2022年浙江省杭州市拱墅区北苑实验中学中考数学二模试卷（含解析）

2022年浙江省杭州市拱墅区北苑实验中学中考数学二模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共9小题，共27分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 一个多边形的内角和是外角和的倍，这个多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 以方程组的解为坐标，点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5. 设，是实数，则(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

6. 已知个正数，，，，的平均数是，且，则数据，，，，，的平均数和中位数是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7. 如图，升国旗时，某同学站在离国旗米处行注目礼，当国旗升至顶端时，该同学视线的仰角为，已知双眼离地面为米，则旗杆的高度为(    )

A. 米 B. 米
C. 米 D. 米

8. 如图，与的边相切，切点为点，并分别与、边相交于、点，，过点作交于点，若的半径不变，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

9. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

10. 分解因式：______．
11. 学校组织春游，安排九年级三辆车，小王和小菲都可以从三辆车中任选一辆搭乘，则小王和小菲乘同一辆车的概率是______．
12. 数学何老师网购了一本魔法数学，同学们想知道书的价格，何老师让他们猜．甲说：“至少元．”乙说：“至多元．”丙说：“至多元．”何老师说：“你们三个人中只有一人说对了”则这本书的价格元所在的范围为______．
13. 如图，为的直径，，为上两点，若，则的大小为______ ．

14. 当时，反比例函数且的最大值与最小值之差是，则的值是______．
15. 如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上一点不与点，重合，压平后得到折痕设，当时，则 ______ 若为整数，则 ______ 用含的式子表示

三、解答题（本大题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分

小明解不等式的过程如下．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．

17. 本小题分
    境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈如图是某国截止月日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图根据图表信息，回答下列问题：
    截止月日该国新冠肺炎感染总人数累计为______ 万人，扇形统计图中岁感染人数对应圆心角的度数为______ ；
    请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
    若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为，，，，，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．
     

18. 本小题分
    在直角坐标系中，设函数常数与函数的图象交于点，且点的横坐标为．
    求的值；
    求出两个函数图象的交点坐标，并直接写出当时，的取值范围．
19. 本小题分
    已知：如图，在中，，
    求证：．
    连接，若平分，，，求的长．

20. 本小题分
    已知二次函数的图象与平行于轴的直线交于，两点，其中点的坐标为．
    求的坐标．
    若将直线向上平移个单位后与函数的图象只有一个交点，求函数的表达式．
    已知，都在函数的图象上，且求的取值范围．
21. 本小题分
    如图，已知正方形的边长为，对称中心为点，点为边上一个动点，点在边上，且满足条件，图中两块阴影部分图形关于直线成轴对称，设它们的面积和为．
    求证：；
    设四边形的面积为，，．
    求关于的函数解析式和自变量的取值范围，并求出的最大值；
    当图中两块阴影部分图形关于点成中心对称时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：设这个多边形是边形，根据题意，得
，
解得：．
即这个多边形为六边形．
故选：．
多边形的外角和是，则内角和是设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程，从而求出边数的值．
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
得，，
解得，．
把代入得，，
解得．
，，根据各象限内点的坐标特点可知，
点在平面直角坐标系中的第一象限．
故选：．
此题可解出的、的值，然后根据、的值可以判断出该点在何象限内．
此题考查二元一次方程组的解法及象限的符号特征：
利用代入消元或加减消元求得方程组的解为，，
第一象限横纵坐标都为正；
第二象限横坐标为负；纵坐标为正；
第三象限横纵坐标都为负；
第四象限横坐标为正，纵坐标为负．
 

5.【答案】 

【解析】解：、不等式两边同时加减同一个数式，不等号不变，故A符合题意，
B、不等式两边同乘以除以同一个不为负数，不等号方向改变，故B不符合题意，
C、不等式两边同乘以除以同一个正数，不等号方向不变，故C不符合题意，
D、两边同乘以可得，故D不符合题意，
故选：．
根据不等式性质即可得到答案．
本题考查不等式性质，特别是不等式两边同乘除同一个负数，不等号方向要改变．
 

6.【答案】 

【解析】解：由平均数定义可知：；
将这组数据按从小到大排列为，，，，，；由于有偶数个数，取最中间两个数的平均数．
其中位数为．
故选C．
对新数据按大小排列，然后根据平均数和中位数的定义计算即可．
本题考查了平均数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大或按从大到小的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，米，米，
四边形为矩形，则米，米，
在中，
，
，
米．
故选：．
由题意可知，在直角三角形中，已知角和邻边，要求出对边，直接用正切即可解答．
本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

8.【答案】 

【解析】解：连结，

，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
，
在中，，
，
最大值是是直径时，
的最大值是直径的平方，
，
，
点、在上，
是的直径，
，
是直径的平方，
的最大值可表示为：，
故选：．
由两角对应相等可判定∽，由此得到，变形得到，由勾股定理得到，可得，推断出的最大值是直径的平方，再由，点、在上，推出是的直径，再根据勾股定理即可得解．
此题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，
时，随的增大而减小，
，即．
解得，
，
，
．
当时，抛物线开口向下，
时，随的增大而减小，
，即，
解得，
，
，
，
，
此情况不存在．
综上所述，最大值为．
故选：．
由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的，的取值范围，将转化为含一个未知数的整式求最值．
本题考查二次函数的性质及最值问题，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，注意根据抛物线开口方向分类讨论．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．
 

11.【答案】 

【解析】解：设辆车分别为，，，

共有种情况，在同一辆车的情况数有种，
所以坐同一辆车的概率为：．
故答案为：．
列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
此题主要考查了概率的求法；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：，
三个人中只有一人说对了，
这本书的价格元所在的范围为．
故答案为：．
根据题意得出不等式组解答即可．
此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
为的直径，
，
，
．
故答案为．
连接，如图，先利用圆周角定理得到，则利用互余计算出，然后再利用圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

14.【答案】 

【解析】解：当时，在其每一象限内，反比例函数随的增大而减小．
，解得，
当时，在其每一象限内，反比例函数随的增大而增大．
，解得，
综上所述，．
答案：．
分和进行讨论，再根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．
本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答，解题关键要对于的值要分情况讨论．
 

15.【答案】  

【解析】解：已知为整数，且，则，；
设，；
在中，，，由勾股定理得：
，即；
解得：，，；
由于，，
，，
，
易证得∽，
，即；
解得：，，
，且，
∽，得：；
即：，解得：；
；
当时，；
故答案为：，．
设和的交点为，先求得，的长，再根据两组相似三角形：∽∽，利用成比例线段即可求解．
本题考查图形的翻折变换，相似三角形的判定和性质以及勾股定理的综合应用，由于计算量较大，需要细心求解．
 

16.【答案】解：错误的步骤有，
正确解答过程如下：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：． 

【解析】首先去分母，然后去括号、移项、合并同类项，系数化成即可求解．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：截止月日该国新冠肺炎感染总人数累计为万人，
扇形统计图中岁感染人数对应圆心角的度数为，
故答案为：，；

岁人数为万人，
补全的折线统计图如图所示；


该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为：．
由岁的人数及其所占百分比可得总人数，再用乘以岁感染人数所占比例即可得；
先求出岁人数，再补全折线图；
利用加权平均数的定义求解可得．
本题主要考查折线统计图和扇形统计图，解题的关键是根据折线统计图和扇形统计图得出解题所需数据及加权平均数的定义．
 

18.【答案】解：函数常数与函数的图象交于点，且点的横坐标为，
，
解得；
，
，，
解得，
两个函数图象的交点坐标为，
函数常数与函数的图象的交点在第四象限，
观察图象，当时，的取值范围是且． 

【解析】根据函数常数与函数的图象交于点，即可得到，解得即可；
解析式联立成方程组，解方程组求得交点坐标，然后得出反比例函数图象在一次函数图象下方时的取值即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
．
，，
，
平分，
，
，
∽，
，
，，
，． 

【解析】根据同弧所对的圆周角相等即可求证．
根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：，
抛物线的对称轴为直线，
点的坐标为．
；
由题意可知，抛物线的顶点的纵坐标为，
，
，
二次函数经过点，
，即，
由，解得，，
函数的表达式为；
抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，且，则，
解得；
当时，抛物线开口向下，
当时，根据函数的对称性，则，即，不合题意，
故的取值范围为：． 

【解析】求得对称轴，根据抛物线的对称性即可求得；
根据题意得到关于、的二元一次方程组，解方程组求得、的值，即可求得二次函数的解析式；
抛物线的对称轴为直线，当时，抛物线开口向上，且，则，即可求解．
本题考查了抛物线与系数的关系、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
；
而在中，由于为正方形的对角线，则，
则，
．

解：，且，
∽，则，
而在正方形中，为对角线，则，
又为对称中心，则，
．
如图，过点作于点，于点，

为中点，则，且，同理．
，
阴影部分关于直线轴对称，
与也关于直线对称，
则；
而，
，
．
在上运动，在上运动，且，
．
令，则，当，即时，取得最大值．
而在的取值范围内，代入，则．
关于的函数解析式为：，的最大值为．
图中两块阴影部分图形关于点成中心对称，
而此两块图形也关于直线成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线对称，
则，即，
，解得，
把代入得． 

【解析】利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论；
本问关键是求出与之间的函数解析式．
首先分别用表示出与，然后计算出与的函数解析式．这是一个二次函数，求出其最大值；
根据，构建方程即可解决问题．
本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换轴对称与中心对称、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多，有一定的难度．