角边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的斜边长为 ，周长为 。
7、已知△ABC中，∠B＝90°， AC＝25cm，BC＝24cm，求AB的长.
解：由∠B＝90°知,直角边是 , 斜边是
根据勾股定理得，=
∴AB=
8、如图，△ABC中，AB=AC，BC=8，中线AD=3。求AB的长度。
解：∵△ABC中，AB=AC，AD是中线
∴∠ADB=
BD= = =
在中，∵=

∴AB=

9、等边三角形的边长为2，求这个等边三角形的高和面积。




C
B
A
10、已知等腰直角三角形的斜边长为2厘米，求这个三角形的周长。
解：如图，在等腰直角三角形ABC中， 设 AC=BC=
在 中，∠
根据勾股定理得： + =


11、如果一个如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，求这个三角形的周长。



（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思


第2课时——勾股定理（2）
一、教学目标：
掌握勾股定理，能用勾股定理解决某些简单的实际问题。
二、教学重点：掌握勾股定理，能用勾股定理解决某些简单的实际问题。
教学难点：熟练勾股定理，并利用它们的特征解决问题。
三、教学过程
（一）复习导入： 1、如图①在RT△ABC中，∠C=90o，由勾股定理，
得c2=_____________, c=__________
2、在Rt△ABC中，∠C=90o
① 若a=1，b=2，则c2=_________=_________=_____∴c=_________
② 若a=1，c=2，则b2=___________=________=______∴b=_________
③ 若c=10，b=6， 则a2=___________=________=______∴a=_________
（二）新课讲授：
例1：（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？
（2）一个门框的尺寸如图1所示。
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
解：（1）___________________
( 2)答: ①:__________
②:_________
在Rt△ABC中, 由勾股定理，得AC2=AB2+BC2=________=___

因为AC______木板的宽，所以木板_________从门框内通过。

（三）课堂练习：
1、已知要从电杆离地面5米处向地面拉一条长7米的电缆，
求地面电缆固定点A到电线杆底部B的距离。
解：由题意得，在Rt△ABC中： =5米， =7米
根据勾股定理，得AB2=
∴AB=

2、如图，一个圆锥的高AO=2.4cm，底面半径OB=0.7cm，
求AB的长。
解：


3、如图，为了求出位于湖两岸的两点A、 B之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．通过测量，得到AC长160米，BC长128米．问从点A穿过湖到点B有多远?
解：由题意得：在 中，
根据勾股定理得：
= = =
∴AB=
∴从点A穿过湖到点B有
4、求下列阴影部分的面积：
（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆．




解：（1
正方形的边长=
正方形的面积=________ ______
(2)
长方形的长=
长方形的面积为________________
(3)
圆的半径=
半圆的面积为__________________
5、一旗杆离地面6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆8米处，旗杆折断之前有多少米？
（提示：折断前的长度应该是AB+BC的长）
解：



6、如图所示，求矩形零件上两孔中心A和B的距离。
(精确到0.1mm)（分析：求两孔中心A和B的距离即
求线段____的长度）
解： 如图：AC=
BC=
∵Rt△ABC中，∠C=90o，
由勾股定理，得
∴AB2=_________=
∴AB=
答：
7、在△ABC中，∠C=900，AB=10。
（1）若∠B=300，求BC、AC。



（2）若∠A=450，求BC、AC。




8、如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米。
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C，请同学们:
猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？
算一算，底端滑动的距离近似值是多少? （结果保留两位小数）



9、一艘轮船以16海里/时的速度离开港口A向东南方向航行。另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口一个半小时后相距多远？（自已画图，标字母，求解）。







（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）作业
第3课时——勾股定理的逆定理（1）
一、教学目标；
1、掌握勾股定理的逆定理，能应用勾股定理逆定理判定某个三角形是直角三角形。
2、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
二、教学重点：掌握勾股定理的逆定理，能应用勾股定理逆定理判定某个三角形是直角三角形。
教学难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
三、教学过程
（一）复习巩固：
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，三边长为a，b，c
(1)两锐角关系∠____+∠____=90o
(2)三边之间的关系(勾股定理)：_ ___2+__ __2=__ _2
2、求出下列直角三角形的未知边。





AC=______ BC=______ BC=_______
（二）讲授新课：
1、已知：在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a2+b2=c2。
求证：∠C=90o 。
分析：①思考：证明一个角是90o有何方法？
____________________________
②按要求画出图形作△A/B/C/，使B/C/=a，A/C/=b，∠C/=90o 。
③在Rt△A/B/C/中，A/B/=_____________。
④A/B/____AB，（填“=”或“≠”） 作图：
⑤△_____≌△_____ （ ）
⑥∠C____∠C/ （填“=”或“≠”）
2、小结：如果三角形的三边长，，满足 ，
那么这个三角形是 三角形。


3、定理的应用：
例：判断下列线段a、b、c组成的三角形是否为直角三角形？若是，指出哪一条边所对的角是直角。
（1）a=15，b=20，c=25
（2）a=40，b=50，c=60
（3）a=1，b=2，c=
（三）课堂练习：
1、用勾股定理的逆定理判断下列线段a、b、c组成的三角形是否为直角三角形？
(1)a=1.5，b=2，c=2.5 （2）a=，b=1，c=
2、古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么为勾股数。你认为对吗？如果对，你能利用这个结论写出三组勾股数吗？
证明：（1）∵a2+b2 =（ ）2 +（ ）2 =_______+_______ =
c2 =（ ）2 =_________
∴a2+b2 ____ c2 （填“=”或“≠”）
∴
（2）当=2时， =___，=__ , =___， __ _ ___为一组勾股数；
（3）当=3时， =___，=__ , =___， __ ____为一组勾股数；（4）当= 时， =___，=__ , =___， _ ___为一组勾股数。
3、各组数中，以为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A、 B、
C、 D、
4、三角形的三边满足，则此三角形是（ ）。
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形
5、已知是△ABC的三边，且满足，则此三角形是 。
2、一个三角形的三边长分别是6，8，10，求这个三角形最长边上的高。


6、已知在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm。
已知如图AD=4，AB=3，∠A=90o，BC=13，CD=12。求四边形ABCD的面积。
提示：①
②△ABD是Rt△，△BDC


7、若△ABC的三边满足，试判断△ABC的形状。

（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思


第4课时——勾股定理的逆定理（2）
一、教学目标：
1、通过具体例子，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立；
3、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
二、教学重点：了解逆命题、逆定理的概念。
教学难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
三、教学过程
（一）复习导入：1、求出下列直角三角形的未知边。





AC=______ AC=______ BC=_______
2、木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，则这个桌面 。（填“合格”或“不合格”）
(3)已知一个三角形的三边长分别为12、16、20,则这个三角形是 三角形，它的面积是___________。
（二）讲授新课：
1、逆命题、逆定理的概念：
命题1: 若直角三角形的两直角边长分别为、，斜边长为，则
题设：，结论：
命题2：若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形.
题设：，结论：
（1）：命题1与命题2的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做，如果把其中一个叫做，那么另一个叫它的。
（2）：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，则它也是一个定理，那么称这两个定理互为 。

2、在数轴作出表示的点。
分析：利用勾股定理，长为的线段是直角边为正整数 、 的直角三角形的斜边。
作法：
（1）在数轴上找到点A，使OA= ，
（2）作直线⊥OA，在上取点B，使AB= ，
（3）以原点O为圆心，以OB为半径作弧，
弧与数轴的交点C即为表示的点。

（三）课堂练习：
1、下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1） 同旁内角互补，两直线平行；
（2） 如果两个角是直角，那么它们相等；
（3） 全等三角形的对应边相等；
（4） 如果两个实数相等，那么它们的平方相等。
2、命题“对顶角相等”和“相等的角是对顶角”是（ ）
A、互逆命题 B、互逆定理 C、都是真命题 D、都是假命题
3、命题“两条直线相交只有一个交点”的逆命题是
，它是 命题。
4、李师傅在操场上安装一副单杠，要求单杠与地面平行，杠与
两撑脚垂直，如图所示，撑脚长3m，两撑脚间距离BC为2m，
则AC= ，就可以符合要求。

5、小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回到原地。由此我们可以得出：小明向东走80米后，又向 方向走的。
6、在数轴作出表示的点。
提示：长为的线段是直角边为
正整数 、 的直角三角形的斜边。
7、在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为，且，则△ABC是 三角形，且∠ =90°。
8、边长分别是的ABC，下列命题是假命题的是（ ）。
A、在△ABC中，若∠B=∠C-∠A，则△ABC是直角三角形；
B、若，则△ABC是直角三角形；
C、若∠A︰∠B︰∠C=5︰4︰3，则△ABC是直角三角形；
D、若，则△ABC是直角三角形。
9、在△ABC中，∠C=90°，已知, ，求b的值。



10、如图,每个小方格都是边长为1的小正方形, △ABC的位置如图所示,你能判断△ABC是什么三角形吗?请说明理由。


11、如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，点E是BC上的点，
∠BAE=∠CED=60o ，AB=3，CE=4。
求：①AE的长。 ②DE的长。 ③AD的长。（提示：先证△____是Rt△）






12、已知在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm。
求证：AB=AC。





（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思


第5课时——勾股定理及逆定理的应用
一、教学目标：
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
二、教学重点、难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
三、教学过程
（一）复习巩固：
1．求出下列直角三角形的未知边。

AC= BC= BC=
2、以下各组数为边长，能构成直角三角形的有 。（填写编号）
（1）6，7，8 （2）8，15，17 （3）7，24，25 （4）12，35，37
（二）讲授新课:
例1、某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
（分析：由于“远航”号的航向已定，若求出两艘轮船航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了。）
解：（先根据题意画出图形）




例2、（如图1）有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
解： （根据题意画出示意图2）设水的深度OB为尺，则芦苇的长度为 尺。
∵芦苇在水池的正中央
∴OC= = =
由题意得：Rt△ 中，∠ =90°
OC= ，OB= ,
图1 图2
BC=
根据勾股定理得：
（三）课堂练习
1、已知甲往东走了6千米，乙往南走了8千米，这时甲、乙两人相距 千米。
2、已知三角形三边长分别为5，12，13，则此时三角形的面积是 。

3、边长为下列各组长度的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）。
A、0.3，0.4，0.5 B、1，， C、4，5，6 D、1，，
4、如图，正方形网格中，每个小正方形的
边长为1，则AB=____。
5、如上图，每个小正方形的边长是1，在
图中画出一个三角形，使三角形的斜边
的边长是。
第4题 第5题
6、直角三角形一直角边为12，斜边长为13，
则它的面积是 。
7、如图，明明散步从A到B走了41米，从
B到C走了40米，从C到A走了9米，则
∠A+∠B的度数是 。
8、在△ABC中，∠ACB=900，AC=5，BC=12。求
（1）△ABC的面积S△ABC。
（2）求斜边AB的长度。
（3）求高CD的长度。

9、架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物0.7米，如果梯
子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑出多远？
(梯子的底部向外滑出的距离是线段 )






10、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8点甲先出发，他以每小时6千米的速度向西行走，1小时后乙出发，他以每小时5千米的速度向北行进，上午10点的时候两人相距多少千米？






11知如图AD=4，AB=3，∠A=90o，BC=13，CD=12。求四边形ABCD的面积。
解：



（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？你有什么收获？还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思

第6课时——勾股定理复习（1）
一、教学目标：
1、 掌握勾股定理及其逆定理，并会运用定理解决简单问题，会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；
2、了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
二、教学重点：掌握勾股定理及其逆定理，并会运用定理解决简单问题。
教学难点：了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
三、教学过程
（一）复习导入：
1、勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么 。
2、 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
3、 原命题与逆命题、定理与逆定理：注：原命题成立，但逆命题不一定成立。
（二）课堂练习
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，
①已知a=2，b=3，则c=
②已知a=2，c=4，则b=_______
③已知b=5，c=13，则a=______
2、以下列各组线段为边，能组成直角三角形的有： （写题号）
（1） 3cm , 4cm , 5cm （2）1 cm ,2cm ,3cm
（3） 1cm ，1 cm，cm （4）1 cm，2 cm， cm
3、一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了99千米，然后向正北方向航行了20千米，这时它离出发点 千米。
4、下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？成立的在括号里打“√”。
（1）内错角相等，两直线平行；
（ ）
（2）全等三角形的对应角相等；
（ ）
（3）角平分线上的点到角的两边的距离相等。
（ ）
5、若一个等腰三角形的底边长为8，底边上的高为3，则这个等腰三角形的腰长为 。
6、在△ABC中，AB＝AC＝10， BD是AC边的高，DC＝2， 则BD=__ ___ 。
7、已知，则以，，为三边的三角形是
三角形。
8、三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高是 。
9、把直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）。
A 、2倍 B、4倍 C、3倍 D、5倍
10、已知直角三角形的周长为12，斜边长为5，则这个三角形的面积为（ ）。
A、12 B、6 C、8 D、10
11、如图，要修一个育苗棚，棚的截面是直角三角形，
棚宽a=3m，高b=4m,长d=10m，则覆盖在顶上的
塑料薄膜需 m2。
12、直角三角形的两条直角边分别为7和24，
则斜边上的高为 。
13、满足的三个正整数（a，b，c），称为一组勾股数，请你写出三种勾股数 ， ， 。
14、若一个三角形的三边之比为5﹕12﹕13，且周长为60厘米，求它的面积。



15、 如图，每个小正方形的边长为1，判断∠BCD是直角吗，请说明理由。






16、如图，已知CD=6米，AD=8米，∠ADC=90°，BC=24米，AB=26米，求图中深色部分的面积。





17、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，一阵风吹来，红莲吹到一边，
花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求这里的水深是多少？



解：设水深m,
因为红莲高出水面1m，则红莲的高度为_______m
依题意可得：


18、如图所示，有一根高为16m的电线杆BC在A处断裂，电线杆顶部C落在地
面离电线杆底部B点8m远的地方，求电线杆的断裂处A离地面的距离．







19、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
A
D
E
B
C







（三）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（四）作业
（五）反思

第7课时——勾股定理复习（2）
一、填空题：
1、在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_________。
2、在Rt△ABC中， a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则
3、如图，字母B所代表的正方形的面积是 ______。


4、如图，在校园内有两棵树，相距12m，一棵树
高13m，另一棵树高8m，一只小鸟从一棵树
的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞_______m．
5、若太阳光与地面成角，一棵树的影长为5米，
则树的高度为________米。
6、一个三角形三边的比是1﹕﹕2，这个三角形是
三角形，并且有一个锐角的度数是 。

二、选择题：
1、在三边分别为下列长度的三角形中，哪个不是直角三角形（ ）。
A、 B、 C、 D、
2、若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）。
A、13 B、13或 C、13或15 D、15
3、若直角三角形的两条直角边长分别为，，则斜边上的高为（ ）。
A 、 B、 C、 D、
4、直角三角形的斜边为，两直角边之比为，此直角三角形的周长为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、下列各命题的逆命题不成立的是（ ）。
A、两直线平行，同旁内角互补 B、三边对应相等的两三角形全等
C、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 D、若则

6、若等腰三角形的两条边长分别为4和6，则底边上的高等于（ ）。
A、 B、或 C、 D、或
7、如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，
现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（ ）。
A、5米 B、6米 C、7米 D、8米
三、解答题
1、在数轴作出表示的点。




2、在中，
（1）已知求；



（2）已知，,求。




3、如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，
要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价为26000元，求修这条公路的最低造价是多少？







4、一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？





5、一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是多少？





6、如图1，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，则从顶点A到顶点C’的最短距离是多少？






A
C
BA
D
OA

7、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？






8、如图所示，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有一条
绳子从点A出发，沿长方体表面到达C处，问绳子最短是多少cm？






第十七章勾股定理单元测验卷

一、选择题（共30分）
1、如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）。
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
2、观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17； (2) 7, 12, 15； (3)6, 8, 10；
(4) 7, 24, 25，其中不能作为直角三角形的三边长的是第( )组。
A. （1） B. （2） C. （3） D.（4）
3、如图，等腰三角形中，AB=AC=13，BC=10，则高AD的长为 （ ）。
A．5 B. 10 C . 12 D.
4、 如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1， 则AC等于 （ ）。
A．6 B． C． D．4
5、如图，一棵大树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，树的顶端落在离树干3米远处，这棵大树在折断前的高度为（ ）。
A．5米 B．7米 C．8米 D．9米




第（3）题图 第（4）题图 第（5）题图
6、下列各命题的逆命题不成立的是（  ）。
    A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余
C．全等三角形的对应边相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
7、若直角三角形两条直角边长分别为5㎝,12㎝,则斜边上的高为( )。
A.6㎝ B. ㎝ C. 8㎝ D. ㎝
8、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（　 ）。
A．5 B．25 C． D．5或
9、直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长（ ）。
A．4 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
10、如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（ ）。
（A）40cm (B)45cm (C)50cm (D)56cm

二、选择题（共27分）
11、 在Rt△ABC中,∠C=900,若则 。
12、已知△ABC中，∠B＝90°，AC＝7cm，BC＝4cm，则AB=_____。
13、测得一个三角形花坛的三边长分别为6cm，8cm，10cm，
则这个花坛的面积是 __。
14、若直角三角形两直角边之比为3∶4，斜边长为20，则它的面积为__________。
15、如图所示,图中所有三角形是直角三角形, 所有四边形是正方有形,
,则= 。
16、命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”的逆命题为__
_______ ____,它是____命题。(填“真”或“假”)
17、如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm），经过计算两圆孔中心A和B的距离为 。
18、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂 蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm。






第（15）题图 第（17）题图 第（18）题图

三、解答题
19、（5分）在数轴上作出表示的点。






20、（8分）在△ABC中，∠C=900，
（1）若BC=6、AC=2,求AB。
（2）若∠B=300，AB=6，求BC、AC。






21、（10分）放学后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若她们的行走速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，则她们两家的距离为多少米？






22、（10分）如图，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求该四边形的面积。










23、（10分）E
C
D
B
A
如图，一个梯子AB长2.5 米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？







24、（10分）小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为多少米?





25、（10分）如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：(1)FC的长；(2)EF的长。
　　　　

第18章 平行四边形
第1课时——平行四边形及性质（1）
一．教学目标：理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
二．教学重点：会用平行四边形的性质解决简单问题，并能进行有关的论证．
教学重点：培养学生的动手能力、观察能力及推理能力。
三．教学过程
（一）、复习导入
平行四边形的定义：
的四边形叫做平行四边形。
记作：，连AC和BD，则AC，BD叫四边形的对角线
（二）讲授新课
通过观察或者度量填写下列空格
1.平行四边形的性质1:
边的性质:AB‖ ; BC‖
AB= ; BC=
即:平行四边形对边平行且 。
2.平行四边形的性质2: 角的性质:∠A= ,∠B=
即:平行四边形对角 。
3．小结：平行四边形的性质：用几何语言描述平行四边形的性质，

①∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥ ，AD∥
AB = ， AD =
②∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠ ， ∠B=∠
4．例题：例1：如图，在中，已知∠B＝40，求其他各个内角的度数。

解：∵在中，∠B＝40
∴∠ =∠B＝40（平行四边形对角 ）
∵AD∥ (平行四边形 )
∴∠A+∠ =
∴∠A=
∴∠ =∠A= (平行四边形 )
答：其他各个内角分别为 、 、 和 。
例2：如图，在中，已知AB=8，周长等于24，求其余三条边的长。
∵在中，
∴CD=AB= ，AD= （平行四边形 ）

∵的周长是24，
AB＋ ＋ ＋ =24
∴
答：其余三条边的长分别为 、 和 。
（三）课堂练习：
1、如图，在 ABCD中，AB=3㎝，AD=5㎝，
∠A=43°,∠B=137°,
则DC= ，AD= ∠C= ,∠D= .
2、在▱ABCD中∠A=50°
则∠B= ，∠C= ，∠D= .
3、如图，已知在中，AB=5，BC=3，则它的周长是 。
4．在中，AB=4cm，BC=5cm，∠B=30o,则的面积为_______
5.已知的周长是50cm，并且AB=AD。则AB的长度是（ ）
A.15cm B.12cm C.10cm D.25cm
6、如图，在 ABCD中，已知AD=10，周长等于36，求其余三条边的长。
解：∵在中，



7、如图，在中，若，求和的度数。



8.如图，已知，交于，交的延长线于，
且，求的度数。




（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思

第2课时——平行四边形的性质（2）
一．教学目标：理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
二．教学重点：会用平行四边形的性质解决简单问题，并能进行有关的论证．
教学重点：培养学生的动手能力、观察能力及推理能力。
三．教学过程
（一）、复习导入
平行四边形的定义： 的四边形叫做平行四边形。
平行四边形对边平行且 ；
平行四边形对角 。
（二）讲授新课
通过观察或者度量填写下列空格
1.平行四边形的性质3：对角线的性质
已知：如图，▱ABCD中，对角线AC和BD相交于O
求证：OA=OC，OB=OD


即平行四边形的对角线互相平分。
用几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO= = ，
BO= = ，
2．例题：在中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC，CD，AC，OA的长以及的面积。




（三）课堂练习
1、如图，已知AB=5㎝，AD=8㎝，AC=6㎝， BD=12㎝，则AO= = ㎝，BO= = ㎝，△AOB的周长是 ㎝
2.平行四边形的对角线把平行四边形分成了 对全等的三角形。
3.在 ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，指出图形中相等的线段。

4．如图，在中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为20，AB=8，那么对角线AC与BD的和是多少？
解：∵△AOB的周长为20（已知）
∴ ＋ ＋AB=20，

∵AB=8
∴AO＋BO=
∵在中，
∴AO = = ，，BO= = ，（平行四边形对角线 ）
∴AC＋BD = 2 +2 =2( )=
答：对角线AC和BD的和是 。






第1题 第3题 第4题

（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思


第3课时—— 平行四边形的判定（1）
一、教学目标：
1、明确平行四边形的判定方法。
2、能运用平行四边形的判定，解决简单的实际问题。
二、教学重点：平行四边形的判定方法。
教学难点：平行四边形的判定条件和方法的寻找。
三．教学过程：
（一）复习导入
1、平行四边形的定义：
两组对边分别 的四边形叫做平行四边形。
-------定义就是平行四边形的一种判定方法
用几何语言表示：∵_________//___________
_________//____________
∴四边形ABCD是____________
2、平行四边形的性质：
（1）边的性质：平行四边形的对边 ；
几何语言：在中，AD BC，AB DC；
（2）角的性质：平行四边形的对角 ；
几何语言：在中，∠A= ，∠B= ；
（3）对角线的性质：平行四边形的对角线 ；
几何语言：在中，OA= = ；OB= = ；
（二）、讲授新课
1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？
已知：AB=CD, AD=BC
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：


归纳：判定定理一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
用几何语言表示：∵_________=___________
_________=____________
∴四边形ABCD是____________
2、类似地，我们还可以得出几个平行四边形的判定定理：
判定定理二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
用几何语言表示：∵∠_________=∠___________
∠_________=∠____________
∴四边形ABCD是____________

判定定理三：对角线互相平分的四边形是平行四边形
用几何语言表示：∵_________＝___________
_________=____________
∴四边形ABCD是____________
例：在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F在AC上，且AE=CF，
求证：四边形BFDE是平行四边形。
（三）、课堂练习：
1． 在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
则四边形ABCD是
根据：

2、如图，已知四边形ABCD
（1）若AB= ，BC= ，则四边形ABCD为平行四边形；
（2）若DAB= ，ABC= ，则四边形ABCD为平行四边形；
（3）若对角线AC和BD相交于O，
则AO= ，BO= 时四边形ABCD为平行四边形；

3、在中，对角线AC与BD交于O点，已知点E、F分别是AO、OC的中点，求证：四边形BFDE是平行四边形。
证明：



4、如图，在 ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，
求证：四边形BFDE是平行四边形。




（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思

第4课时——平行四边形的判定（2）
一、教学目标：
1、明确平行四边形的判定方法。
2、能运用平行四边形的判定，解决简单的实际问题。
3. 学习“平行线间的距离”，会用该结论解决相关面积问题；
二、教学重点：平行四边形的判定方法。
教学难点：平行四边形的判定条件和方法的寻找。
三．教学过程：
（一）复习导入平行四边形的判定方法：
1．（定义法）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3．两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
4．对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（二）、讲授新课
1、判定定理四：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
用几何语言表示：∵_________//___________
_________=____________
∴四边形ABCD是____________
2．例：如图，在 ABCD中，E、F分别是对边BC和AD上的两点，且AF＝CE，
求证：四边形AECF为平行四边形。





3．按要求画图：
（1） 在直线AB上任取两点E、M；
（2） 过点E作EF⊥CD于F；过点M作MN⊥CD于N
（4）观察并猜想：线段EF和MN有什么关系。
（5）再画一条垂线段，那么它与线段EF和MN有什么关系，如果是画无数条垂线段，你的结论会改变吗？为什么？
4．平行线的性质：平行线之间的 。
5、应用：在中，点E、F分别是AD上两点，判断△EBC与△FBC的面积关系？
解：过点E作EH⊥BC于H，过点F作FG⊥BC于G，
∵四边形ABCD是
∴AD∥
∴EH FG（ ）
∵△EBC的面积=
△FBC的面积=
∴△EBC的面积 △FBC的面积
（三）、课堂练习：
1．如图，∥，点A、B、C在上，且AB=BC，
点D、E在上，则△ABD的面积 △BCE的面积。
（填“>”、“<”或“=”）
2、如图，在平行四边形ABCD中，已知M和N分别是AB和DC上的中点，
求证：四边形BNDM是平行四边形。
证明：




3、如图，已知A、B、E在同一条直线上，AB=DC，∠C=∠CBE，
四边形ABCD是平行四边形吗？说明理由。
证明：


（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思


第5课时——平行四边形的判定练习
一、教学目标：能熟练运用平行四边形的五种判定方法。
二、教学过程：
（一）复习导入
已知四边形ABCD，
①若AB= ，BC= ，则四边形ABCD为平行四边形，
②若AB∥ ，BC∥ ，则四边形ABCD为平行四边形，
③若 ∥ ， = ，则四边形ABCD为平行四边形，
④若∠A= ，∠B= ，则四边形ABCD为平行四边形，
⑤如图，对角线AC、BD相交于点O，若AO= ， BO= ，则四边形ABCD为平行四边形，
（二）、讲授新课
例：如图，在平行四边形ABCD中，已知∠BAE＝∠FCD，
求证：（1）∠FAE＝∠FCE，∠AFC＝∠AEC
（2）四边形AECF为平行四边形

（三）、课堂训练
1、下列说法正确吗?
（1）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形( )
（2）有两个角相等的四边形是平行四边形( )
（3）一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形( )
（4）有两条边相等的四边形是平行四边形( )

2、如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是∠DAB、 ∠BCD的角平分线，求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：


3、如图，ABCD中，AF＝CH， DE＝BG，
求证： EG和HF互相平分．
证明：


4、如图，ABCD中，点E、F分别是边AB、DC的中点，
求证： EF=BC

5、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O, E、 F在AC上，G、H在BD上，且AE=CF, BG=DH
求证：四边形EGFH是平行四边形



6、已知：如图，在平行四边形ABCD中， E，F分别是AB，CD上的两点，且AE=CF，求证：BD，EF互相平分.




（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思

第6课时——三角形中位线
一、教学目标：
1．掌握中位线的概念和三角形中位线定理。

2． 能够应用三角形中位线概念及定理进行有关论证和计算。
二、教学重点：三角形中位线定理及应用。
教学难点：三角形中位线定理的证明。
三．教学过程：
（一）复习导入
1．平行四边形的性质：
2．平行四边形的判定：
（二）讲授新课
1、例1：如图，点D、E分别是的边AB，AC的中点，
求证：DE∥BC , 且DE=BC.
（提示：添加辅助线，通过三角形全等，把要证明的问题转化到一个平行四边形中，然后利用平行四边形的性质使问题得以解决。）（观察右边两个图形，选择其中一个图形写出证明过程）
证明：









2、知识归纳：
①三角形中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形中位线．
②三角形中位线定理：三角形中位线______于三角形第三边，且等于它的_____．
③请在图1中画出△ABC的中位线，在图2中画出△ABC的中线

图1 图2
回答：一个三角形有______条中位线，中位线和三角形的中线有什么区别吗？

例 2 ：．已知：如图在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
（提示：添加辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，并利用三角形中位线解决问题。）
证明：






归纳：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形

（三）课堂练习：　
1、如图1，DE是的中位线，若BC=12,则DE= .
2、如图2，在中，∠B=，DE分别是AB、AC的中点，DE=4，AC=9，则AB= .
图2
3、如图3，在中，点D、E、F分别是边AB，BC，AC的中点，若　的周长为24ｃｍ，则 的周长是　　　　ｃｍ．
图1
图3








4、如图，∥BA，∥CB, ∥AC,∠ABC与∠ 有什么关系？
线段 与线段呢？并证明所得的结论.





5、如图，在中，点D在BC上，DC=AC，CEAD于点E，点F是AB的中点.求证：EF∥BC.






（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思


第7课时——矩形的性质
一、教学目标：
1、了解矩形与平行四边形的关系；
2、初步认识矩形性质。
3．直角三角形斜边上的中线的性质，并能运用相关性质求解。
二、教学重点：矩形的性质
教学难点：熟练矩形的性质并利用它的性质解决问题。
三、教学过程
（一）复习导入：平行四边形的特征
如图，在中，
①∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥ ，AD∥
AB = ， AD =
②∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠ ， ∠B=∠
③∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO= = ， BO= = ，
（二）讲授新课：
1、矩形的定义：
矩形
（ ）
平行四边形

2．矩形的性质：（在旁边的空白处画一个矩形并通过观察或度量进行归纳）
（1）边： ；
（2）角： ；
（3）对角线： 。

4、归纳：（几何语言）

平行四边形
矩形
图形


边
AB∥DC，AD∥ ，AB=DC，AD BC
AB∥ ，AD∥ ，AB=DC，AD BC
角
，

对角线




5、矩形是 的平行四边形。
6．

观察上述三个图形，你能从中看到什么？
AO=BO= = = =
BO是斜边 上的 线。BO= = =
结论：直角三角形斜边上的中线等于 的一半。
7、例题：已知：矩形ABCD的一条对角线AC长8cm，两条对角线的一个交角，求这个矩形的周长。

（三）课堂练习
1、矩形不一定具有的性质是（ ）
A、对角线相等 B、四个角相等 C、是轴对称图形 D、对角线互相垂直
C
D
B
A
O
2、如图，在矩形ABCD中，相等的线段有 ；
相等的角有 。（写出2组）
3、矩形ABCD的对角线，则另一条对角线。
4、已知矩形ABCD，AC＝8，则BD＝ ，OD＝ 。
5．直角三角形中，两直角边长是3和4，则斜边上的中线长是 ，
A
B
C
D
O
6、已知矩形的周长是24cm，相邻两边之比是，那么这个矩形的边长分别是 。
7、如图，已知矩形ABCD，AC＝4，则BD＝ ，
∠ABC＝ ；若∠ADB＝40°，则∠ACB＝ °,
∠BDC＝ °，∠COD＝ °。
8、如图，在四边形中，，，若再添 加 D
A
B
C

一个条件，就能推出四边形是矩形，你所添加的条件是 ．
（写出一种情况即可）
C
D
B
A
O
9、矩形ABCD被两条对角线分成的△AOD的周长是23cm，对角线长是13cm，那么AD长是多少？
解：




10、如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，，且，
求的度数。





11．如图，在△ABC中，∠ACB=90，CD为中线，CD=2.5,BC=3
求AB,AC,及△ABC的面积.



12、如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，
设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
并证明你的结论．



（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思

第8课时——矩形的判定
一、教学目标：
1、 掌握矩形的判定方法。
2、 能运用矩形的判定方法解决有关问题。
二、教学重点：矩形的判定
教学重点：熟练矩形的判定并利用它的判定解决问题
三、教学过程
（一）复习导入：
矩形的性质：（1）对边 且 。（2）四个角都是 。
A
B
D
C
（3）对角线 且 。
（二）讲授新课：
1、定义：有一个角是 的平行四边形是矩形。
几何语言，如图∵ ABCD中，∠A＝ °，
∴ ABCD是
2、对角线相等的平行四边形是矩形。
几何语言：如图∵ ABCD中，______＝_______
∴ ABCD是 。
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
几何语言：如图 在四边形ABCD中
A
B
D
C
∵∠ ＝∠ =∠ = °
∴四边形ABCD是 。

小结：判定一个图形是矩形的方法：
（1）平行四边形＋ 矩形
（2）平行四边形＋ 矩形
（3）四边形＋ 矩形







4、例题 如图，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH．
求证： 四边形EFGH是矩形．
证明：



A
B
D
C
O
（三）、课堂练习：
1、如右图，已知四边形ABCD中，OA＝OB＝OC＝OD＝5cm，
则四边形ABCD是 。理由： 。

2、如图，中，AB=6，BC=8，AC=10，求证：四边形ABCD是矩形





3、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC,BD相交于点O，且∠1=∠2，它是一个矩形吗？为什么？





4．如图，的对角线AC，BD相交于点O，⊿AOB是等边三角形，且AB=4cm,
求的面积（精确到0.01c㎡）



（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思

第9课时——菱形的性质
一、教学目标：
1、了解菱形与平行四边形的关系；
2、初步认识菱形的特征。
二、教学重点：熟练掌握菱形的性质，并能利用性质解决相关问题。
教学难点：利用菱形的特征解决实际问题。
三、教学过程
（一）复习导入：复习平行四边形的特征
如图，在中，
①∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥ ，AD∥
AB = ， AD =
②∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠ ， ∠B=∠
③∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO= = ， BO= = ，
（二）讲授新课：
1、菱形的定义：
（ ）
菱形
平行四边形

2．菱形的特征：（在旁边的空白处画一个菱形并通过观察或度量进行归纳）
（1）边： ；
（2）角： ；
（3）对角线： 。


平行四边形
菱形
图形


边
AB∥DC，AD∥
AB=DC，AD BC
AB∥ ，AD∥

角




对角线






注：菱形是 的平行四边形。

3、例题讲解：
例题1：已知菱形ABCD的边长为2cm，，对角线AC、BD相交于点O，求这个菱形的两条对角线AC与BD的长。
解：∵菱形ABCD
∴AC⊥BD，∠ = ∠ =∠ = °
AB= = = =
在Rt⊿ABO中，∠ =90°，∠ =30°
∴ =AB=
在Rt⊿ABO中，根据勾股定理，得
∴B0=
∴AC=2 = ，BD=2 =

例题2：已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，请说明菱形ABCD的面积等于。
A
B
C
D
O
解：菱形ABCD
，



= =
试一试：如上图，已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD分别长6cm、8cm，
则它的周长是 ，面积是 。

（三）课堂练习
1、如图，在菱形ABCD中，AB=5cm，∠A=40°，则BC= cm，CD= cm，AD= cm，∠B= °，∠C= °，∠D= °
2、如图菱形ABCD中，AC=8cm，BD=12cm，则AO= = cm， BO= = cm， ∠AOB= °
3、如图在菱形ABCD中，∠BAD=60°，则∠ADC= °，∠DCA= °,
∠BAC= °,∠ADB= °,∠CBD= °
4、如图，在菱形ABCD中，∠ADO＝50°，则∠DAO＝ °，∠DAB＝ °，
∠ABC＝ °。
A
B
C
D





第1题 第2、3题 第4题
5、如图，在菱形ABCD中，，两条对角线相交于点O，若，
，AB= 对角线，则菱形的周长
是 ，面积是 。
6、如图，已知菱形ABCD，AB＝5cm，AC＝8 cm，BO＝3 cm，
则AO＝ ，BD＝ ，∠BOC＝ ，周长是 ，面积是 。
7、已知菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC长6cm，则另一条对角线BD长为 cm，菱形的面积为：




第5题 第6题
8、如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6cm,求
（1）∠BAD,∠ABC的度数。
（2）边AB及对角线AC的长（精确到0.01cm）



9、菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。



11、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试说明△ABC是等边三角形。
解：在菱形ABCD中，∠B＋∠BAD＝ ，（两直线平行， 互补）
又∵∠BAD＝2∠B
∴


(四)课堂小结
这节课我们学习了什么内容？你有什么收获？还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思：

第10课时——菱形的判定
一、教学目标：
3、 掌握菱形的判定方法。
A
C
B
D
4、 能运用菱形的判定方法解决有关问题。
二、教学重点：熟练掌握菱形的判定方法
教学难点：能运用菱形的判定方法解决有关问题。
三、教学过程
（一）复习回顾：菱形的特征
（1）对边 ________，四条边都 。
（2）对角 。
（3）对角线 ，对角线分别 。
这节课我们来探索从平行四边形出发，加上什么条件可以得到菱形：
（二）讲授新课
A
C
B
D
1、菱形的识别：
方法一：有一组邻边 的平行四边形是菱形。（定义）
几何语言：∵ ABCD中，AB＝
∴ ABCD是 。
下面请用菱形的定义来证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”
已知：如图，
求证：
证明：


方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（即：平行四边形＋对角线 菱形
几何语言：如图∵ ABCD中，______⊥_______
∴ ABCD是 。
方法三： 四条边都 的四边形是菱形。
几何语言：∵四边形ABCD中，AB BC CD DA
∴四边形ABCD是菱形。
小结：判定一个图形是菱形的方法：
（1）平行四边形＋ 菱形
（2）平行四边形＋ 菱形
（3） 的四边形菱形






2、例题讲解：
例题1：已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．







例题2：如图 ABCD的对角线AC,BD相交于点O，且AB=5,AO=4，BO=3.求证， ABCD是菱形。




（三）课堂练习：
1、如图，在中，对角线AC平分∠DAB，这个四边形是菱形吗？简述理由





2、如图，O是矩形ABCD对角线的交点，DE//AC，CE//BD，试说明四边形OCED是菱形






3、如图，△ABC的平分线AD被EF垂直平分，且E、F分别在AB、AC上，四边形AEDF是菱形吗？为什么？








4．如图，AE//BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形。




5、如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证四边形AFCE是菱形．
证明：



(四)课堂小结
今天我们学习了什么内容？你有什么收获吗？还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思


第11课时——正方形的性质
一、教学目标：了解正方形与平行四边形的关系；认识正方形的特征。
二、教学重点：熟练掌握正方形的性质
教学难点：利用正方形的性质解决实际问题
三、讲授新课
（一）复习导入
（二）讲授新课
1、正方形的定义：
矩形是 的平行四边形，菱形是 平行四边形
而：有一个角是直角，且有一组邻边相等的 是正方形。
2、正方形的性质：（在旁边空白处画一个正方形，并能过观察或度量归纳正方形的特征）
（1）边：
（2）角：
（3）对角线：
3、性质（几何语言）

平行四边形
矩形
菱形
正方形
图形




边
AB∥DC，AD∥
AB=DC，AD BC
AB∥ ，AD∥
AB=DC，AD BC
AB∥ ，AD∥

AB∥ ，AD∥

角






对角线

(1)

(1)
(2)

（3）一条对角线平分一组对角
(1)
（3）（同菱形）

4、矩形，菱形，正方形都是 的平行四边形。
A
D
B
C
O
(三)课堂练习：
1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　　　）
A 　对角线互相平分 C 对角线相等
B　 内角和为360º D 对角线平分内角
2、正方形具备而矩形不一定具备的性质是（　　　　）
A 四个角都是直角 C　四条边相等
B　对角线相等 D　对角线互相平分 第5、7题
3、下列说法错误的是（　　　　）
A 正方形的四条边相等 B　正方形的四个角相等
C　平行四边形对角线互相垂直 D　正方形的对角线相等
4、在正方形ABCD中，AO＝5，则BO＝ ，BD＝ ；∠ABC= °
5、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则
，，。
6、正方形的边长是5cm时，它的周长是 ，面积是 。
7、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，，则，正方形ABCD的周长是 ，正方形的面积是 。
8、已知正方形ABCD的一条对角线，则它的边长是 ，周长是 。
9、已知正方形的两条对角线的和为8cm，则它的边长为 ，面积为 。
10、（1）已知正方形的对角线长是cm，则它的边长是_____cm
（2）已知正方形的边长是cm，则它的对角线长是_____cm
11、在下列图中，有多少个正方形？有多少个矩形？





正方形分别有 ；矩形分别有 。
12、如图，在正方形ABCD中E为线段AB延长线上一点，且，则是多少？





13、如图，点E是正方形ABCD边CD上的一点，点F是CB和延长线上的点，且EAAF。
求证：DE=BF。






D
E
C
A
B
14、如图，以等边△ABC的边AC为一边，向外作正方形ACDE，试说明∠DBE＝30°。








（四）课堂小结：
这节课学习了什么内容？你有什么收获？还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思

第12课时——正方形的判定
一、教学目标：掌握正方形的判定方法，并能解决实际问题
二、教学重点：熟练掌握正方形的判定方法。
教学难点：能运用正方形的判定方法解决实际问题。
三、教学过程
（一）复习导入：
正方形的性质：
边：_________________________
角：_________________________
对角线：_______________________
（二）讲授新课：
1、根据正方形既具有____________的特征，也具有____________的特征，我们可以得出正方形有如下判定方法：
①____________________的矩形是正方形。②__________________的菱形是正方形。
③对角线_____________的矩形是正方形。④对角线______________的菱形是正方形。
正方形的判定方法：
（1）矩形＋ ______ 正方形
（2）菱形＋ ______ 正方形
（3）矩形＋对角线 正方形
（4）菱形＋对角线 正方形
2、例题讲解：
例题1、判断下列命题是真命题还是假命题？假命题请举出反例。
（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；（ ）
反例：
（2）四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；（ ）
反例：
（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（ ）
反例：
（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（ ）
反例：
例题2、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证： 四边形CFDE是正方形．
证明：




（三）课堂练习：
1、判断下列命题是否正确．
（1） 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．（ ）
（2） 对角线互相垂直的矩形是正方形．（ ）
（3） 对角线相等的菱形是正方形．（ ）
（4） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．（ ）
2、把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？





3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证： 四边形CFDE是正方形．




A
B
C
D
E
F
4、如图，在矩形ABCD中，∠A的平分线交BC于E，∠B的平分线交AD于F。求证：四边形ABEF是正方形。






5、已知： 如图，点A′、 B′、 C′、 D′分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA′=BB′=CC′=DD′.求证： 四边形A′B′C′D′是正方形.







5．如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明EF=BE+DF。







6、如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于E，DF⊥BC于点F。
（1）求证：CE=CF；
A
B
D
F
C
E
（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由。






（四）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？你有什么收获？还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思

第13课时——判定练习课
一教学目标：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法。
二、教学重点：熟练运用各种判定方法解决实际问题。
三、教学过程
（一）知识回顾：
A
B
D
C
矩形的判定
1、________________的平行四边形是矩形
几何语言：∵ ABCD中，∠A＝ °∴ ABCD是矩形
2、________________的平行四边形是矩形
几何语言：∵ ABCD中，_____＝______∴ ABCD是矩形

3、________________的四边形是矩形
A
B
D
C
几何语言∵在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝ °
∴四边形ABCD是矩形。

菱形的判定
A
C
B
D
1、________________的平行四边形是菱形
几何语言：∵ ABCD中，AB＝ ∴ ABCD是菱形
2、________________的平行四边形是菱形
几何语言：∵ ABCD中，______⊥_______∴ ABCD是菱形
3、________________的四边形是菱形
几何语言：∵四边形ABCD中，________________________
∴四边形ABCD是菱形。
正方形的识别：
（1）矩形＋ ______ 正方形
（2）矩形＋对角线 正方形
（3）菱形＋ ______ 正方形
（4）菱形＋对角线 正方形

（二）课堂练习：
1、在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．
（1） 如果∠ABO＋∠ADO＝90°，那么平行四边形ABCD一定是_______形；
（2） 如果∠AOB＝∠AOD，那么平行四边形ABCD一定是_______形；
（3） 如果AB＝BC， AC＝BD，那么平行四边形一定是__________形．
2、下列说法正确的是（ ）
A、邻角相等的四边形是菱形
B、有一组邻边相等的四边形是菱形
C、对角线互相垂直的四边形是菱形
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3、判断下列命题是否正确．
（1） 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．（ ）
（2） 对角线互相垂直的矩形是正方形．（ ）
（3） 对角线相等的菱形是正方形．（ ）
（4） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．（ ）
4、延长△ABC的中线AD至E，使得DE＝AD，那么四边形ABEC是平行四边形吗？为什么？





5、已知四边形ABCD中，∠B=∠D=90°， AB=CD.求证： 四边形ABCD是矩形.






6、如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DG⊥AB于G，EK⊥AB于K，GH⊥AC于H，EK和GH相交于点F．求证： 四边形DEFG是菱形．







7、如图，△ABC中，AB=AC, AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线，BE⊥AE.
求证： AB=DE.






8、已知： 在△ABC中，∠C＝90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形，
求证： BG＝EC．






9、如图， 平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6。
（1）AC、BD互相垂直吗？为什么？（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？







10．如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明EF=BE+DF。





（三）课堂小结
这节课我们学习了什么内容？你有什么收获？还有什么疑问吗？
（四）作业
（五）反思


A
B
C
D
E
（八年级数学）第18章 《四边形》单元测验
一、选择题
1、在□ABCD中，∠A=80°,∠B=100°,则∠C等于（ ）
A.60° B.80° C.100° D.120°
2、如图2，DE是的中位线，若BC=12,则DE=
第3题
A、24 B、4 C、3 D、6
3、如图，矩形的对角线AC和BD相交于O，∠BOC＝120°，
AB ＝3.6，则BD的长是（ ）
A、3.6 B、7.2 C、1.8 D、14.4
第4题
4、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，则
∠D＝（ ）
A. 60°　B.120° C. 60°或120°　D.以上都不对．
5、顺次连接等腰梯形的四边形的各边中点所得图形是（ ）
A．矩形 B．直角梯形 C．菱形 D．正方形
6、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 四个角都是直角 B. 对角线相等 C. 四条边相等D. 对角线互相平分
7、如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC、BD交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
8、如图,在平行四边形ABCD中,于E,AC=AD, ∠CAE=,则∠D=（ ）.
第8题
第7题
第9题
第10题
A. 56°　　B. 34° C.73°　　D. 72°




9、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC上的F点，若∠BAF＝60°，则∠AEF是（ ）
A、75° B、60° C、15° D、30°
10、如图，以定点A、B为其中两个顶点作正方形，一共可以作（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
二、填空题：
第11题
第13题
11、如图，在□ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，
则□ABCD的周长为 cm.
12、已知正方形ABCD的边长AB=2，则对角线AC= ．
13、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC∥ED，若∠A＝55°，
∠C＝120°，则∠ADE的度数是
14、梯形的中位线长为3，高为4，则该梯形的面积为
15、菱形的两条对角线长分别为6㎝和8㎝,则这个菱形的面积为
16、已知在正方形ABCD中，E在BC边上的延长线上，且CE＝AC，AE交CD于F，
则∠AFC＝ 。
17、如图，在四边形中，，，若再添加一个条件，就能推出四边形是矩形，你所添加的条件是 ．（写出一种情况即可）
18、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H ，则 DH的长为 。
第16题 第17题 第18题






三、解答题：

19、如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，，且，求的度数。






20、如图，在ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。





21、如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC。若AD＝2，BC＝4，求梯形的周长。





22、(10分)如图，在⊿ABC中，点D是边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F。且BF=CE。
（1）求证：⊿ABC是等腰三角形
（2）当∠A=90°时，试判断四这形AFDE的形状，并证明你的结论。





23、如图，梯形ABCD中，，求BD的长。

24、如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB于A，AE⊥BC于E，且AB=BC，试说明CD=CE。
             


25、(10分)如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
并证明你的结论．



第十九章 一次函数 19.1.1变量（1课时）
学习目标：1、通过探索具体问题中的数量关系和变化规律来了解常量、变量的意义；
2、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量；
学习重点：了解常量与变量的意义；
学习难点：较复杂问题中常量与变量的识别
学习过程：
（1） 提出问题，创设情景
问题一：汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．
１．请同学们根据题意填写下表：
t/时
1
2
3
4
5
t
s/千米






２．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．
３．试用含t的式子表示s: s=________,t的取值范围是 _________ .
这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程．
（2） 深入探究，得出结论
（一）问题探究：
问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．
１．请同学们根据题意填写下表：
售出票数（张）
早场150
午场206
晚场310
x
收入y (元)




2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．
３．试用含x的式子表示y: y=______ ,x的取值范围是 .
这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程．
问题三：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为L cm.
1．请同学们根据题意填写下表：
所挂重物（kg）
1
2
3
4
5
m
受力后的弹簧长度L（cm）






2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．
３．试用含m的式子表示L: L=____________ ,m的取值范围是 .
这个问题反映了_________随_________的变化过程．
问题四：要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？30 cm2呢?怎样用含有圆面积Ｓ的式子表示圆半径r？
１．请同学们根据题意填写下表：(用含的式子表示）
面积s（cm2）
10
20
30
s
半径r(cm)




２．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．
３．试用含s的式子表示r．r=_________，s的取值范围是 .
这个问题反映了___ _ 随_ __的变化过程．
问题五：用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化．记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。设矩形的长为xm，面积为Ｓm2 .
１．请同学们根据题意填写下表：
长x（m）
4
3
2.5
2
x
另一边长（m）





面积s（m2）





２．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．
３．试用含x的式子表示s． S=__________________,x的取值范围是 .
这个问题反映了矩形的___ _ 随_ __的变化过程．
小结：以上这些问题都反映了不同事物的变化过程，其实现实生活中还有好多类似的问题，在这些变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的，有些量的数值是始终不变的。
（二）得出结论： 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为________；
在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为________；
三、课堂小结，回顾反思
和同学们分享一下你的收获！
四、课堂检测,及时反馈
1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q（元）与他买这种笔记本的本数x之间的关系是 （ ）
A．Q=8x B．Q=8x-50 C．Q=50-8x D．Q=8x+50
2．甲、乙两地相距S千米，某人行完全程所用的时间t（时）与他的速度v（千米/时）满足vt=S，在这个变化过程中，下列判断中错误的是 （ ）
A．S是变量 B．t是变量 C．v是变量 D．S是常量
3．在一个变化过程中，__________________的量是变量，________________的量是常量．
4．某种报纸的价格是每份0.4元,买x份报纸的总价为y元,先填写下表,再用含x的式子表示y．
份数/份
1
2
3
4
5
6
7
100
价钱/元








x与y之间的关系是y=______,在这个变化过程中，常量___________,变量是___________．
5．长方形相邻两边长分别为x、y，面积为30，则用含x的式子表示y为:y=_______，则这个问题中，___________常量；_________是变量．
6．写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量．
（1）用20cm的铁丝所围的长方形的长x（cm）与面积S（cm2）的关系．

（2）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系．

（3）一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t（小时）表示水箱中的剩水量y（吨）．

19.1.2函数及其图象（2课时）
【学习目标】：
（一）知道函数图象的意义；
（二）能画出简单函数的图象，会列表、描点、连线；
（三）能从图象上由自变量的值求出对应的函数的近似值。
【学习重难点】：
认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。
【自学指导】：
一 、学生看P99---P104并思考一下问题：
a) 什么是函数图像?( 函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成，图象上的每一点坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，即把自变量x与函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的图象。)
b) 如何作函数图像？具体步骤有哪些？
c) 如何判定一个图像是函数图像，你判断的依据是什么?
d) 有哪些方法表示函数关系？各自的优缺点是什么？
二，自学检测：
1．图17—4是北京市某日的气温变化图，从图中我们可以获得信息，例如：
(1)这天2时的气温是4℃；
(2)这天的最高气温为11.8℃；
(3)这天的最低气温是1.8℃；
(4)这一天中，从凌晨4时到14时气温在逐渐升高．
除以上4条信息外，请你从图中再写出4条信息来．

答：①_______________________________________________________
②___________________________________________________________
③___________________________________________________________
④___________________________________________________________
2等腰△ABC的周长为10cm，底边BC的长为ycm,腰AB的长为xcm.
（1）写出y关于x的函数关系式　　（2）求x的取值范围
（3）求y的取值范围　　　　　　　（4）画出函数的图象
三、师生共同探讨，总结：
l 正确理解函数图象与实际问题间的内在联系
函数的图象是由一系列的点组成，图象上每一点的坐标（x,y）代表了该函数关系的
一对对应值。
1、读懂横、纵坐标分别所代表的实际意义；
2、读懂两个量在变化过程中的相互关系及其变化规律。
l 这三种表示函数的方法各有优缺点。
1．用解析法表示函数关系
优点：简单明了。能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合进行理论分析和推导计算。
缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算。
2．用列表表示函数关系
优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便。
缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律。
3．用图象法表示函数关系
优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化。
缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值。
函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点，因此，要根据不同问题与需要，灵活地采用不同的方法。在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图象。
四、例题讲解：
P101例2，例3
五、提高练习：
1．若点p在第二象限，且p点到x轴的距离为，到y轴的距离为1，则p点的坐标是（ ）A.（－1，）　B.（－，1）　C.（，－1）　D.（1，－）
2．下列函数中，自变量取值范围选取错误的是（   ）
A． 中，x取全体实数  B． 中，
C． 中，      D． 中，
六、作业与学后反思：
1．（常州市，2000）小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10
分钟报纸后，用15分钟返回家里．图中表示小明的父亲离家的时间与距离之间的关系是（ ）．

2．某运动员将高尔夫球击出，描绘高尔夫球击出后离原处的距离与时间的函数关系的图像可能为（ ）．

3．飞机起飞后所到达的高度与时间有关，描绘这一关系的图像可能为（ ）．

4假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间T的关系在平面直角坐标系中所示，如图，请结合图形和数据回答问题：
（1）这是一次 米赛跑；（2）甲、乙两人中先到达终点的是 ；
（3）乙在这次赛跑中的速度为 ；
(4)甲到达终点时，乙离终点还有　　　　米。





数形结合是研究函数图像性质的最重要的思想方法，学生学会作图及其重要，特别是对于中下层次的学生，往往对书本上所概括出来的性质不容易记住，所以通过直观图像去做有关习题应是首选方法。但以往比较偏重于结论得出与应用，忽视在整章教学中应始终提倡学生数形结合，导致学生对有关的结论死记硬背，缺乏理解，张冠李戴，而且后期学生对作图不熟悉，造成学习上困难



19.2.1正比例函数（3课时）
【学习目标】
1、理解正比例函数的概念及其图象的特征
2、能够画出正比例函数的图象
3、能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系
4、能够利用正比例函数解决简单的数学问题
【重 点】正比例函数的概念
【难 点】正比例函数性质
【课前准备】
1、还记得描点法画函数图象的一般步骤吗？
①______________,②___________________③____________________
2、细读课本110—111页，完成课本111页的“思考”，试着写出函数解析式：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ 。
【学习流程】
一、正比例函数的概念
观察“思考”中所得的四个函数；
（1）观察这些函数关系式，这些函数都是常数与自变量 的形式，
（2）一般地，形如 （ ）函数，叫做正比例函数，其中叫做 。
思考：为什么强调K是常数，K≠0 ？


(3)、列举日常生活中正比例函数的模型，你知道多少？

练一练
（1）、下列函数哪些是正比例函数？
① y= ② y= ③ y=-+1 ④ y=2x ⑤y=x+1 ⑥ y=(a+1)x+2
(2)、若y=5x是正比例函数，则m=___________.
(3)、若y=(m-2)x是正比例函数，则m=____________.
二、正比例函数图像的画法与性质
（一）、用描点法画出下列函数的图像
（1）、 y=2x （2）、 y=-2x
解：（1）列表得： 解：（1）列表得：

…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=2x
…







…

x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=2x
…







…



（2）描点、连线： （2）描点、连线：
（3）、 y=0.5x （4）、 y=-0.5x
解：（1）列表得： 解：（1）列表得：

…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=2x
…







…

x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=2x
…







…



（2）描点、连线： （2）描点、连线：



（二）、活动二：观察上题画函数，完成下列问题
（1）正比例函数是一条 ，它一定经过 。
（2）因为过 点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，通常是（ ， ）和（ ， ）
（3）当k > 0时，直线经过 象限，随的增大而
当k〈0时，直线经过 象限，随的减小而
板块三、知识升华
既然正比例函数的图像是一条直线，那么最少几个点就可以画出这条直线？怎样画最简单？
试一试：用最简单的方法画出下列函数的图像
（1）、 y=-3x （2） y=x
解：（1）当x=_____时，y=_____, 解：
当x=_____时，y=_____,
取点_______和_________,
（2）描点、连线得：


收获乐园
本节课你有哪些收获？请在小组内交流。


随堂练习
1、 汽车以40千米/时的速度行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数解析式为___________________.y是x的_______函数。
2、 圆的面积y(cm)与它的半径x(cm)之间的函数关系式是________________.y是x的_______函数。
3、 函数y=kx(k≠0)的图像过P（-3，7），则k=____，图像过_____象限。
4、 y=, y=, y=3x+9, y=2x中，正比例函数是____________.
5、 在函数y=2x的自变量中任意取两个点x,x,若x＜x,则对应的函数值y与y的大小关系是y___y.
6、 表示函数y=-kx(k＜0)的图像是（ ）。


A B C D
7、若y与x-1成正比例，x=8时，y=6。写出x与y之间的函数关系式，并分别求出x=4和x=-3时的值

8、若y=y+y,y与x成正比例，y与x-2成正比例，当x=1时,y=0，当x=-3时,y=4。求当x=3时的函数值。
讨论交流
问题：观察并比较：
1、两个函数图家象的相同点与不同点和变化规律

2、正比例函数是过原点的一条直线，其变化规律是否与有关？



三、 巩固提升
1、下列函数中，哪些是正比例函数？


2、（1）若是正比例函数，则＝
（2）若函数是关于的正比例函数，则＝
3、已知函数是关于的正比例函数
（！）求正比例函数的解析式

（2）画出它的图象
（3）若它的图象有两点，当时，试比较的大小


四．学习体会
本节课你学会了什么？有哪些收获？




课题：2.2 一次函数和它的图象(1)（4课时）
学习目标
知识目标：1、理解正比例函数、一次函数的概念。
2、会根据数量关系，求正比例函数、一次函数的解析式。
3、会求一次函数的值。
能力目标：应用函数的思想观察现实世界中的函数关系
情感目标： 形成从一般到特殊的思维习惯，探索创新，感受成功的乐趣。
学习重点 一次函数、正比例函数的概念和解析式。
学习难点 根据已知信息写出一次函数的表达式，确定自变量的取值范围
一. 独立思考，复习反馈
（一）说一说：函数的概念及函数的判断方法
（二）填一填；
1.汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程S（km）与汽车行驶的时间t（h）之间的函数解析式为__________________.
2.一颗树现在高60 cm，每个月长高2 cm，x月之后这棵树的高度为h cm，则h关于x的函数解析式为___________________.
3.汽车开始行驶时，邮箱内有油50升，如果每小时耗油5升，则邮箱内剩余油量Q（升）与行驶时间t（时）的函数解析式为_________________.
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A= x°，∠B= y°，则y 关于x的解析式为_______.
二. 师生合作，共探新知
（一）一次函数，正比例函数的一般形式
1.比较下列各函数解析式，它们有哪些共同特征？

特征：(1) 等号两边的代数式都是（ ）；
(2) 自变量的次数是（ ）。
2.定义____________________________________________________________
___________________________________________________________________.
3.小练下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数和常数项的值各为多少？(1) (2) (3) 4) (5) (6)y=x
4.反思：（1）正比例函数与一次函数的联系与区别；
（2）正比例函数与小学学的“两个量成正比”的联系与区别；
（二）理解一次函数y=kx=b(k0)的特征
已知一次函数y=1.6x+5
1、 填表：
X -2 -1 0 1 2 3 4 ……
Y ……


2.填空：观察上表发现：当自变量x的值每增加1时，函数值y的变化规律是_____________________________，
3.合作结论：一般地， 一次函数y=kx=b(k0)自变量的值每增加1时,函数值都_________,这说明一次函数的函数值是随着自变量_________。
（三）一次函数自变量取值范围的确定
(1) 一般地， 一次函数y=kx=b(k0)自变量的取值范围是怎样的?
(2) 学案开头4个函数的自变量取值范围又是怎样的?请说出来.
三 生生合作，巩固新知：
例1:一辆公共汽车在加油前油箱里还剩8L汽油,已知加油枪的流量为12L/min，若加油时间为x （min），
１） 请写出此时油箱中的油量y（Ｌ）与x （min）的函数关系式；
２） 若加油５min，则油箱中有多少升汽油？




例２：为了圆满完成2008年奥运会火炬的传递，奥运火炬手们从珠穆朗玛峰的北坡营地出发向峰顶发起冲击。已知奥运火炬手们出发地的气温为1C，当他们向上冲击时，海拔每升高1km，气温则下降6C，
(1) 你能用解析式表示他们所在位置的温度y与向上登山的高度x之间的关系吗？
(2) 若火炬手们向上登高了0.2km,则他们所在位置的温度为多少?




四．总结反思，拓展升华：
1、一次函数、正比例函数的概念及关系。
2、能根据已知简单信息，写出一次函数的表达式。
五．当堂检测，效果评价：
1.下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
①y=x-6；②y=；③y=；④y=7-x
A、①②③ B、①③④ C、①②③④ D、②③④
2 .写出下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？
(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；

(2)一边长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与另一边长b(cm)；

(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；

(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．

（5）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；

（6）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；

（7）一棵树现在高50厘米，每个月长2厘米，x月后这棵树的高为y（厘米）
六．作业
1、下列说法不正确的是( )
(A)一次函数不一定是正比例函数 (B)不是一次函数就一定不是正比例函数
(C)正比例函数是特定的一次函数 (D)不是正比例函数就不是一次函数

2、已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时,
(1)此函数为一次函数?
(2)此函数为正比例函数?



3、一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2米。
（1）求小球速度v随时间t变化的函数关系式，它是一次函数吗？
(2)求第2.5秒时小球的速度？





4. 一种移动通讯服务的收费标准为：每月基本服务费为30元，每月免费通话时间为120分，以后每分收费0.4元。
（1）写出每月话费y元与通话时间x（x＞120）的函数关系式；
（2）分别求每月通话时间为100分，200分的话费。


思考题：
某种气体在0℃时的体积为100L，温度每升高1℃，它的体积增加0.37L。
（1）写出气体体积V（L）与温度t(℃)之间的函数解析式；
（2）求当温度为30℃时气体的体积。
（3）当气体的体积为107.4L时，温度为多少摄氏度？








课题：19.2.2 一次函数和它的图象(2)（5课时）
【学习目标】：本节课通过两个例题探索一次函数的图象及其性质，发展抽象的数学思维．能用“两点法”画出一次函数的图象。结合图象,理解直线y=kx+b(k、b是常数,k≠0)常数k和b的取值对于直线的位置的影响。
【学习过程】：
一、回顾交流，揭示课题
【复习提问】
一次函数的概念
二、范例点击，实践操作
你们知道一次函数是什么形状吗? 那就让我们一起做一做,看一看。
【例2】画出函数y=-6x，y=-6x+5，y=-6x-5的图象（在同一坐标系内）．



【思考】请你比较上面三个函数的图象的相同点与不同点，填出你的观察结果：
这三个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 ；函数y=-6x的图象经过（0，0）；函数y=-6x+5的图象与y轴交于点 ，即它可以看作由直线y=-6x向 平移 个单位长度而得到的；函数y=-6x-5的图象与y轴交点是 ，即它可以看作由直线y=-6x向 平移 个单位长度而得到的；比较三个函数解析式，试解释这是为什么？
【猜想】联系上面例2，考虑一次函数y=kx+b的图象是什么形状，它与直线y=kx有什么关系？

归纳平移法则：
一次函数y=kx+b的图象是一条 ，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移 个单位长度而得到（当b>0时，向 平移；当b<0时，向 平移）．
对于一次函数y=kx+b(其中k)b为常数,k≠0)的图象——直线,你认为有没有更为简便的方法

三、合作学习，操作观察
例2 ：分别画出下列函数的图像 （在练习本中完成）
（1） （2） （3） （4）
分析：由于一次函数的图像是直线，所以只要确定两个点就能画出它，一般选取直线与x轴，y轴的交点。
（1） （2） （3） （4）






※ 观察上面四个图像，（1）经过_________象限；y随x的增大而_______，函数的图像从左到右________；（2）经过_________象限；y随x的增大而_______，函数的图像从左到右________；（3）经过_________象限；y随x的增大而_______，函数的图像从左到右________；（4）经过_________象限；y随x的增大而_______，函数的图像从左到右________。
1、由此可以得到直线中，k ，b的取值决定直线的位置：
（1）直线经过___________象限；
（2）直线经过___________象限；
（3）直线经过___________象限；
（4）直线经过___________象限；
2、一次函数的性质：
（1）当时，y随x的增大而_______，这时函数的图像从左到右_______；
（2）当时，y随x的增大而_______，这时函数的图像从左到右_______；
四、课堂总结，发展潜能
1．一次函数y=kx+b图象的画法：在y轴上取（0，b）在x轴上取点（- ，0），过这两点的直线即所求图象．
2．一次函数y=kx+b的性质．
五、练习
1、一次函数的图像不经过（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、 第三想象限 D、 第四象限
2、已知直线不经过第三象限，也不经过原点，则下列结论正确的是( )
A、 B、 C、 D、
3、下列函数中，y随x的增大而增大的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、对于一次函数，函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、一次函数的图像一定经过（ ）
A、（3，5） B、（-2，3） C、（2，7） D、（4、10）
6、已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图像大致是（ ）






7、一次函数的图像如图所示，则k_______，
b_______，y随x的增大而_________
8、一次函数的图像经过___________象限，
y随x的增大而_________ (第6题)
9、已知点（-1，a）、（2，b）在直线 上，则a，b的大小关系是__________
10、直线与x轴交点坐标为__________；与y轴交点坐标_________；图像经过__________象限，y随x的增大而____________，图像与坐标轴所围成的三角形的面积是___________
11、已知一次函数的图像经过点（0，1），且y随x的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式_____________
12、已知一次函数图像（1）不经过第二象限，（2）经过点（2，-5），请写出一个同时满足（1）和（2）这两个条件的函数关系式：_______________
13．y=3x与y=3x-3的图象在同一坐标系中位置关系是（ ）
A．相交 B．互相垂直 C．平行 D．无法确定
14．在函数y=kx+3中,当k取不同的非零实数时,就得到不同的直线,那么这些直线必定( )
A、交于同一个点 B、互相平行
C、有无数个不同的交点 D、交点的个数与k的具体取值有关
15．函数y=3x+b,当b取一系列不同的数值时,它们图象的共同点是( )
A、交于同一个点 B、互相平行
C有无数个不同的交点 D、交点个数的与b的具体取值有关



课题：19.2.2 一次函数和它的图象(3)（6课时）
一、【学习目标】：本节课主要探究一次函数的解析式，介绍待定系数法求一次函数解析式的方法．体会二元一次方程组的实际应用．
二、学习过程：
例1：已知一次函数的图像经过点（3，5）与（2，3），求这个一次函数的解析式。
分析：求一次函数的解析式，关键是求出k，b的值，从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，并求出k，b。
解： ∵一次函数经过点（3，5）与（2，3）
∴
解得
∴一次函数的解析式为_______________
像例1这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个
式子的方法，叫做待定系数法。
练习：
1、已知一次函数，当x = 5时，y = 4，
（1）求这个一次函数。 （2）求当时，函数y的值。




2、已知直线经过点（9，0）和点（24，20），求这条直线的函数解析式。

3、已知弹簧的长度 y（厘米）在一定的限度内是所挂重物质量 x（千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．



例2：地表以下岩层的温度t（℃）随着所处的深度h（千米）的变化而变化，t与h之间在一定范围内近似地成一次函数关系。
深度（千米）
……
2
4
6
……
温度（℃）
……
90
160
300
……

1、根据上表，求t（℃）与h（千米）之间的函数关系式；



2、求当岩层温度达到1700℃时，岩层所处的深度为多少千米？




三、课堂总结，发展潜能
根据已知的自变量与函数的对应值，可以利用待定系数法确定一次函数解析式，具体步骤如下：
1．设出函数解析式的一般形式，其中包括未知的系数（需要确定这些系数，因此叫做待定系数）．
2．把自变量与函数的对应值（可能是以函数图象上点的坐标的形式给出）代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组．（有几个待定系数，就要有几个方程）
3．解方程或方程组，求出待定系数的值，从而写出所求函数的解析式．
四、练习
1．一次函数的图象经过点A（-2，-1），且与直线y=2x-3平行，则此函数的解析式为（ ）
A．y=x+1 B．y=2x+3 C．y=2x-1 D．y=-2x-5
2．已知一次函数y=kx+b，当x=1时，y=2，且它的图象与y轴交点的纵坐标是3，则此函数的解析式为（ ）
A．0≤x≤3 B．-3≤x≤0 C．-3≤x≤3 D．不能确定

3、大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距。某研究表明，一般人的身高h时指距d的一次函数，下表中是测得的指距与身高的一组数据：
指距d（cm）
20
21
22
23
身高h（cm）
160
169
178
187
求出h与d之间的函数关系式：

某人身高为196cm，则一般情况下他的指距应为多少？

4．若一次函数y=bx+2的图象经过点A（-1，1），则b=__________．




19.2.2一次函数应用（4）（7课时）
[学习目标]：会根据题意求出分段函数的解析式，并能利用分段函数图形解决有关实际问题
[重点]：分段函数的初步认识与简单多变量问题的解决
[难点]：数学建模的过程、思想、方法的领会
一、自学引入：小明家距学校3千米，星期一早上，小明步行按每小时5千米的速度去学校，行走1千米时,遇到学校送学生的班车，小明乘坐班车以每小时20千米的速度直达学校，则小明上学的行程s关于行驶时间的函数的图像大致是下图中的 ( )
小明运动的路程图像又是什么函数的图像呢？这种函数的解析式应该怎样来表示呢？
二、探索新知：看书的例5 ，完成问题
(1)填写下表：
(2)写出购买种子数量与付款金额之间的函数解析式，并画出函数图像。
设购买种子数量为x千克，付款金额为y元；当0≤x≤2时，y=______________
当 x>2 时，y=_________________；y与x的函数解析式也可合起来表示为_______________________
(3)画函数图像
1、一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后又降价出售，售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)y的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）这位农民自带的零钱时多少？ (2)试求降价前y与之间的关系式．(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱(含备用零钱)是26元，试问他一共带了多少千克土豆?
2、如图，折线ABC是在某市乘出租车所付车费y(元)与行车里程(km)之间的函数关系图象．(1)根据图象，写出当≥3时该图象的函数关系式；(2)某人乘坐2．5 km，应付多少钱?(3)某人乘坐13 km，应付多少钱?(4)若某人付车费30．8元，出租车行驶了多少千米?

三、运用新知：为鼓励居民节约用水，出台了新的用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4．5元计算(不超过部分按每立方米2元计算)．现某户居民某月用水立方米，水费为元，（1）求与的函数关系式。
（2）与的函数关系用图象表示正确的是 ( )


四、能力提升：如图点P按的顺序在边长为l的正方形边上运动，M是CD边上的中点．设点P经过的路程为自变量，APM的面积为，则函数的大致图象是( )

五、当堂反馈（基础题）：1、书练习
2、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升6微克(1000微克=毫克)，接着逐渐减少，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y(微克)随时间(小时)的变化如图所示．当成人按规定剂量服药后：(1)分别求出≤2和≥2时，y与之间的函数关系式；
(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，
在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长?






3、某洗衣机在洗涤衣服时经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量(L)与时间(min)之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题(1)洗衣机的进水时间是多少分钟?清洗时洗衣机中的水量是多少升?(2)已知洗衣机的排水速度为每分钟19 L，①求排水时，与之间的关系式．
②如果排水时间预定为2min，求排水2min时洗衣机中剩下的水量．




（提高题）：北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是400元/台、800 元／台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是300元/台、500元／台．求：(1)写出总运输费用与北京运往重庆台之间的函数关系式；(2)若总运费为8 400元，上海运往汉口应是多少台?







第三学习时间 课后训练案（12课时）
1.利用函数解方程组：

2 .求直线与直线的交点坐标。你有哪些方法?；与同伴交流，



3.已知直线与直线的交点横坐标为2，求k的值和交点纵坐标．


4.(1)A、B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A、B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶,则他们各自离A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数．1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米，问经过多长时间两人将相遇?

(2)求如下图所示的两直线、的交点坐标。(要求结果为精确值).

第19章：一次函数复习导学案(13课时)
一、【使用说 明】本节为复习第十三章而设计，见学习目标。
二、【学习目标】
①结合具体情境体会一次函数的意义，根据条件确定一次函数表达式。
②会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式y=kx＋b（k≠0）探索并理解其性质（h＞0或b＜0时，图象的变化情况）。
③理解正比例函数。
④能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
⑤能用一次函数解决实际问题。
【学法指导】自主探究法
三、【自主学习】
1 已知一次函数y=-2x-6。
（1）当x=-4时，则y= ，当y=-2时，则x= ；
（2）画出函数图象；
（3）不等式-2x-6>0解集是_____,不等式-2x-6<0解集是_____；
（4）函数图像与坐标轴围成的三角形的面积为 ；
（5）若直线y=3x+4和直线y=－2x－6交于点A,则点A的坐标______；
（6）如果y 的取值范围-4≤y≤2,则x的取值范围__________；
（7）如果x的取值范围-3≤x≤3,则y的最大值是________,最小
值是_______.
2 。 已知一次函数y=x+m和y=－x+n的图象交于点A（－2，0）且与y轴的交点分别为B、C两点，求△ABC的面积.
四、【合作探究】
1、已知：一次函数的图象经过点（2，1）和点（－1，－3）．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求此一次函数与x轴、y轴的交点坐标以及该函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）若一条直线与此一次函数图象相交于（－2，a）点，且与y轴交点的纵坐标是5，求这条直线的解析式；
（4）求这两条直线与x轴所围成的三角形面积．
2．已知一次函数的图像交x轴于点A（-6，0），交正比例函数于点B，若B点的横坐标是-2，△AOB的面积是6，求：一次函数与正比例函数的解析式。
3．某单位要印刷产品说明书，甲印刷厂提出：每份说明书收1元印刷费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份说明书收2.5元印刷费，不收制版费。
（1）分别写出两个印刷厂的收费y甲、y乙（元）与印刷数量x（份）之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系中作出它们的图像；
（3）根据图像回答问题：
①印刷800份说明书时，选择哪家印刷厂比较合算？
②该单位准备拿出3000元用于印刷说明书，找哪家印刷厂印制的说明书多一些？
五、【课堂测试】
1、已知一次函数与，它们在同一坐标系中的图象如图，可能是
A B C D

2、 若一次函数的图象与轴交于A点，A点的坐标为 与轴交于B点，B点的坐标为 ，O为原点，则的△AOB面积为 ；当 时，，当 时，。
3、直线与轴的交点的纵坐标是 ，交点到轴的距离是
4、若要使函数的图象过原点，应取 ，若要使其图象和轴交于点，应取
5、已知：一次函数的图象如图所示，
求此函数的解析式。
5、两条直线与交点为A（-1，2），它们与x轴围成的三角形的面积为，求两直线的解析式。




第20章 数据的分析
第1课时——加权平均数
一、教学目标
通过实例了解加权平均数的意义，会计算加权平均数并对计算结果进行简单分析．
二、教学重点：了解加权平均数的意义，会计算加权平均数
教学难点：会计算加权平均数并对计算结果进行简单分析
三、教学过程：
（一）讲授新课
平均数和加权平均数
1、权的概念
（1）. 一组数据88，72，86，90，75的平均数是 ；
（2）一组数据12，12，12，12， 4，4，4，4，4，13，的平均数是 ；
（3）一组数据有5个20，4个30，3个40，8个50，则这20个数的平均数为 ；
归纳：其中50有 个，其中个数8就叫做数据50的权。如数据20的权是 ，
数据的权表示数据的相对“重要程度”；平均数用符号“”读作：“拔”
总结：n个数的加权平均数：
一般说来，如果在n个数中， 出现 ， 出现 次，…， 出现 次，
则 其中 、 … …、 叫做权。
2、加权平均数的求法：

例1：某市三个郊县的人数及人均耕地面积如下表：
郊县
人数（万）
人均耕地面积（公顷）
A
15
0.15
B
7
0.21
C
10
0.18
求这个市郊县的人均耕地面积是多少?(精确到0.01公顷)
（分析：人均耕地面积=）
解：∵总耕地面积=
总人口=
∴人均耕地面积=
例题2：一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制）如下：
应试者
听
说
读
写
甲
85
83
78
75
乙
73
80
85
82
（1）如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3∶3∶2∶2的比确定，计算两名应试者的平均成绩，从他们的成绩看，应该录取谁？
（分析：将所占比例看作它们各自的权，即听占有3份，说占 份，读占 份，写占 份，合计 份。）
解： = = ，
= = ，
∴应该录取
（2）如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2∶2∶3∶3的比确定，计算两名应试者的平均成绩，从他们的成绩看，应该录取谁？


例题3：一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各个成绩均按百分制，然后再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%的比例，计算选手的综合成绩（百分制），进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：
选手
演讲内容
演讲能力
演讲效果
A
85
95
95
B
95
85
95
请决出两人的名次。归纳小结：
1、加权平均的公式：一般地，
2、加权平均数中的“权”的常见见形式：（1）各个数据出现的次数（2）各个数据所占的成分比（3）比例的形式


（二）课堂练习：
1、某中学举行“红五月”歌咏比赛，六位评委对某位选手的打分为77，82，78，95，83，75去掉一个最高分和一个最低分后的平均分是 分。
2、如果一组数据85，80，x，90的平均数是85，则x＝ 。
3、晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%。小同的三项成绩（百分制）依次是95分、90分、85分，小同这学期的体育成绩是多少？


4、某广告公司欲聘广告策划人员一名，对A，B，C三名候选人进行了三项素质测试.他们的各项测试成绩如下表所示：

A
B
C
创新
72；
85；
67
综合知识
50；
74；
70
语言
88；
45；
67
（1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么誰将被录用？
（2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4：3：1的比例确定各人的测试成绩，此时誰将被录用？
解：（1）A的平均成绩为 = （分）.
B的平均成绩为 = （分）.
C的平均成绩为 = （分）.
所以
（2）根据题意，3人的测试成绩如下：
A的测试成绩为 = （分）
B的测试成绩为 = （分）
C的测试成绩为 = （分）
因此候选人 将被录用.
5、小青在九年级上学期的数学成绩如下表所示
测验类别
平时
期中
考试
期末
考试
测验1
测验2
测验3
课题学习
成绩
88
70
98
86
90
87
（1）计算该学期的平时平均成绩；
（2）如果学期的总评成绩是根据图5所示的权重计算，请计算出小青该学期的总评成绩。


（三）课堂小结
这节课我们学了什么内容？有什么收获？还有什么疑问？
（四）作业
（五）反思
第2课时——平均数、中位数和众数
一、教学目标
1、知道中位数和众数的含义，会正确计算中位数和众数
二、教学重点、难点：正确计算中位数和众数。
三、教学过程
（一）复习导入
（二）讲授新课
1、问题1：某校派15人参加某次数学竞赛，已知将有8人获奖，小王得知自己的得分为80分
（1）若已知15人的平均分为82分，则能确定小王是否获奖吗？
（2）如何才能确定自己是否获奖？
概念：将一组数据从小到大排列，处于中间位置的数——中位数
（1）3，4，5，6，7的中位数是 ；（奇数个数据，则取中间位置的数）
（2）3，4，5，6，7，8的中位数是 ；（偶数个数据，则取中间两个数的平均数作为中位数）
2．问题2：一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下图所示：
尺码/厘米
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
11
7
3
1
你觉得这家鞋店进哪种尺码的鞋子？
概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
（1） 数据5、2、7、7、9、3的众数是
（2） 数据3、8、6、4、3、6的众数是
（三）课堂练习：
1、一名警察在高速公路上随机观察了6辆过往车辆，它们的车速分别为（单位：千米/时）： 66， 57， 71， 54， 69， 58．那么，这6辆车车速的中位数和众数是什么呢?
解：将车速由小到大排列 所以中位数是 众数是
2、学生在一节综合实践课上，六名同学做手工的数量（单位：件）分别是：5，7，3，6，6，4，6；则这组数据的中位数和众数是什么呢?
解：将这组数据由小到大排列 ，所以中位数是
数据
平均数
中位数
众数
20， 20， 21， 24， 27， 30， 32



0， 2， 3， 4， 5， 5， 10



－2， 0， 3， 3， 3， 8



－6， －4， －2， 2， 4， 6



众数是
3、根据所给数据，求出平均数、中位数和众数，并填入下表．（精确到0.1）
4、一组数据按从小到大排列为1，2，4，x，6，9这组数据的中位数为5，那么这组数据的众数为( )
A．4 B．5 C．5.5 D．6
5、某青年排球队12名队员的年龄情况如下表：
年龄（岁）
18
19
20
21
22
人数
1
4
3
2
2
则这个队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
（A）19，20 （B）19，19 （C）19，20.5 （D）20,19
6、甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为90分、90分、x分、80分，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数是（ ）
A.100分 B.95分 C.90分 D.85分
7、若数据8，9，7，8，x，3的平均数是7，则这组数据的众数是________．
8、一家鞋店在6月份销售的某种童鞋21双，其中各种尺码的鞋的销售如下表：
童鞋的尺码
20
22
24
28
30
销售（双）
5
6
4
2
4
这组数据的众数是 ，中位数是
9、判断下列说法是否正确，请说明理由：
（1） 某校录取新生的平均成绩是535分，如果某人的考分是531分，他肯定没有被这个学校录取吗?
解：这个说法是 的，因为


（2） 5位学生在一次考试中的得分分别是： 18， 73， 78， 90， 100，考分为73的同学是在平均分之上还是之下?你认为他在5人中考分属“中上”水平吗?
解：这个说法是 的，因为


10、判断题： （正确的打“√”，不正确的打“×”）
⑴给定一组数据，这组数据的平均数一定只有一个． （ ）
⑵给定一组数据，这组数据的中位数一定只有一个． （ ）
⑶给定一组数据，这组数据的众数一定只有一个． （ ）
⑶给定一组数据，这组数据的平均数一定位于最大值和最小值之间．（ ）
⑸给定一组数据，这组数据的中位数一定等于最小值和最大值的算术平均数 （ ）
⑹给定一组数据，如果找不到众数，那么众数一定就是0． （ ）
11、右面的扇形图描述了某种运动服的S号，M号，L号，XL号，XXL号在一家商场的销售情况，请你为这家商场提出进货建议。
建议：




12、在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得12名选手的成绩（单位：分）如下图：
136
140
129
180
124
154
146
145
158
175
165
148
（1） 样本数据（12名选手的成绩）的中位数是多少？
（2） 一名选手的成绩是142分，她的成绩如何？
解：（1）请先将样本数据按照由小到大的顺序重新排列：












所以中位数是
（2）



13、右面的条形图描述了某车间工人日加工零件数的情况：请找出这些工人日加工零件数的平均数、中位数和众数，并解释它们的含义？
解：平均数：

中位数：

众数：


14、某饮食公司为一学校提供午餐，有3元、4元和5元三种价格的饭菜供师生选择（每人限定一份）．右图是5月份的销售情况统计图，这个月一共销售了10400份饭菜，那么师生购买午餐费用的平均数、中位数和众数各是多少?






（四）课堂小结
这节课我们学了什么内容？你有什么收获？还有什么疑问吗？
（五）作业
（六）反思


第3课时——极差、方差
一、教学目标：
1、通过对具体情境问题的讨论与探索，理解极差、方差的意义
2、知道极差、方差之间的区别与联系
二、教学重点：理解极差、方差的意义
教学难点：极差、方差之间的区别与联系
三、教学过程
（一）讲授新课
1、极差：
表21.3.1显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温，如何对这两段时间的气温进行比较呢?
表21.3.1上海每日最高气温统计表（单位： ℃）

2月
21日
2月
22日
2月
23日
2月
24日
2月
25日
2月
26日
2月
27日
2月
28
2001年
12
13
14
22
6
8
9
12
2002年
13
13
12
9
11
16
12
10
从表21.3.1中可以看出，2002年2月下旬和2001年同期的气温相比，有4天的温度相对高些，有3天的温度相对低些，还有1天的温度相同．我们可以由此认为2002年2月下旬的气温总体上比2001年同期高吗?
图21.3.1是根据两段时间的气温情况绘成的折线图．

图21.3.1不同时段的最高气温
通过观察，我们可以发现：图 的折线波动较大。
图（a）中气温的最大值是 ，最小值是 ，最大值与最小值的差是
——称为极差。极差能够反映数据的变化范围。图（b）中的极差是
2、方差：
问题一： 要选拔射击手参加比赛，应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选手？
答：
问题二：甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下：

甲 7 8 8 8 9 乙 10 6 10 6 8
我们先计算他们的平均数，发现平均数相同都是 ，可见平均数不能反映两个选手成绩是否稳定。
计算甲、乙两人每次成绩与平均数的偏差？
甲： ， ， ， ，
乙： ， ， ， ，
数据简单可看出 稳定。
问题三：一个农科站在8个面积相等的试验点对甲，乙两个早稻品种进行栽培对比试验，两个品种在各试验点的产量如下（单位：kg）
甲：402，452，494.5，408.5，459.5， 411，456，500.5
乙：428，466，465， 426.5， 436， 455， 448.5，459
哪个品种的产量比较稳定？
计算它们的平均数都是 kg，再计算它们与平均数的偏差为
甲： ， ， ， ， ， ， ，
乙： ， ， ， ， ， ， ，
看不出谁的偏差大。所以我们需要严密的计算，统计学中计算方法不止一种，我们今天学其中一种，计算偏差平方的平均数如射击的甲、乙两人，
甲：
乙：
我们用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果称为方差：

方差：

标准差：方差的算术平方根=

叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.　
例题：为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出10株苗，
测得苗高如下（单位：cm）
甲：12 ，13 ，14 ，15 ，10 ，16 ，13 ，11 ，15 ，11
乙：11 ，16 ，17 ，14 ，13 ，19 ，6 ， 8 ， 10 ，16
问哪种小麦长得比较整齐？
= =
= =


问题四：小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如表21.3.2所示．请填写表格，并用计算器计算小明和小兵成绩的方差



表21.3.2
测试次数
1
2
3
4
5
小明





小兵










计算可得：小明5次测试成绩的方差为__________________ ___，
小兵5次测试成绩的方差为_____________________ _．
从折线图，我们发现 的成绩比较稳定，由此可得，方差越 ，数据的波动情况越 。
方差的意义：用来衡量一批数据的波动大小
在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大， 越不稳定
（二）课堂练习
1、比较下列两组数据的极差和方差和标准差：
A组： 0， 10， 5， 5， 5， 5， 5， 5， 5， 5；
B组： 4， 6， 3， 7， 2， 8， 1， 9， 5， 5．
解：A组的极差是 ；方差是 ；标准差是
B组的极差是 ；方差是 ；标准差是
2、下表给出了两种股票从2002年4月1日到4月5日的交易日收盘价格，分别计算它们的平均数和方差，并比较这两种股票在这段时间内的涨跌变化幅度．
日期
1
2
3
4
5
A股票
11.59
11.17
11.15
11.62
11.51
B股票
13.49
13.53
13.51
14.07
13.84
解：= =
= =
3、下表是甲、乙两人１０次射击的成绩（环数）．
甲
9
6
7
6
8
7
7
9
8
9
乙
2
4
6
8
7
7
8
6
9
7
请用你所学的统计知识来分析谁的平均成绩高？谁的成绩较为稳定？．
解：从平均成绩看，= ，= ，
所以 的平均成绩较高；
从 看，甲的 是 ，乙的 是 ，
所以 的成绩较为稳定。
4、甲、乙两运动员在10次百米跑练习中成绩如下．（单位： 秒）
甲
10.8
10.9
11.0
10.7
11.2
11.1
10.8
11.0
10.7
10.9
乙
10.*9
10.9
10.8
10.8
11.0
10.9
10.8
11.1
10.9
10.8
如果根据这10次成绩选拔一人参加比赛，你认为哪一位较为合适?
解：= =
= =
（三）课堂小结
这节课我们学了什么内容？你有什么收获？还有什么疑问吗？
（五）作业

第4课时——极差与方差练习
一、填空题
1. 一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的 ，它反映了这组数据的 。
2、下表给出了合肥市2006年5月28日至6月3日的最高气温，则这些最高气温的极差是_____℃
日期
5月
28日
5月
29日
5月
30日
5月
31日
6月
1日
6月
2日
6月
3日
最高气温
26℃
27℃
30℃
28℃
27℃
29℃
33℃
3、下图是一组数据的折线统计图，这组数据的极差是______，平均数是______
4、体育课上，八（1）班两个组各10人参加立定跳远，要判断哪一组成绩比较整齐，通常需 要知道这两个组立定跳远成绩的（ ） A．平均数 B.众数 C．方差 D．频率分布
5、人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试，班级平均分和方差如下：，，，则成绩较为稳定的班级是（ ）
A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定
6、计算下列三组数据的平均值、方差．

数据
平均数
标准差
方差
（1）
1，2，3，4



（2）
3，6，9，12



（3）
5，8，11，14



7、从一个班抽测了6名男生的身高，将测得的每一个数据（单位：cm）都减去165.0cm，其结果如下： −1.2，0.1，−8.3，1.2，10.8，−7.0
这6名男生中最高身高与最低身高的差是 ；
这6名男生的平均身高约为 （结果保留到小数点后第一位）
8、一组数据，，0，，1的平均数是0，则= ，方差 .
9、如果样本方差，那么这个样本的平均数为 .样本容量为 .
二、解答题
10、某年A，B两座城市四季的平均气温如下表所示：
（1） 分别计算A，B两座城市的年平均气温
（2） 哪座城市四季的平均气温较为接近？
气温/℃
城市
春
夏
秋
冬
A
-4
19
9
-10
B
16
30
24
11
解：（1）=
=
(2)

11、下表是两种股表在2003年某周的交易日收盘价格（单位：元），计算它们的平均数和方差，比较这两种股票在这段时间内的张跌变化情况。

星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
A股票
11.62
11.51
11.39
11.94
11.17
12.02
12.29
B股票
13.53
14.07
13.49
13.84
14.80
14.02
13.98
解：= =
= =

12、为了从甲、乙两名学生中选择一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验，成绩如下：（单位：分）（9分）
甲成绩
76
84
90
84
81
87
88
81
85
84
乙成绩
82
86
87
90
79
81
93
90
74
78
（1）请填写下表

平均数
中位数
众数
方差
标准差
85分以上的频率
甲
84

84
14.4

0.3
乙
84
84
90



（2）利用以上信息，请从三个不同的角度对甲、乙两个同学的成绩进行分析．



第5课时——复习课1
一、教学目标：
1、复习巩固平均数、中位数、众数、极差、方差的概念与意义；
2、综合运用上述知识复习解决具体问题。
二、知识点复习：
1、加权平均数：一般说来，如果在n个数中，出现 次，出现 次，…，出现次，则 其中、……叫 。
（1）某班共有50名学生，平均身高为168㎝，其中30名男生的平均身高为170㎝，则20名女生的平均身高为 。
（2）某中学规定学期总评成绩评定标准为：平时30％，期中30％，期末40％小明平时成绩为95分，期中成绩为85分，期末成绩为95分，则小明的学期总评成绩为
分
（3）数学期末总评成绩由作业分数，课堂参与分数，期考分数三部分组成，并按3：3：4的比例确定。已知小明的期考80分，作业90分，课堂参与85分，则他的总评成绩为___ 分

2、中位数：将一组数据从小到大排列，处于中间位置的数
（1）6，7，8，10的中位数是 ；
（2）1，2，5，6，7，8的中位数是 ；

3、众数：一组数据中出现次数最多的数据
数据2、2、6、7、9、4的众数是
数据4、9、6、4、3、6的众数是

4、极差：最大值与最小值的差。极差能够反映数据的变化范围。
（1）10名学生的体重分别是41，48，50，53，49，50，53，53，51，67（单位：kg）这组数据的极差是（ ）
A．27 B．26 C．25 D．24

（2）右图是一组数据的折线统计图，这组数据的
极差是 ．

5、方差：表示一组数据偏离平均值的情况

标准差：方差的算术平方根 即：
（1）已知样本数据为5，6，7，8，9，则它的方差为 ，标准差为 。
（2）甲、乙两个样本容量相同，甲样本的方差为0.102，乙样本的方差是0.06，那么（ ）．
A．甲的波动比乙的波动大 B．乙的波动比甲的波动大
C．甲、乙的波动大小一样 D．甲、乙的波动大小无法确定
三、课堂练习：
1、八年级举行演讲比赛，评委从演讲内容、演讲能力和演讲效果三个方面为选手打分，成绩依百分制，权数分别以5：4：1确定，进入决赛的前两名选手是张明和王丽，张明得分依次为85，95，95，王丽得分依次为95，85，95，请你帮助决出第一名是 。

2、某超市购进了一批不同价格的皮鞋，下表是该超市在近几年统计的平均数据．要使该超市销售皮鞋收入最大，该超市应多购（ ）的皮鞋
皮鞋价（元）
160
140
120
100
销售百分率
60%
75%
83%
95%
A．160元 B．140元 C．120元 D．100

月 份
1
2
3
4
5
销售量（辆）
1700
2100
1250
1400
1680
3、摩托车生产是我市的支柱产业之一，不少品牌的摩托车畅销国内外，下表是摩托车厂今年1至5月份摩托车销售量的统计表：（单位：辆）则这5个月销售量的中位数是________辆．

4、 已知一组数据：x1＝4，x2＝5，x3＝6，x3＝7，它们出现的次数依次为2，3，2，1，则这组数据的众数为 ，中位数为 ，平均数为 。


5、某单位举办了英语培训班．100名职工在一个月内
参加英语培训的次数如图：这个月职工平均参加英
语培训的次数是_______，这个月每名职工参加英
语培训次数的众数为________，中位数是__ ___．

6、 下列说法正确的是（ ）
A. 样本7，7，6，5，4的众数是2
B．样本1，2，3，4，5，6的中位数是4
C．若数据x1，x2，…xn的平均数是，则（x1－）＋（x2－）＋…＋（xn－）＝0
D. 样本50，50，39，41，41不存在众数

7、已知一组数据为0，1，5，x，7，且这组数据的中位数是5，那么x的取值为（ ） A. x＝5 B. x＜5 C. x≥5 D. x≠5

8、甲乙丙丁四支足球队在全国甲级联赛中进球数分别为：9，9，x，7，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数是(　)
A．10 B．9 C．8 D．7

9、某生在一次考试中，语文、数学、英语三门学科的平均分为80分，物理、政治两科的平均分为85，则该生这5门学科的平均分为 。

10、 某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：
每人销售件数
1800
510
250
210
150
120
人 数
1
1
3
5
3
2
（1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数、众数。


（2）假设销售部负责人把每位营销人员的月销售额定为320件，你认为是否合理？为什么？如不合理，请你制定一个合理的销售定额，并说明理由。

11、甲、乙两大炮在相同条件下向同目标各发射50发炮弹，炮弹落点情况如下表：
(1)分别计算两门大炮所发射的炮弹落点与目标距离的平均数
（2）哪门大炮射击的准确性好？
炮弹落点与目标距离/米
40
30
20
10
0
甲炮发射的炮弹个数
0
1
3
7
39
乙炮发射的炮弹个数
1
3
2
3
41





12、下表是某校初三（1）班20名学生某次数学测验的成绩统计表．
（1）若这20名学生成绩的平均分数为80分，求x、y的值．
成绩（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
1
5
x
y
2
（2）在（1）的条件下，设这20名学生本次测验成绩 的众数为a，中位数为b，求a、b的值．


第6课时——复习课2
一、教学目标：
1、复习巩固平均数、中位数、众数、极差、方差的概念与意义；
2、综合运用上述知识复习解决具体问题。
二、教学过程：
环节一：
某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的年收人情况，并绘制了统计图．请你根据统计图给出的信息回答：
年收入(万元)
1
2
3
4
12
户 数





(1)填写完成下表：

这20个家庭的年平均收入为 万元．
(2)样本中的中位数是 万元，众数是 万元．
(3) 这20个家庭的年平均收入的极差为 万元．
(4)在平均数、中位数两数中，___________更能反映这个地区家庭的年收入水平.
环节二：题组训练
【题组1】
①有一箱苹果的平均重量为10斤/箱，另有两箱苹果的重量为13斤/箱，那么这3箱苹果的平均重量为（ ）
A．11.5 B．12 C．12.5 D．14
测试项目
歌唱表演
才艺表演
音乐知识
选手A
72
50
88
选手B
85
74
45
②某次歌唱比赛选手A、选手B进入最后总决赛，两名选手的成绩如下：
如果组委会决定将歌唱表演、才艺表演、音乐知识三项测试得分按4:3:1的权重来计算两名选手的平均得分，那么选手A的平均得分为______；选手B的平均得分为______；从他们的平均得分看，得第一名的是________。
【题组2】
①在一节综合实践课上7名同学做手工的数量（单位：件）分别是：5，7， 6，3，6，4，6，则这组数据的中位数为 件；
②某校举行了“班班有歌声”活动，比赛聘请了10位学生担任评委，其中甲班的得分情况如下统计图（表）所示，根据统计图提供的信息得，学生评委计分的中位数是_______分.
【题组3】
①数据1、3、8、5、3的众数是 .
②数据8、9、9、8、9、8、99的众数是 .
【题组4】
①一组数据1、4、3、-1、2的极差是 .
②一组数据3、0、2、X的极差是5，且X为整数，则X= .

环节三：
某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学 竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表：
根据上表解答下列问题：

（1）完成下表：
姓名
极差（分）
平均成绩（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
小王
40
80
75
75
190
小李





（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是_______；若将80分以上（含80分）的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各为_______、_______。
（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，成绩达到90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？说明你的理由。



环节四：课堂训练
1、某校八年级(1)班的一个研究性学习小组的研究课题是某高速公路入口的汽车流量问题．某天上午，他们在该入口处，每隔相等的时间，对3分钟内通过的汽车的数量作一次统计，得到如下数据：
记录的次数
1
2
3
4
5
6
7
8
3分钟内通过的汽车数量
49
50
64
58
53
56
55
47
(1)平均每3分钟通过汽车多少辆?
(2)试估计：这天上午，该路口平均每小时通过多少辆汽车．

2、甲、乙两位同学进行射击选拔比赛，甲的成绩折线图如图8-1所示，乙的成绩如图8-2所示，（成绩均为整数）其中所示条形统计图不全，少了第六次射击成绩，但给出了代表算术平均数的水平线（粗线表示）．

⑴ 求甲的成绩数据的平均数、众数和中位数；
⑵ 在图中补全乙的成绩条形统计图；
⑶ 假设甲乙两人平均成绩一样，你认为选派哪个同学参加比赛合适？为什么


第20章数据的分析单元测试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、 一组数据-1，-2，3，4，5，则该组数据的极差是（ ）
A. 10 B. 4 C. 7 D. 2
2、已知样本数据为5，6，7，8，9，则它的方差为（ ）．
A．10 B． C．2 D．
3、一组数据：3，5，5，6，7，7，8．则这组数据的中位数是 ( )
A．5、7 B．6 C．5.5 D．5
4、人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测验，班平均分和方差分别为82分，82分，245分，190分，成绩较为整齐的是 ( )
A．甲班 B．乙班 C．两班一样整齐 D．无法确定
5、某鞋店试销一款女鞋，试销期间对不同颜色鞋的销售情况统计如下表：
颜色
黑色
棕色
白色
红色
销售量(双)
60
50
10
15
鞋店经理关心的是哪种鞋最畅销，则对鞋店经理最有意义的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6、一组数据80，82，79，69，74，78，81，x的众数是82，则（ ）
A. x＝79 B. x＝80 C. x＝81 D. x＝82
7、某年青排球队12名队员的年龄情况如下表：
年龄（岁）
18
19
20
21
22
人数
1
4
3
2
2
则这个队队员年龄的众数和平均数分别是：
（A）19，20 （B）19，19 （C）19，20.5 （D）20，19
8、8个数的平均数12，4个数的平均为18，则这12个数的平均数为（ ）．
A．12 B．18 C．14 D．12
9、对于数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2．①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值不等；③这组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的数值相等，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10、甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填人下表：
班级
人数
中位数
方差
平均字数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)；③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大．上述结论正确的是 ( )
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二、填空题（每空3分，共27分）
11、一组数据：4， -2，6，7的中位数是_______，平均数是_______
12、已知一个样本的方差，
则这组数据共有 个，平均数是 ．
13、初二（1）班40人，初二（2）班50人，在期末数学考试中（1）班平均90分，（2）班平均94分，则这两个班的平均成绩是________．
14、某公司员工的月工资如下：
员工
经理
副经理
职员A
职员B
职员C
职员D
月工资（元）
6000
3500
1500
1500
1100
1100
该公司员工月工资的中位数是_______，众数是________．
15、若数据8，9，7，8，x，3的平均数是7，则这组数据的众数是________．
16、已知数据a、b、c的平均数为8，那么数据a+l，b+2，c+3的平均数是 ．
三、解答题
17、（9分）小青在九年级上学期的数学成绩如下表所示
测验类别
平时
期中
考试
期末
考试
测验1
测验2
测验3
课题学习
成绩
85
72
96
88
91
90
（1）计算该学期的平时平均成绩；
（2）如果学期的总评成绩是根据图5所示的权重计算，请计算出小青该学期的总评成绩。


18（10分）某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的年收人情况，并绘制了统计图．请你根据统计图给出的信息回答：
(1)填写完成下表：
年收入(万元)
O.6
O.9
1.O
1.1
1.2
1.3
1.4
9.7
户 数











（1）这20个家庭的年平均收入
为 万元．
(2)样本中的中位数是 万元，
众数是 万元．
(3)在平均数、中位数两数中， 更能 反映这个地区家庭的年收入水平．

19（12分）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加．按团体总分多少排列名次，在规定时间每人踢100个以上(含100个)为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据(单位：个)

1号
2号
3号
4号
5号
总分
甲班
100
98
110
89
103
500
乙班
86
100
98
119
97
500
经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可通过考查数据中的其他信息作为参考．请你回答下列问题：
(1)计算甲、乙两班的优分率．
(2)求两班比赛数据的中位数。
(3)计算两个比赛数据的方差，比较哪一个小?
(4)根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级?简述理由．




20（12分）某单位对应聘者甲、乙、丙进行面试,并从专业知识、工作经验、仪表形象三方面给应聘者打分，每一方面满分20分，最后的打分情况如下表所示：

甲
乙
丙
专业知识
14
18
16
工作经验
17
15
15
仪表形象
12
11
14
（1）得分较高录用，应该录用哪一位应聘者？为什么？
（2）如果专业知识、工作经验、仪表形象三个方面的重要性之比为10∶7∶3，你认为应该录用哪一位应聘者？为什么？
（3）在（2）的条件下，你对落聘者有何建议？