2022-2023学年江苏省宿迁市宿豫区青华中学九年级（上）期初数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省宿迁市宿豫区青华中学九年级（上）期初数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分

1.    下列方程中是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列方程中，有实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定与(    )

A. 轴相交 B. 轴相交 C. 轴相切 D. 轴相切

5.    如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．若，则的度数(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，已知是的内切圆，且，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

7.    下列说法：直径是弦：平分弦的直径垂直于弦；长度相等的两条弧是等弧；三点确定一个圆；三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点其中正确的命题有(    )

A.  B.  C.  D.

8.    设，，且，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30分

9.    一元二次方程的解是______．
10. 将一元二次方程化成一般形式可得______．
11. 已知中，，，，则的外接圆半径是______．
12. 如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则______．

13. 某种植基地年蔬菜产量为吨，年蔬菜产量达到吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为，则可列方程为______．
14. 已知的半径，圆心到直线的距离是方程的解，则直线与的位置关系是______．
15. 关于的一元二次方程有一个根是，则的值是______．
16. 如图，是一个油罐的截面图．已知的直径为，油的最大深度，则油面宽度为_____．

17. 对于实数，，定义运算“”如下：若，则          ．
18. 如图，点、分别是轴和轴上两点，点是以为圆心、为半径的圆上的一个动点，连接，点是的中点，连接，则的最大值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共96分

19. 解下列方程：
    ；
    ；
    ；
    ．
20. 如图，在平面直角坐标系中，有，，三点．
    在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置；
    圆心的坐标为______；
    点坐标为，连接，判断直线与的位置关系，并说明理由．

21. 已知关于的一元二次方程．
    求证：该方程总有两个实数根；
    若，且该方程的两个实数根的差为，求的值．
22. 已知，，，是上的四点，延长，相交于点，若．
    求证：是等腰三角形．

23. 如图，是的直径，直线、分别是过上点、的切线．
    若，则______；
    若，求．

24. 年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
    若降价元后，每件衬衫的利润______元，平均每天销售数量为______件用含的代数式表示；
    若该经销商每天获得利润元，则每件商品应降价多少元？
25. 在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点以秒的速度移动．如果、两点在分别到达、两点后就停止移动，回答下列问题：
    运动开始后第几秒时，的面积等于？
    设运动开始后第秒时，五边形的面积为，写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

26. 如图，是的直径，平分，．
    求证：是的切线；
    若，，求的半径．

27. 我们知道：；，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
    按上面材料提示的方法填空：________________________．
    探究：当取不同的实数时在得到的代数式的值中是否存在最小值？请说明理由．
    应用：如图．已知线段，是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以、为一组邻边作长方形问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．

28. 如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点直线交直线于点．
    
    小智同学通过思考推得当点在上方时，的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
    ，
    、、三点在以为圆心，以为半径的圆上．
    ______填写数量关系
    ______
    如图，连接，求证：、、、四点共圆；
    线段最大值为______；若取的中点，则线段的最小值为______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
B.该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C.该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D.该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，方程没有实数根，所以选项错误；
B、，方程没有实数根，所以选项错误；
C、，方程有两个不相等的实数根，所以选项正确；
D、，方程没有实数根，所以选项错误．
故选C．
分别根据四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：是以点为圆心，为半径的圆，
如图所示：

这个圆与轴相切，与轴相离．
故选：．
本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切．
此题考查的是直线与圆的位置关系，直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
是半圆的直径，
，
，
．
故选：．
连接，如图，利用圆周角定理得到，，然后计算即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的内切圆，
和是的角平分线，
，，
．
故选：．
根据是的内切圆，可得和是的角平分线，再根据三角形内角和定理进而可得的度数．
本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
 

7.【答案】 

【解析】解：直径是弦，是真命题：
被平分的弦是直径时，不一定垂直于弦，是假命题；
在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，原命题是假命题；
不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；
三角形的内心是三角形三个内角平分线交点，是假命题；
故选：．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意有：，，且，
所以，是方程的两个根，
故，
因此


故选：．
根据题目所给的条件，知道，是一元二次方程的两个不等实数根，得到和的值，把代数式用配方法得到含有和的形式，求出代数式的值．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据题目的条件得到两根的和与两根的积，代入代数式求出代数式的值．
 

9.【答案】或 

【解析】解：，
开方得：，
故答案为：或．
两边开方即可求出答案．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据多项式的乘法展开，然后整理即可得解．
本题考查了一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，
，，，
，
直角三角形的外心为斜边中点，
的外接圆的半径为斜边长的一半，
故答案为：．
根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先由勾股定理求出斜边长，即可求出半径．
本题考查了直角三角形的外心的性质，勾股定理的运用．明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
则．
故答案为：．
根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案．
本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程增长率问题解题的关键在于理清题目的含义，找到年和年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．利用增长后的量增长前的量增长率，设平均每次增长的百分率为，根据“从吨增加到吨”，即可得出方程．
【解答】

解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为，
根据年蔬菜产量为吨，则年蔬菜产量为吨
年蔬菜产量为吨，预计年蔬菜产量达到吨，
即：或．
故答案为．

14.【答案】相切或相离 

【解析】解：，
，
或，
当时，则，所以直线与的位置关系是相离；
当时，则，所以直线与的位置关系是相切；
则直线与的位置关系是：相切或相离；
故答案为：相切或相离．
先解方程，根据距离与的大小关系得出：直线与圆的位置关系．
本题考查了一元二次方程的解法及直线与圆的位置关系，判断直线和圆的位置关系时：设的半径为，圆心到直线的距离为，直线和相交；直线和相切；直线和相离．
 

15.【答案】 

【解析】解：方程为一元二次方程，
，
．
将代入，得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：．
根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入求出的值是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了垂径定理的应用．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
根据垂径定理和勾股定理进行解答即可．
【解答】
解：连接，
根据直径等于可知，半径，


，
，
，
，
故答案为．  

17.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
【解答】
解：根据题意得，
，
，
或，
所以，．
故答案为或．  

18.【答案】 

【解析】解：设点是点关轴的对称点，连接，
，，
，，
当取得最大值时，的值最大，
、、共线时，最大，如图，
点、，
，，
，，
，
，
，
的最大值为．
设点是点关轴的对称点，连接，根据三角形中位线定理得到，故当取得最大值时，的值最大，因为、、共线时，最大，求得此时的值，即可求得的最大值．
本题考查了点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，三角形三边关系，明确当取得最大值时，的值最大是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，；
，
，
，
，
所以，；
，
，
，
，
，
所以，． 

【解析】先变形得到，然后利用直接开平方法解方程；
利用因式分解法解方程；
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，点即为所求．

由图可知，点的坐标为．
故答案为：．
直线与相切．
理由：连接，，
由勾股定理得，，，，
，
，
为的半径，
直线是的切线．
利用网格画出线段和线段的垂直平分线，交点即为点．
根据图形即可得出点的坐标．
连接，，利用勾股定理判定，则直线为的切线．
本题考查作图复杂作图、直线与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
 

21.【答案】证明：，，，
．
无论取何值时，，即，
原方程总有两个实数根；

解：，即，
，．
，且该方程的两个实数根的差为，
，
． 

【解析】根据方程的系数，结合根的判别式可得出，利用偶次方的非负性可得出，即，再利用“当时，方程有两个实数根”即可证出结论；
利用因式分解法求出，由题意得出的方程，解方程则可得出答案．
本题考查了根的判别式、以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；利用因式分解法求出方程的解．
 

22.【答案】证明：，，，是上的四点，
，
，
，
，
，即是等腰三角形． 

【解析】根据圆内接四边形的性质得到，根据等腰三角形的判定和性质定理证明．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：直线、分别是过上点、的切线，
，
故答案为：；
连接，．

，分别是过上点，的切线，
，，
，
，
，
．
根据切线长定理即可得到结论；
连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论．
此题考查了切线的性质、圆周角定理等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：依题意得：降价元后，每件衬衫的利润为元，平均每天的销售量为件．
故答案为：；．
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽快减少库存、增加盈利，
．
答：每件商品应降价元．
利用每件衬衫的利润原利润每件降低的钱数，即可用含的代数式表示出降价后每件衬衫的利润；利用平均每天的销售量每件降低的钱数，即可用含的代数式表示出降价后平均每天的销售量；
利用该经销商每天销售衬衫获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要尽快减少库存、增加盈利，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出降价后每件衬衫的利润及降价后平均每天的销售量；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

25.【答案】解：第秒钟时，，
故，，
故，
当的面积等于时，，
解得：或，
即运动开始后第或秒时，的面积等于；

．
． 

【解析】根据秒时，、两点的运动路程，分别表示、的长度，可得的面积，后令其为，求出的值即可；
用求面积即可．
本题考查矩形的性质，难度适中，解题关键是根据所设字母，表示相关线段的长度，再计算面积．
 

26.【答案】解：如图，连接，
平分，
，
又，
，
，
，
，
，
是的切线；
如图，连接，交于，
是的直径，
，
又，，
四边形是矩形，
，．
设的半径为，
在中，由勾股定理得，
，
解得．
即半径为． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质和角平分线得出，再根据垂线和平行线的性质得出，进而得出是的切线；
根据圆周角定理和垂径定理得出，在中，由勾股定理列方程求解即可．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握切线的判定方法，掌握圆周角定理、垂径定理以及勾股定理是正确解答的关键．
 

27.【答案】   ，，  ，   
，，
当时，代数式存在最小值为；
根据题意得：，
则时，最大值为． 

【解析】解：根据题意得：；；
故答案为：；；；；
见答案；
见答案．
原式配方即可得到结果；
利用非负数的性质确定出结果即可；
根据题意列出与的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果．
此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

28.【答案】；；
证明：连接，取的中点，连接，如图，
，
，
由折叠知，，
由知，，
，
，
，
，
，
点、、、在以点为圆心的圆上，
即、、、四点共圆；
；． 

【解析】解：，
、、三点在以为圆心以为半径的圆上，
，
故答案为：，；
见答案；
如图，
，，三点在以为圆心，以为半径的圆上，
当经过圆心时，线段的值最大，最大值为；

如图，取的中点，连接，
是的中点，
，，
，
，
在中，，根据勾股定理得，，
由知，点，，，在以为直径的圆上，
连接，则，
，
当经过点时，最短，此时，
，
即线段的最小值为，
故答案为；．
根据，得、、三点在以为圆心以为半径的圆上，根据圆周角定理可知的度数；
取的中点，连接，可证，则点在以为直径的圆上，即可得出结论；
根据直径是圆中最大的弦知当经过圆心时，线段的最大值为；先求出，，再判断出当经过点时，最短，此时，从而解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，折叠的性质，圆周角定理，利用定点定长构造辅助圆是解题的关键．