2022-2023学年福建省福州四十中九年级（上）开门考数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州四十中九年级（上）开门考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若，，则斜边的长是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛某参赛小组名同学的成绩单位：分分别为：，，，，，关于这组数据，下列说法错误的是(    )

A. 众数是 B. 中位数是 C. 方差是 D. 平均数是

6. 若关于，的二元一次方程组的解为，一次函数与的图象的交点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知两组数据：、、、、和、、、、，下列有关这两组数据的说法中，正确的是(    )

A. 平均数相等 B. 中位数相等 C. 众数相等 D. 方差相等

8. 方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 有一个实数根

9. 矩形与矩形如图放置，点、、共线，点、、共线，连接，取的中点，连接若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若的面积为，，为上一动点，则的最小值为(    )

A. 无法确定 B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 计算：______．
12. 已知一组数据分别为：，，，，，，则这组数据的方差为______．
13. 如图，在菱形中，对角线、相交于点、为边的中点，菱形的周长为，则的长是______ ．

14. 将配方成的形式，则 ______ ．
15. 如图所示，中，平分，平分补角若交于，，，则的长为______ ．

16. 如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法：对于函数来说，随的增大而增大；函数不经过第四象限；不等式的解集是；其中正确的是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    解方程：．
19. 本小题分
    如图，中，、分别是边、的中点，点是上一点，．
    求证：四边形是平行四边形；
    直接写出当满足什么条件时，四边形是菱形．

20. 本小题分
    某校准备防疫物资时需购买、两种抑菌免洗洗手液，若购买种免洗液瓶和种免洗液瓶，共需元；若购买种免洗液瓶和种免洗液瓶，共需元．
    求、两种免洗液每瓶各是多少元？
    学校计划购买、两种免洗液共瓶，购买费用不超过元，且种免洗液的数量不大于瓶．设购买种免洗液瓶，购买费用为元，求出元与瓶之间的函数关系式，求出自变量的取值范围，并确定最少费用的值．
21. 本小题分
    为了解某市九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分段：分；：分；：分；：分；：分统计如下：

根据上面提供的信息，回答下列问题：
在统计表中，的值为______ ，的值为______ ，并将统计图补充整．
甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数．”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？______ 填相应分数段的字母
如果把成绩在分以上含分定位优秀，那么该市今年名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少名？

22. 本小题分
    如图，正方形边长为，菱形的三个顶点、、分别在正方形的边、、上，连接．
    求证：；
    当时，求证：菱形为正方形；
    设，，的面积为，求与之间的函数解析式，并直接写出的取值范围；
    求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键，注意：最简二次根式满足以下两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因式或因数．
 

2.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：，
，
，，
，
，
故选：．
根据勾股定理以及正方形的面积公式得出，求出，进而求出．
本题考查了勾股定理和正方形的性质，能求出的值是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图示，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
根据平行四边形的判定定理可知：只有符合条件．
故选：．
平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理逐项判定即可．
此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
 

4.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过第二、三、四象限，
，
解得：．
故选：．
由一次函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在二、三、四象限”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：将数据重新排列为，，，，，，
A、数据的众数为，此选项正确，不符合题意；
B、数据的中位数为，此选项正确，不符合题意；
C、数据的平均数为，
所以方差为，此选项错误，符合题意；
D、由选项知此选项正确；
故选：．
根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．
本题考查了众数、中位数、平均数、方差，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于，的二元一次方程组的解为，
一次函数与的图象的交点坐标为．
故选：．
函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，据此即可求解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为新数据是在原数据的基础上每个加，
这两组数据的波动幅度不变，
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，
，
所以方程没有实数根．
故选：．
把，，代入进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．延长交于点，由矩形的性质得出，，，推出，，由证得≌，得出，，则，在中，，即可得出结果．
【解答】
解：延长交于点，如图所示：

四边形与四边形都是矩形，
，，，
，，
的中点，
，
在和中，
，
≌．
，，
，
在中，，
，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：过点作于，如图，
由作法得平分，
，，
，
的面积，
，
，
为上一动点，
点点与点重合时，有最小值，
的最小值为．
故选：．
过点作于，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，再利用面积公式计算出，则，然后根据垂线段最短得到的最小值．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂线段最短和角平分线的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
本题是二次根式的减法运算，二次根式的加减运算法则是合并同类二次根式．
合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．
 

12.【答案】 

【解析】解：数据，，，，，的平均数，
这组数据的方差．
故答案为：．
先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

13.【答案】 

【解析】解：
四边形是菱形，
，，，，
菱形的周长为，
，
又点是中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
由菱形的性质易求菱形的边长，根据菱形的性质可得，，从而可判断是的中位线，在中求出，继而可得出的长度．
本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
．
．
故答案为：．
先移项得到，再把方程两边加上，然后把方程左边利用完全平方公式写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握完全平方公式是理解配方法得关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：平分，平分，
，，
，
，
．
，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
．
故答案为：．
首先根据角平分线的定义得到，再由勾股定理可得的长，最后利用平行线的性质、等腰三角形的性质解答即可．
此题考查等腰三角形，关键是根据平行线的性质和直角三角形的性质解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
，则，对于函数来说，随的增大而减小，故错误；
，，则函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故正确；
由可得，故不等式的解集是，故正确；
可以得到，故正确；
故答案为．
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】利用绝对值，零指数幂、负整数指数幂，二次根式的化简的方法进行计算即可．
本题考查绝对值，零指数幂、负整数指数幂以及二次根式的化简，掌握绝对值的性质，零指数幂、负整数指数幂的计算方法以及二次根式的化简方法是得出正确答案的前提．
 

18.【答案】解：，，，
，
，
， 

【解析】先根确定，，，算出，确定有解，最后代入求根公式计算就可以了．
本题考查了运用求根公式法解一元二次方程，解答过程中先要把方程化为一般形式，再确定、、的值，求出的值判断有无解是关键．
 

19.【答案】证明：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
又，
，
，
，，
四边形是平行四边形；
答案不唯一；
如．
，，，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形． 

【解析】由三角形中位线定理可得，得出，则，则可得出结论；
根据菱形的判定可得出答案．
本题考查了中位线定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：设、两种免洗液每瓶分别为元、元，
，
解得，，
答：、两种免洗液每瓶分别为元、元；
由题意，得
，
解得，，
又，
，且为整数，
由题意，得
，且为整数，
，
随增大而减小，
当时，取得最小值，此时，
答：元与瓶之间的函数关系式是，且为整数，当购买种免洗液瓶、种免洗液瓶时，费用取得最小值元． 

【解析】根据购买种免洗液瓶和种免洗液瓶，共需元；若购买种免洗液瓶和种免洗液瓶，共需元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
根据题意，可以得到与的函数关系式，根据学校计划购买、两种免洗液共瓶，购买费用不超过元，且种免洗液的数量不大于瓶，可以求得的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到最少费用的值．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

21.【答案】解：，；
如图所示：

；
名．
答：该市九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数约有名． 

【解析】

解：随机抽取部分学生的总人数为：，
，
，
故答案为；，；图见答案；
总人数为人，
根据频率分布直方图知道中位数在分数段，
故答案为：；
见答案．
【分析】
首先根据：频率，由表格中的数据可以求出随机抽取部分学生的总人数，然后根据中频率即可求解，同时也可以求出；
根据中位数的定义可以确定中位数的分数段，然后确定位置；
首先根据频率分布直方图可以求出样本中在分以上含分的人数，然后利用样本估计总体的思想即可解决问题．
本题考查了频数分布直方图，训练了学生读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．  

22.【答案】证明：如图，连接，
，
，
，
，
；
证明：四边形是正方形，
，
四边形是菱形，
，
在和中，
，
≌，
，又，
，
，
菱形为正方形；
解：作，交的延长线于，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
，
随的增大而减小，
时，的最小值是． 

【解析】连接，根据正方形的性质和平行线的性质得到，根据菱形的性质和平行线的性质得到，解答即可；
证明≌，得到，证明，根据正方形的判定定理证明；
作，证明≌，得到，根据三角形的面积公式得到解析式；
根据一次函数的性质：当时，随的增大而减小解答即可．
本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数解析式的求法和一次函数的性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．