高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率学案设计

《10.1.1有限样本空间与随机事件》

导学案  参考答案

新课导学 

（一）新知导入

【问题】事件一在常温下不可能发生，是不可能事件；事件二一定发生，是必然事件；事件三可能发生，也可能不发生，是随机事件.

（二）样本空间与随机事件

知识点一　随机试验的样本空间

(1)随机试验的定义：对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．

(2)随机试验的特点：试验可以在相同条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．

(3)样本点与样本空间的定义：把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示)．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．

【做一做】  【解析】两个小孩的所有结果是：男男，男女，女男，女女，所有样本空间为{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．

【答案】C

知识点二　随机事件

(1)将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．

(2)在每次随机试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．Ω包含了所有的样本点，在每次随机试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件，而空集∅不包含任何样本点，在每次试验中，都不会发生，称∅为不可能事件．

【思考1】　事件的分类是相对于条件来讲的，在条件变化时，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化.

【思考2】必然事件与不可能事件不具有随机性.为了统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.

【做一做】判断下列事件是否为随机事件.

(1)长度为3，4，5的三条线段可以构成一个三角形.(×)

(2)长度为2，3，4的三条线段可以构成一直角三角形.(×)

(3)方程x2＋2x＋3＝0有两个不相等的实根.(×)

(4)函数y＝logax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数.(√)

（三）典型例题

【例1】【解】(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件.

(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件.

(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件.

(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件.

(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件.

(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件.

【巩固练习1】【解析】（1）②是必然事件，③是随机事件．

（2）“2025年的国庆节是晴天”是随机事件，故命题③错误，命题①②④正确.

【答案】（ 1）B   （2）B

例2.【解】(1)确定样本点，用0表示未命中，i(i＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)表示命中i环，则样本空间为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}．

(2)任取1个球，样本空间为{a，b，c，d}．

(3)任取2个球，记(a，b)表示一次试验中取出的球是a和b，则样本空间为{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}．

【巩固练习2】 【解】(1)条件为：从袋中任取1球.样本空间为{红，白，黄，黑}.

(2)条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}.

例3.【解】法一(列举法)：

(1)用(x，y)表示样本点，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数，则试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共有36个样本点．

(2)A＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共10个样本点．

法二(列表法)：

（1）列表如下，可以看出掷第一颗骰子的样本点有6种，第二颗骰子也有6个不同样本点．如第一颗掷得2点时，与第二颗配对的有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)6个不同样本点，因此两颗骰子配对共有6×6＝36个样本点．

(2)从表中看出，A＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共10个样本点．

法三(坐标系法)：

如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描点一一对应．

(1)由图知，样本空间一共包含36个样本点．

(2)事件A包含10个样本点(已用虚线圈出)．

法四(树形图法)：

一枚骰子先后抛掷两次的所有样本点用树形图表示．如下图所示：

(1)由图知，样本空间共包含36个样本点．

(2)事件A：点数之和大于8包含10个样本点(已用“√”标出)．

【巩固练习3】【解】(1)这个试验的样本空间Ω为

{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，

(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，

(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，

(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，

(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，

(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.

(2)这个试验的结果的个数为36.

(3)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7.

（四）操作演练  素养提升

【答案】1.D    2.B      3.D        4.6