2022年吉林省长春市朝阳实验学校中考数学质检试卷（4月份）-（含解析）

2022年吉林省长春市朝阳实验学校中考数学质检试卷（4月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 年月日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约千米，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图是由几个大小相同的小正方体组合而成的几何体，则下列视图中面积最小的是(    )

A. 主视图
B. 俯视图
C. 左视图
D. 主视图和俯视图

4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，是的直径，切于点，交于点，连接若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；量得测角仪的高度米；量得测角仪到旗杆的水平距离米利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为(    )

A. 米 B. 米
C. 米 D. 米

7. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使∽，根据作图痕迹判断，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在平面直角坐标系，等腰直角的顶点、均在函数的图象上，点在轴正半轴上，，若点的横坐标为，点的纵坐标为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 因式分解：______．
10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
11. 如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，则的周长是______．

12. 如图，直线，将一个有角的三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的大小为______度．

13. 如图，点、、均在上，若，，则阴影部分的面积为______．

14. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于、两点，拱桥最高点到的距离为，，，为拱桥底部的两点，且，若的长为，则点到直线的距离为______

三、解答题（本大题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
16. 本小题分
    从一副扑克牌中取出红桃、、和黑桃、、这两种花色的六张扑克牌，将这三张红桃分为一组，三张黑桃分为另一组，分别将这两组牌背面朝上洗匀，然后从这两组牌中各随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求其中一张是，另一张是的概率．
17. 本小题分
    某市政工程队承担着米长的道路维修任务．为了减少对交通的影响，在维修了米后通过增加人数和设备提高了工程进度，工作效率是原来的倍，结果共用了小时就完成了任务．求原来每小时维修多少米？
18. 本小题分
    图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点、、均在格点上在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
    在图中画出的中线．
    在图的边上找到一点，将分成：两部分．
    在图的边上找到一点，使：：．
     

19. 本小题分
    如图，四边形是矩形，直线垂直平分线段，垂足为点，直线分别与线段、的延长线交于点、．
    求证：四边形是菱形；
    若，，则的值为______．

20. 本小题分
    为提升学生阅读能力，怀化市某校开展“读书伴我行，书香进校园”活动，各班都设立了图书角，学校为了解学生课外阅读的喜好，抽取部分学生进行问卷调查每人只选一种书籍，将收集的数据整理并绘制成如图所示的两幅统计图请根据图中的信息，完成下列问题：
    学校本次调查共抽取了______ 名学生；
    补全条形统计图；
    在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角度数为______ 度；
    如果该校共有名学生，估计该校喜欢“文学”的学生有多少人？
     

21. 本小题分
    甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发开往乙地，如图，线段表示货车离甲地距离千米与货车出发时间小时之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离千米与货车出发时间小时之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
    货车的速度为______ 千米时；
    求线段对应的函数关系式；
    在轿车行驶过程中，若两车的距离不超过千米，直接写出的取值范围．

22. 本小题分
    教材呈现：如下是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容．

请结合图，写出完整的证明过程．
结论应用：
如图，在中，，，、、分别为、、的中点，则______；
如图，在的条件下，延长、相交于点，则______．
 

23. 本小题分
    如图，在中，，，点从点出发沿以每秒个单位的速度向点运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回；在点出发的同时，点从点出发沿以每秒个单位的速度向终点运动．当点到达终点时，点也停止运动．以为斜边作等腰直角三角形，使点与点在的同侧．设、两点的运动时间为秒．
    用含的代数式表示线段的长．
    当四边形为轴对称图形时，求的值．
    当为锐角时，求的取值范围．
    当点与一个顶点的连线垂直平分时，直接写出的值．

24. 本小题分
    在平面直角坐标系中，已知抛物线．
    抛物线的对称轴为直线______．
    当时，函数值的取值范围是，求和的值．
    当时，解决下列问题．
    抛物线上一点到轴的距离为，求点的坐标．
    将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为，设的最高点、最低点的纵坐标分别为、，若，直接写出的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于，且小于，
因此备选项中，只有选项C符合题意，
故选：．
由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．
本题考查数轴表示数的意义和方法，确定被墨迹所盖的数的取值范围是正确解答的前提．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，
当原数绝对值时，是正整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此解答即可．
【解答】
解：，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：如图，该几何体主视图是由个小正方形组成，
左视图是由个小正方形组成，
俯视图是由个小正方形组成，
故三种视图面积最小的是左视图．
故选：．
如图可知该几何体的主视图由个小正方形组成，左视图是由个小正方形组成，俯视图是由个小正方形组成，易得解．
本题考查的是三视图的知识以及学生对该知识点的巩固，难度属简单．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得，
解不等式得，
故不等式组的解集为，
在数轴上的表示如选项C所示．
故选：．
先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
．
，
是的直径，切于点，
，
即，
，

故选：．
由，，根据等腰三角形的性质得出：，再由圆周角定理求出的度数，又由是的直径，切于点，得出，根据直角三角形的性质，即可得出结论．
本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等．注意掌握数形结合思想的应用是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：过作于，则四边形是矩形，
米，米，
，
，
，
米，
即旗杆的高度为米，
故选：．
过作于，则四边形是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：当是的垂线时，∽．
，
，
，
，
，
∽．
根据作图痕迹可知，
选项中，是的平分线，不与垂直，不符合题意；
选项中，是边上的中线，不与垂直，不符合题意；
选项中，是的垂线，符合题意；
选项中，，不与垂直，不符合题意．
故选：．
若∽，可得，即是的垂线，根据作图痕迹判断即可．
本题考查尺规作图、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：作轴，轴于点，，

把代入得，
点坐标为，
把代入代入得，
点坐标为，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
≌，
，，
，
即，
解得，
故选：．
作轴，轴于点，，用含代数式表示点，坐标，通过求解．
本题考查反比例函数与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握反比例函数与等腰直角三角形的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
首先提公因式，再利用平方差进行二次分解．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

11.【答案】 

【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
的周长，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据平行线的性质得到，由角的和差关系得到的大小即可．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
阴影部分的面积，
故答案为：；
根据圆周角定理和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查扇形的面积公式、圆周角定理等知识，解题的关键正确的识别图形；
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，建立平面直角坐标系，在轴上，轴经过最高点，

设与轴交于点，
，
，，设抛物线的解析式为，
，
，
设，则，
拱桥最高点到的距离为，
，
将点和点的坐标代入抛物线解析式得：
，
解得：
点到直线的距离为．
故答案为：．
建立平面直角坐标系，在轴上，轴经过最高点，设抛物线的解析式为，，用含的式子表示出点和点的坐标，再代入抛物线解析式，得方程组，解得和的值，则的值即为所求的答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系，从而求得抛物线的解析式是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式

，
当时，
原式
． 

【解析】先通分，再计算减法即可化简，继而将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

16.【答案】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中其中一张是，另一张是的结果数为，
所以其中一张是，另一张是的概率． 

【解析】画树状图展示所有种等可能的结果，找出一张是，另一张是的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

17.【答案】解：设原来每小时维修米． 
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原来每小时维修米． 

【解析】设原来每小时维修米，则后来每小时维修米，等量关系是：原来维修米所用时间后来维修米所用时间小时，依此列出方程求解即可．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：如图中，线段即为所求．
如图中，点即为所求．
如图中，点即为所求．
 

【解析】利用平行四边形的对角线互相平分解决问题即可．
利用网格线寻找点即可．
利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
本题考查作图应用与设计，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】 

【解析】证明：四边形是矩形，
，
，
直线垂直平分线段，垂足为点，直线分别与线段、的延长线交于点、，
，，，，，
在和中

≌，
，
，
四边形是菱形；

解：四边形是菱形，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
四边形是菱形，四边形是矩形，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质得出，求出，根据线段垂直平分线得出，，，，，证≌，根据全等三角形的性质得出，求出即可；
根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，求出，解直角三角形求出即可．
本题考查了勾股定理，解直角三角形，菱形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

20.【答案】解：；
科普的人数有：人，补全统计图如下：

；
该校喜欢“文学”的学生有：人．
答：估计该校喜欢“文学”的学生有人 

【解析】解：学校本次调查共抽取的学生人数有：名．
故答案为：；
见答案；
“漫画”所在扇形的圆心角度数为：．
故答案为：．
见答案．
根据条形图可知喜欢“文学”的有人，根据在扇形图中占可得出调查学生数；
用总人数减去喜欢其他书籍的人数求出喜欢科普的人数，从而补全统计图；
用乘以喜欢“漫画”人数所占的百分比即可；
用该校的总人数乘以“文学”的学生所占比例即可得出答案．
本题考查的是条形统计图、扇形统计图的综合运用和用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】 

【解析】解：由题意得：货车的路程为，时间为小时，
货车的速度为：千米时．
故答案为：．
设线段的解析式为：，
将，代入，
得：，
解得：，
线段的解析式为：；
设线段得解析式为：，
将代入，
得：，
解得：．
．
两车间得距离不超过千米，
，即：，
解得：．
线段可以知道货车从甲地开往乙地的过程中是匀速运动，路程为，时间为小时，利用：速度路程时间，可以求出；
线段的解析式为一次函数的解析式，可以用待定系数法求出；
两车距离不超过，也就是两条线段对应的解析式中的的差的绝对值不大于，即，然后通过解不等式得出答案．
本题主要考查一次函数和行程问题的综合应用，通过考查，既能知道学生对于函数的图象的掌握情况，又能判断学生是否能用函数知识解决实际问题．
第一问比较简单，只要通过图象得出货车的路程和时间就可以求出货车的速度；第二问容易遗漏自变量的取值范围；第三问不需写解题过程，但是仍需学生知道如何求解，可以用函数差求解即，也可以转化为追及问题求解．
 

22.【答案】   

【解析】教材呈现：证明：点、分别是与的中点，
，
，
∽，
，，
，；
过点作于，

为的中点，．
．
，
．
，
，，
，
、分别为、的中点，
，
故答案为：；
为的中点，．
．
、分别为、的中点，
，，
∽，
，
．
．
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
教材呈现：根据角和线段比例关系证∽即可得证结论；
过点作于，由为的中点，得出可得则，，根据勾股定理可得，由、分别为、的中点，即可得出；
由为的中点，得出由、分别为、的中点，可得，根据相似三角形的性质得出则根据相似三角形的判定和性质得出，即可求出．
本题是相似综合题，主要考查三角形中位线定理的证明和应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理的证明和应用以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意，得，
，
；

当四边形为轴对称图形时，的垂直平分线过点，
为轴对称图形，
，
，，，
，即，
．
当为直角时，，
为等腰直角三角形，
，
，
如图，作交于点，

，
，即，
，
当时，，
当时，，
；

分三种情况，使得的中垂线分别经过、、．
过点，与情况相同，，
，
；
过点，此时，
，，
，
；
如图：

过点，此时，
，
为斜边的中线，为中点，
，，即，
；
如图，点返回时垂直于，

作垂直于，，
，
，
，
中，由勾股定理得，
，
解得，．
综上，的值为或或或． 

【解析】根据线段的和差关系可得答案；
由轴对称图形和线段垂直平分线性质得，然后由线段和差关系得方程，解方程可得答案；
根据等腰直角三角形的性质得的度数，作交于点，由三角函数列出方程求解可得答案；
分三种情况：使得的中垂线分别经过、、，分别列出方程，解方程可得问题的答案．
本题考查四边形综合题、勾股定理、线段的垂直平分线的性质定理、方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】 

【解析】解：函数的对称轴为：，
故答案为；
函数对称轴为，当时，函数值的取值范围是，
故是函数的最小值，即抛物线的顶点为，
将函数顶点坐标代入函数表达式并解得：，
故抛物线的表达式为：，
则；
抛物线上一点到轴的距离为，而顶点坐标为，
故，解得：，
故点的坐标为或；
设图象折叠后顶点的对应点为，点是函数所处的位置，图象为区域，

点，点，则点，
当点在点下方时，，，
函数的最高点为，最低点为，
则，解得：，
故；
当点在点上方时，
同理可得：；
故．
函数的对称轴为：，即可求解；
函数对称轴为，当时，函数值的取值范围是，故是函数的最小值，即抛物线的顶点为，即可求解；
抛物线上一点到轴的距离为，而顶点坐标为，故，即可求解；分在点下方、上方两种情况分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的翻折、函数的最值、不等式的应用等，其中、，要注意分类求解，避免遗漏．