人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动1 简谐运动导学案

课题

简谐运动

年级

高二

知识点来源

高中 物理 人教版（2019）选择性必修 第一册第二章 机械振动 1 简谐运动

学习目标

物理观念：1.知道什么是弹簧振子，知道振子的平衡位置和位移的概念.2.知道简谐运动的位移—时间图象的物理意义，知道其图象是一条正弦曲线．

科学思维：会根据简谐运动的位移—时间图象分析振子的位移和速度的变化情况．

科学探究：通过对比振子和匀速直线运动物体的位移—时间图象，弄清图象的物理意义及应用．

学习重难点

简谐运动及其位移—时间图象

【自主预习】

一、弹簧振子

1．平衡位置：振子原来　　　时的位置．

2．机械振动：振子在　　　附近的往复运动，简称振动．

3．弹簧振子：　　　和弹簧构成的系统．

二、弹簧振子的位移—时间图象(x－t图象)

1．用横坐标表示振子运动的　　　，纵坐标表示振子离开      位置的位移(x)，描绘出的图象就是　　　随　　　变化的图象，即x－t图象，如图1所示．

图1

2．振子的位移：振子相对　　　位置的位移．

三、简谐运动及其图象

简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从　　　的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条

　　　曲线．

1．判断下列说法的正误．

(1)竖直放于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动是机械振动．(　 　)

(2)物体的往复运动都是机械振动．(　 　)

(3)弹簧振子的位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段．(　 　)

(4)简谐运动的图象表示质点振动的轨迹是正弦曲线．(　 　)

2．如图2所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是________(选填“OC”“AC”或“CO”)，从A点运动到C点的过程中，位移变________(选填“小”或“大”)，速度变________(选填“小”或“大”)．

图2

【重点探究】

一、弹簧振子

如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动．

(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？

(2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？

(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？

1．平衡位置：振子原来静止时的位置．平衡位置不一定是中心位置(如图3所示物体的振动)，物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态(如图4所示物体的振动)．

图3　　　　　　　　　图4

2．弹簧振子是一种理想化模型．实际物体可看成弹簧振子的条件：

(1)不计摩擦阻力和空气阻力．

(2)不计弹簧的质量．

(3)物体可视为质点．

(4)弹簧的形变在弹性限度内．

3．弹簧振子的振动分析

(1)位移及其变化

位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置．当振子从平衡位置向最大位移处移动时，位移增大；当振子由最大位移处向平衡位置移动时，位移减小．

(2)速度及其变化

振子在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零．振子由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小；振子由最大位移处向平衡位置运动时，速度增大．

(3)加速度及其变化

水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振子受到的合力，竖直弹簧振子所受的重力与弹力之和是振子受到的合力．不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，均满足：在平衡位置处所受的合力为零，加速度为零；而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大．

例1　(多选)在图5中，当振子由A向平衡位置O运动时，下列说法正确的是(　　)

图5

A．振子的位移变小

B．振子的运动方向向左

C．振子的位移方向向左

D．振子的位移变大

例2　如图6所示为一个水平方向的弹簧振子，小球在MN间做简谐运动，O是平衡位置．关于小球的运动情况，下列描述正确的是(　　)

图6

A．小球经过O点时速度为零

B．小球经过M点与N点时有相同的加速度

C．小球从M点向O点运动过程中，加速度增大，速度增大

D．小球从O点向N点运动过程中，加速度增大，速度减小

 [学科素养]　以上两题考查了弹簧振子在振动过程中位移、速度、加速度的变化规律，在位移为零处，即平衡位置，加速度为零，速度最大；在最大位移处，速度为零，加速度最大．通过解题，让物理概念和规律在头脑中得到提炼和升华，体现了“物理观念”与“科学思维”的学科素养．

二、简谐运动及其图象

甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x－t图象：

如图所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线，乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸．

(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？

(2)乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？

(3)沿O′O方向与垂直O′O方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么？用什么方法判断上述图象是否为正弦曲线？

1．对x－t图象的理解

x－t图象上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标．它反映了振子位移随时间变化的规律．

注意　x－t图象不是振子的运动轨迹．

2．图象的应用

(1)可直接读出不同时刻t的位移x值．位于t轴上方的x值表示位移为正，位于t轴下方的x值表示位移为负，如图7甲所示．

(2)判断任意时刻质点的振动方向．看下一相邻时刻质点的位置，如图乙中a点，下一相邻时刻离平衡位置远，故a点此刻向＋x方向运动．

甲　　　　　　　　　乙

图7

(3)速度的大小和方向，根据图象上某点的切线的斜率判断．图象上某点的斜率的大小表示速度大小，斜率的正负表示运动的方向．在平衡位置，切线斜率最大，质点速度最大；在最大位移处，切线斜率为零，质点速度为0.在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大．

例3　如图8甲所示为一弹簧振子的振动图象，规定向右的方向为正方向，试根据图象分析以下问题：

甲　　　　　　　　　　　 乙

图8

(1)如图乙所示，振子振动的起始位置是________，从起始位置开始，振子向________(填“右”或“左”)运动．

(2)在图乙中，找出图甲中的O、A、B、C、D各点对应振动过程中的哪个位置？即O对应________，A对应______，B对应________，C对应________，D对应________．

(3)在t＝2 s时，振子的速度方向与t＝0时振子的速度方向________；1～2 s内振子的速度大小的变化情况是________．

(4)振子在前4 s内的位移等于________．

例4　(2016·北京卷)如图9所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动．以平衡位置O为原点，建立Ox轴．向右为x轴正方向．若振子位于N点时开始计时，则其振动图象为(　　)

图9

【巩固练习】

一、选择题

考点一　机械振动的理解和判断

1．(多选)下列运动属于机械振动的是(　　)

A．说话时声带的运动

B．弹簧振子在竖直方向的上下运动

C．体育课上同学进行25米折返跑

D．竖直向上抛出的物体的运动

考点二　弹簧振子

2.(多选)如图1所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统．用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是(　　)

图1

A．钢球的最低处为平衡位置

B．钢球原来静止时的位置为平衡位置

C．钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移大小为3 cm

D．钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移大小为2 cm

3.(多选)如图2所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，在振子从最大位移处a向平衡位置O运动过程中(　　)

图2

A．位移方向向左，速度方向向左

B．位移方向向左，速度方向向右

C．位移不断增大，速度不断减小

D．位移不断减小，速度不断增大

4．如图3为某鱼漂的示意图．当鱼漂静止时，水位恰好在O点．用手将鱼漂往下按，使水位到达M点．松手后，鱼漂会上下运动，水位在M、N之间来回移动．且鱼漂的运动是简谐运动．下列说法正确的是(　　)

图3

A．水位到达N点时，鱼漂的位移向下最大

B．水位在O点时，鱼漂的速度最大

C．水位到达M点时，鱼漂具有向下的加速度

D．鱼漂由上往下运动时，速度越来越大

5．对水平弹簧振子，下列说法正确的是(　　)

A．每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同

B．通过平衡位置时，速度为零，加速度最大

C．每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同

D．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值

考点三　简谐运动及其图象

6.(2018·屯溪一中高二下学期期中)如图4所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动．O点是平衡位置，以某时刻作为计时零点(t＝0)，经过周期，振子具有正方向的最大速度，那么下列四幅图象中能够正确反映振子的振动情况的图线是(　　)

图4

7．如图5甲所示，在弹簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线．若振动曲线如图乙所示，由图象判断下列说法正确的是(　　)

图5

A．振子偏离平衡位置的最大距离为10 cm

B．1 s末到5 s末振子的路程为10 cm

C．2 s末和4 s末振子的位移相等，运动方向也相同

D．振子在2 s内完成一次往复性运动

8.(多选)如图6所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法中正确的是(　　)

图6

A．由P→Q，位移在增大

B．由P→Q，速度在增大

C．由M→N，位移先减小后增大

D．由M→N，位移始终减小

9．(多选)如图7所示为某简谐运动的图象，若t＝0时，质点正经过O点向b点运动，则下列说法正确的是(　　)

图7

A．质点在0.7 s时，正在远离平衡位置运动

B．质点在1.5 s时的位移最大

C．1.2 s到1.4 s，质点的位移在增大

D．1.6 s到1.8 s，质点的位移在增大

10．(2017·北京卷)某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图8所示，下列描述正确的是(　　)

图8

A．t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值

B．t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值

C．t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零

D．t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值

11.某弹簧振子的振动图象如图9所示，将弹簧振子从平衡位置拉开4 cm后放开，同时开始计时，则(　　)

图9

A．在0.1～0.2 s振子正在做加速度减小的加速运动

B．在0.1～0.2 s振子正在做加速度增大的减速运动

C．在0.1～0.2 s振子速度方向沿x轴正方向

D．在0.15 s时振子的位移一定等于2 cm

二、非选择题

12．如图10所示的三个图线分别是不同的传感器测出的不同物体的振动图线．从三个图线可知，这三个物体振动的共同特点是具有________性，三个物体中，最简单的振动是________的振动．图中心脏跳动的图线是某人的心电图，方格纸每个小方格的宽度是0.5 cm，心电图记录仪拖动方格纸的速度是1.8 cms，则此人的心率约是________次分．

图10

13．如图11所示是某质点做简谐运动的振动图象，根据图象中的信息，回答下列问题：

图11

(1)质点离平衡位置的最大距离有多大？

(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？

(3)质点在2 s末的位移是多少？

【参考答案】

【自主预习】

一、静止 平衡位置 小球

二、时间(t) 平衡 位移 时间 平衡

三、正弦函数 正弦

√ × √ ×　  OC　小　大

【重点探究】

一、弹簧振子

(1)小球的运动具有往复性．小球因为受到摩擦力的作用最终停止运动．　(2)小球往复运动的次数增多，运动时间变长．　(3)小球将持续地做往复运动．

例1　AB解析　在振动中位移的参考点是O点，由于振子在O点的右侧由A向O运动，所以振子的运动方向向左，位移方向向右，且位移变小，故A、B正确．

例2　 D解析　小球经过O点时速度最大，A错；小球在M点与N点的加速度大小相等，方向相反，B错；小球从M点向O点运动过程中，速度增大，加速度减小，C错；小球从O点向N点运动过程中，速度减小，加速度增大，D对．

[学科素养]　以上两题考查了弹簧振子在振动过程中位移、速度、加速度的变化规律，在位移为零处，即平衡位置，加速度为零，速度最大；在最大位移处，速度为零，加速度最大．通过解题，让物理概念和规律在头脑中得到提炼和升华，体现了“物理观念”与“科学思维”的学科素养．

二、简谐运动及其图象

 (1)是一条垂直于OO′的直线．

(2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线．

(3)垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x(如果以O′为出发点，也可以说是位移坐标轴)，沿O′O方向的轴为时间轴t.图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以O′为出发点)或位置．一种方法是用图上坐标点代入正弦函数表达式中进行检验，另一种是用图上多个点的坐标值输入计算机作出这条曲线，看看这条曲线可以用什么函数表示．

例3　 (1)E　右　(2)E　G　E　F　E　(3)相反　逐渐增大　(4)0

解析　(1)由题图知，在t＝0时，振子在平衡位置，故起始位置为E；从t＝0时，振子向正的最大位移处运动，即向右运动．(2)由x－t图象知：O点、B点、D点对应振动过程中的E点，A点在正的最大位移处，对应G点；C点在负的最大位移处，对应F点．(3)t＝2 s时，图线切线的斜率为负，即速度方向为负方向；t＝0时，图线切线的斜率为正，即速度方向为正方向，故两时刻速度方向相反，1～2 s内振子的速度逐渐增大．(4)4 s末振子回到平衡位置，故振子在前4 s内的位移为零．

例4　A解析　开始计时时振子位于正向最大位移处，向负方向做简谐运动，振动图象为余弦函数图象，A项对．

【巩固练习】

1．AB解析　机械振动的特点是物体在平衡位置附近做往复运动．

2. BC解析　振子的平衡位置为振子原来静止时的位置，故A错，B对；振动中的位移为从平衡位置指向某时刻振子所在位置的有向线段，据题意可判断C对，D错．

3. BD解析　在振子从最大位移处a向平衡位置O运动的过程中，振子受到的合外力向右且不断减小，速度方向向右且不断增大；位移由平衡位置指向振子所处位置，方向向左，位移不断减小，故B、D正确．

4．B解析　水位由O点到N点过程，鱼漂向上运动，到达N点时，位移方向向上，达到最大，A错误；O点是平衡位置，所以水位在O点时鱼漂的速度最大，B正确；水位到达M点时，鱼漂具有向上的加速度，C错误；鱼漂由上往下运动时，可能加速也可能减速，D错误．

5．A解析　振子每次通过同一位置时，其速度方向不一定相同，但由于受力相同，加速度一定相同，A正确；振子通过平衡位置时，速度最大，加速度为零，B错误；振子每次通过平衡位置时，加速度为零，速度方向不一定相同，C错误；若位移为负值，则加速度一定为正值，振子远离平衡位置运动时速度方向为负值，D错误．

考点三　简谐运动及其图象

6. D解析　经过周期振子具有最大的正向速度，说明t＝0时振子在负向最大位移处，故选D.

7．A解析　由题图可知振子偏离平衡位置的最大距离为10 cm,4 s内完成一次往复性运动，故A正确，D错误；1 s末到5 s末振子的路程是振子运动路径的总长，为40 cm，故B错误；2 s末和4 s末振子位移均为零，位移相同，2 s末振子向负方向运动，4 s末振子向正方向运动，运动方向相反，故C错误．

8. AC解析　由P→Q，物体远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A正确，B错误；由M→N，物体先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因而位移先减小后增大，选项C正确，D错误．

9．BC解析　由于位移是由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在0.7 s时的位移方向为正，且正在向平衡位置运动，所以A错误；质点在1.5 s时的位移最大，故B正确；质点在1.2 s到1.4 s时间内，正在远离平衡位置运动，所以其位移在增大，故C正确；1.6 s到1.8 s时间内，质点正向平衡位置运动，所以其位移在减小，故D错误．

10．A解析　t＝1 s时，振子位于正向位移最大处，速度为零，加速度为负向最大，故A正确；t＝2 s时，振子位于平衡位置并向x轴负方向运动，速度为负向最大，加速度为零，故B错误；t＝3 s时，振子位于负向位移最大处，速度为零，加速度为正向最大，故C错误；t＝4 s时，振子位于平衡位置并向x轴正方向运动，速度为正向最大，加速度为零，故D错误．

11. B解析　在0.1～0.2 s，振子由平衡位置向负的最大位移处运动，加速度在增大，速度在减小，振子的速度方向沿x轴负方向，故A、C错误，B正确；在0.1～0.2 s内振子做变速运动，故在0.15 s时振子的位移不等于2 cm，D错误．

12．周期　弹簧振子　68 解析　三个物体振动的共同特点是具有周期性，三个物体中，最简单的振动是弹簧振子的振动；由心脏跳动图线可知，心脏跳动一次纸带走过了3.2个格，即3.2×0.5 cm＝1.6 cm，故心脏跳动一次所需要的时间为 s，故1分钟心脏跳动的次数为n＝ 次＝67.5次≈68次．

13． (1)10 cm　(2)1.5 s时质点向平衡位置运动，2.5 s时质点背离平衡位置运动　(3)0

解析　(1)由题图知：质点离平衡位置的最大距离为10 cm；

(2)在1.5 s以后的一小段时间内质点位移减小，因此是向平衡位置运动，在2.5 s以后的一小段时间内质点位移增大，因此是背离平衡位置运动；

(3)质点2 s末在平衡位置，因此位移为零．