2022年甘肃省庆阳市中考数学二模试卷（含解析）

2022年甘肃省庆阳市中考数学二模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，则的余角是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列图形既是轴对称又是中心对称的图形是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在矩形纸条的对边上，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若关于的一元二次方程的一个根为，则这个方程的另一根为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，是的直径，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，在中，轴于点，点是轴上一点，点在反比例函数的图象上，若的面积为，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在和中，，，，连接，交于点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，点为矩形边上的一个动点，点从出发沿着矩形的四条边运动，最后回到设点运动的路程长为，的面积为，图是随变化的函数图象，则矩形的对角线的长是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

11. 华为公司自主研发的麒麟芯片晶体管栅极宽度达，将数据用科学记数法表示为______．
12. 因式分解：______．
13. 一个不透明的布袋中装有个红色球、个白色球、个黑色球，其颜色外都相同，每次将球充分搅拌均匀后，任意摸出个球记下颜色再放回袋中，通过大量摸球试验发现摸到白色球的频率稳定在，可估计这个布袋中白球的个数为______．
14. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，将平移得到，点，，的对应点分别为，，，若，，，则与的距离为______．

16. 已知，关于，的二元一次方程组的解为，则______．
17. 如图，在中，，为的中点，，，，则四边形的面积为______．

18. 如图，小明依次画了一组有规律的图案，其中第个图由个组成的，第个图图案由个组成的，那么图案是由______个组成的．

三、解答题（本大题共10小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：．
20. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
21. 本小题分
    如图，在中，．
    尺规作的角平分线交于点保留作图痕迹，不写作法；
    若，，则______．

22. 本小题分
    如图，海中有一个小岛，该岛四周海里内有暗礁．一艘货轮由西向东航行，开始在岛西偏南的处，即，往东行驶海里后到达该岛西南方向的处，即货轮继续向东航行是否有触礁的危险？参考数据：，，

23. 本小题分
    随着中考临近，某校九年级学生小刚和小明决定从试题库中提供的四套数学试题依次记为、、、中，随机抽取一套试题进行模拟测试．
    请用树状图或列表的方法表示小刚和小明抽取试题的所有可能结果；
    求小刚和小明抽取到同一套试题的概率．
24. 本小题分
    受疫情影响，全国上下推迟开学日期，开展“停课不停学”活动．某校为了了解学生对某门课程知识的掌握情况进行了调查，老师分别对，两个班名学生的测试成绩满分分进行了整理，得到部分信息如下：
    收集、整理数据：

其中组中的数据为：、、、、、；班测试成绩：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、分析数据：

根据以上信息，解决下列问题：
请将表二补充完整：______，______；
请你利用所学的统计知识分析哪个班的成绩比较好？请说明理由．

25. 本小题分
    如图，一次函数与反比例函数和反比例函数的图象交于，两点．
    求一次函数和反比例函数的解析式；
    根据图象直接写出成立的的取值范围；
    求的面积．

26. 本小题分
    如图，在▱中，平分，平分，，．
    
    求证：四边形是矩形；
    如图，连接与交于点，当四边形是矩形时，试判断与关系，并说明理由．
27. 本小题分
    如图，四边形内接于，为的直径，点平分，连接，的延长线与过点的直线交于点，与交于点，且．
    求证：为的切线；
    若，，，求的面积．

28. 本小题分
    如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，且．
    求抛物线的函数表达式；
    设点是轴右侧抛物线上一点不与重合，过点作轴，垂足为点，交直线于点，若，求点的坐标；
    在的条件下，平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．
【解答】
解：的相反数是．
故选A．  

2.【答案】 

【解析】解：，
的余角．
故选：．
根据余角的意义：两个角的和为，则这两个角互余，由此求得的余角度数即可．
本题考查的是余角的定义，即如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
 

3.【答案】 

【解析】解：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意，选项C正确，符合题意；
不能合并，故选项B、均错误，不符合题意；
故选：．
先计算出各个选项中式子的结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图：

，，
，
矩形纸条的对边平行，
．
故选：．
先根据三角形外角的性质可得，再由平行线的性质即可得到．
本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是根据：两直线平行，同位角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：设这个方程的另一个根为，
根据题意，可得，
解得，
这个方程的另一个根为，
故选：．
根据根与系数的关系求解即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
和都是所对的圆周角，
，
，
故选：．
根据直径所对的圆周角是直角得到，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，根据三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
轴，
轴，
，
，
，
是反比例函数在第二象限图象上的点，
，
，
故选：．
连接，根据平行线之间的距离相等得出，然后根据反比例函数中的几何意义即可求得的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，明确是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
故选：．
首先利用证明≌，得，再根据含角的直角三角形的性质可得答案．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据图可知，
当运动到点处时，
，
，
，
矩形的对角线相等，
．
故选：．
点运动到点处时，可知，由点运动到点处时，，可得的长，再根据勾股定理计算即可．
本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而利用勾股定理解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
，
解得：，
经检验是方程的解，
答：估计这个布袋中白球的个数为个；
故答案为：．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的频率，列出方程，然后求解即可得出答案．
此题考查利用频率估计概率，解答此题的关键是根据口袋中红色球所占的比例，计算其个数．
 

14.【答案】 

【解析】解：代数式有意义，
，即．
故答案为：．
先根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
向右平移个单位，向上平移个单位得到，
，
，
与的距离为．
故答案为：．
根据，，推出向右平移个单位，向上平移个单位得到，所以，即可求出与的距离．
本题考查了坐标与图形变化平移，根据坐标得出平移规律是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：把代入方程组得：，
由得：．
故答案为：．
把与的值代入方程组计算即可求出所求．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
 

17.【答案】 

【解析】解：在中，，
则，
，
为的中点，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
故答案为：．
根据勾股定理求出，求出，根据三角形的面积公式求出，根据平行四边形的性质计算即可．
本题考查的是勾股定理、平行四边形的判定和性质、三角形的面积计算，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：第个图案的个数为，
第个图案的个数为，，
第个图案的个数为，，
，
第个图案的个数为：，
故答案为：．
观察不难发现，后一个图案比前一个图案多个，然后写出第个图案的的个数是．
本题主要考查了列函数关系式，以及图形的变化类，注意观察得到“后一个图案比前一个图案多个”是解题的关键．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

20.【答案】解：


，
将代入上式，得：
原式


． 

【解析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，为所求作；

在中，，，
，，
平分，
，
，
．
故答案为：．
利用基本作图，作的角平分线即可；
先利用互余计算出，再根据角平分线的定义得到，然后根据含度角的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和含度角的直角三角形三边的关系．
 

22.【答案】解：设海里，
在中，，
在中，，
，
，
解得，
海里，
海里，
货轮继续向东航行没有触礁的危险． 

【解析】设海里，在中，，在中，，可得，解得，可知海里，则货轮继续向东航行没有触礁的危险．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：画树状图如下：

所有可能的结果共有种；
共有种等可能的结果，其中小刚和小明抽取到同一套试题的结果有种，即，，，
小刚和小明抽取到同一套试题的概率． 

【解析】画出树状图即可；
共有种等可能的结果，其中小刚和小明抽取到同一套试题的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】   

【解析】解：班测试成绩出现最多的为．
．
班测试成绩中位数，
故答案为：，；

班的的成绩比较好．
理由：从中位数的角度，班的中位数高于班的中位数．
从众数的角度，班的众数高于班的众数．
从方差的角度，班的方差小于班的方差．
根据众数数和中位数的定义求解即可；
根据中位数、众数和方差的意义即可判断．
本题考查了中位数、众数、平均数、方差等统计基础知识，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．
 

25.【答案】解：一次函数与反比例函数的图象交于，
，
点，
把代入中，得，
一次函数的表达式为，
把代入中，得，
把代入中，得，
反比例函数的表达式为，
由三个函数的图象及交点坐标可得，
当时，相应的自变量的取值范围为；
设直线与轴交于点．
当时，，
，即，


． 

【解析】根据反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，代入相应的函数关系式即可确定函数关系式；
由三个函数的图象以及交点坐标，结合函数的增减性可得答案；
求出直线的关系式，进而求出直线与轴的交点坐标，再由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
本题考查一次函数与反比例函数图象的交点坐标，掌握待定系数法求函数关系式以及根据关系式求交点坐标是正确解答的前提．
 

26.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
平分，平分，
，．
四边形是平行四边形，
．
．
，
．
平行四边形是矩形．
解：与关系为，理由如下：
四边形是矩形，
．
平分，平分
，，
，
．
由得：四边形是矩形．
四边形是正方形．
，． 

【解析】证四边形是平行四边形，再证，然后由矩形的判定即可得出结论；
证，得再证四边形是正方形，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

27.【答案】解：连接，
，
，
，
，
点平分，
，
为的中点，
，
，
，
，
，为的半径，
，
，
，
，
，
为的半径，
为的切线；
，
为直角三角形．
在中，，，
，
由勾股定理得，，
为的直径，
，
，
，
∽，
，
，
 ，
，
． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，根据切线的判定定理即可得到结论；
根据三角函数的定义得到，由勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

28.【答案】解：二次函数的图象交轴于点，
，
，
二次函数的图象交轴于点，
，
把和代入中，
所以，
解得，
二次函数的表达式为；
点是轴右侧抛物线上一点不与重合，
设，其中，
轴，垂足为点，
，
设直线的表达式为，
和在直线上，
，
解得，
直线的表达式为，
轴，交直线于点，
，
，，
，
，
解得或舍，
点坐标为；
存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设，
当为平行四边形的对角线时，，
解得，
；
当为平行四边形的对角线时，，
解得，
；
当为平行四边形的对角线时，，
解得，
；
综上所述：点的坐标为或或． 

【解析】求出点坐标，把和代入中，即可求解；
设，则，，由题意可得，求得点坐标为；
设，当为平行四边形的对角线时，，解得；当为平行四边形的对角线时，，解得；当为平行四边形的对角线时，，解得．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．