高中数学6.4 平面向量的应用第1课时学案及答案

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 《6.4.3余弦定理、正弦定理》

 第1课时 余弦定理 导学案

地 位：

本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）

第六章 平面向量及其应用

6.4  平面向量的应用

学习目标：

1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，培养数学抽象的核心素养；

2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，培养数学运算的核心素养；

3.借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，体会逻辑推理及数学运算素养.

学习重难点：

1.重点：掌握余弦定理及其推论。

2.难点：掌握余弦定理的综合应用。

自主预习：

1. 本节所处教材的第     页.
2. 复习——

①　勾股定理：                                         

②　三角形的形状：                                     

3. 预习——

    余弦定理：                                           

推论：                                             

新课导学 

学习探究

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝ km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°.

【问题1】　我们知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知两条直角边a，b和C＝90°，则c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也有相似的结论？

【问题2】　你能通过上面的问题1的结论计算求出山脚的长度BC吗？

2.探索交流，解决问题

【探究1】已知一个三角形的两条边及其它们的夹角，这个三角形的大小、形状能完全确定吗？

【探究2】在△ABC中，如果已知边a，b和角C，那么从向量的角度考虑，边c的长度可视为什么？向量如何用已知边所对应的向量表示？如何求出||？

（二）余弦定理

1.余弦定理：

文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边          减去这两边与它们        的余弦的积的两倍.

符号语言：a2＝        ，b2＝         ，c2＝        

【探究3】在△ABC中，已知三条边，如何求出其三个内角？

【提示】可将余弦定理中的三个公式变形为cos A＝，cos B＝，cos C＝。　

推论：cos A＝       ，cos B＝       ，cos C＝        .

2.解三角形

一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

【做一做】1.在△ABC中，符合余弦定理的是(　　)

A.c2＝a2＋b2－2abcos C   B.c2＝a2－b2－2bccos A

C.b2＝a2－c2－2bccos A   D.cos C＝

 2.在△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，则c＝________.

 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝________.

（五）典型例题

1.已知两边及一角解三角形

【例1】　在△ABC中，a＝3，b＝3，B＝30°，解这个三角形.

【类题通法】已知两边及一角解三角形的方法

利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，然后利用余弦定理和三角形内角和定理求出另外两个角.

【巩固练习1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝3，cos C是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c.

2.已知三边解三角形

【例2】在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大内角.

【类题通法】已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角.

【巩固练习2】(1)在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为(　　)

A．90°     B．120°     C．135°　   D．150°

(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于(　　)

A．90°　   B．60°      C．120°   D．150°

3.判断三角形形状

【例3】已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.

(1)求角A的大小；

(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状.

【类题通法】判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.

在余弦定理中注意整体思想的运用，如b2＋c2－a2＝2bccos A，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc等。

【巩固练习3】若△ABC的三条边a，b，c满足(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，则△ABC(　　)

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.可能是锐角三角形也可能是钝角三角形

（四）操作演练  素养提升

1.(多选题)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)

A.2   B.3   C.4   D.2

2.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边长是________.

3.在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角的大小为________.

4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________.

课堂小结

1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2.  在解决问题时，用到了哪些数学思想？

学习评价

【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：                                  

课后作业

完成教材：第44页  练习     第1，2，3题

          第52 页   习题6.4 第6,15题