人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念课时练习

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《6.1平面向量的概念》练案

1.给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移. 正确的是 ( )

A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量

C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量

【答案】D

【解析】由物理知识可得：密度，温度，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量；而速度、位移既有大小又由方向，因此是向量．选D．

2．（2021·云南保山市隆阳区高一期中）下列说法错误的是（    ）

A．长度为0的向量叫做零向量

B．零向量与任意向量都不平行

C．平行向量就是共线向量

D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量

【答案】B

【解析】A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确；

B.规定零向量与任意向量都平行，故错误；

C.平行向量就是共线向量，故正确；

D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确.故选B.

3.如图所示，在等腰梯形中，，对角线交于点，过点作，交于点，交BC于点N，则在以，，为起点和终点的向量中，相等向量有（     ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

【答案】B

【解析】由题，故相等向量有两对故选：B

4.（多选题）下面的命题正确的有（    ）

A．方向相反的两个非零向量一定共线

B．单位向量都相等

C．若，满足且与同向，则

D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”

【答案】AD

【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确；

对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；

对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；

对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，

可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；

若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，

此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.故选AD.

5.（多选题）若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是（    ）

A．共线 B．相等

C．模相等，方向相反 D．模相等

【答案】ACD

【解析】∵四边形ABCD是矩形，,

所以共线，模相等,故A、D正确;

∵矩形的对角线相等,∴|AC|=|BD|,

模相等,但的方向不同，故B不正确;

|AD|=|CB|且AD∥CB，所以的模相等，方向相反，

故C正确.

6.如图所示，和是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量

则：（1）与向量相等的向量有_______；

（2）与向量共线，且模相等的向量有________；

（3）与向量共线，且模相等的向量有________.

【答案】，    ，，，，    ，，，，   

【解析】（1）与向量相等的向量是，；

（2）与向量共线且模相等的向量是，，，，   ，

（3）与向量共线且模相等的向量，，，，

7.（2020·四川省越西中学高一月考）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：

（1）与相等的向量共有几个；

（2）与方向相同且模为的向量共有几个；

【解析】由题可知，每个小方格都是单位正方形，

每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，

则，

（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，

则与相等的向量共有5个，如图1；

（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.

8.如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与共线及相等的向量.

【答案】（1）与共线的向量：，，，，，，，，，，.（2）与相等的向量：，，.

【解析】（1）与共线的向量：，，，，，，，，，，.

（2）与相等的向量：，，.

9.已知、为非零向量，“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．即非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】由题意知，

充分性：若，则、方向相同且，充分性成立；

必要性：若，但、的方向不一定相同，即、不一定相等，必要性不成立.

因此，“”是“”充分而不必要条件.故选A.

10.（2021·山东新泰市第二中学高一期中）下列命题中正确的个数有（    ）

①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】对于①，若向向量与是共线向量，则，或A,，，在同条直线上，故①错误；

对于②，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故②错误；

对于③，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故③错误；

对于④，比如共线的向量与(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故④错误.故选．

8．（2021·安徽定远县育才学校高一月考（文））下列说法正确的是（    ）

A．若，则、的长度相等且方向相同或相反

B．若向量，满足，且同向，则＞

C．若，则与可能是共线向量

D．若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线

【答案】C

【解析】对于A项，只能说明、的长度相等，不能判断它们的方向, 因而选项A错误；

对于B项，向量不能比较大小，因而选项B错误；

对于C项，只能说明、的长度不相等，它们的方向可能相同或相反，故选项C正确；

对于D项，与平行，可能AB∥CD，即A、B、C、D四点不一定共线，因而选项D错误．故选C.

12.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且.

（1）画出所有的向量；

（2）求的最大值与最小值．

【解析】(1)画出所有的向量，如图所示：

(2)由(1)所画的图知，

①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值=；

②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值=；

所以||的最大值为，最小值为．

13．（多选题）（2021·浙江宁波市北仑中学高一期中）下列说法正确的有（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，则与的方向相同或相反 D．若、共线，则、、三点共线

【答案】BD

【解析】对于A选项，若，、均为非零向量，则，成立，但不一定成立，A错；

对于B选项，若，，则，B对；

对于C选项，若，，则的方向任意，C错；

对于D选项，若、共线且、共点，则、、三点共线，D对.故选BD.

14.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝，＝，＝.

（1）与的长度相等、方向相反的向量有哪些？

（2）与共线的向量有哪些？

（3）请一一列出与，，.相等的向量．

【解析】（1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：，，， .

（2）由共线向量定理得：，，，，，，，，.与共线.

（3）由相等向量的定义得：与 相等的向量有，，；与 相等的向量有，，；与 相等的向量有，，.